Formule probabilità
Definizioni
Evento: certo, impossibile, incerto.
Evento E → E̅ evento contrario.
Evento semplice → estraggo da un mazzo di carte una figura.
Evento composto → estraggo una figura o una carta di fiori / estraggo una figura e una carta minore di 5.
Eventi indipendenti → il verificarsi di uno dei due non influenza il verificarsi dell'altro.
Eventi dipendenti → si influenzano.
Probabilità
P(E) = n° casi favorevoli / n° casi possibili.
⇒ 0 ≤ p ≤ 1.
Se p = 0 → evento impossibile.
Se p = 1 → evento certo.
Se p(E) = p ⇒ p(E̅) = 1 - p.
Formule probabilità
Evento: certo, impossibile, incerto.
Evento E ⇒ Ē evento contrario.
Evento semplice → estraggo da un mazzo una carta, una figura.
Evento composto → estraggo una figura o una carta di fiori / estraggo una figura e una carta minore di 5.
Eventi indipendenti → il verificarsi di uno dei due non influenza il verificarsi dell’altro.
Eventi dipendenti → si influenzano.
Probabilità.
P(E) = n° casi favorevoli/n° casi possibili.
0 ≤ p ≤ 1.
Se p = 0 evento impossibile e p = 1 evento certo.
p(E) = p ⇒ p(Ē) = 1 - p.
Probabilità totale
Eventi incompatibili
Dati due eventi E1 e E2 incompatibili.
p(E1) + p(E2) → p(E1 ∪ E2).
E1 → esce un 1.
p(E1) = 1/6.
E2 → esce un numero maggiore di 3.
p(E2) = 1/2.
B → esce un 1 o un numero maggiore di 3.
p(B) = 1/6 + 1/2 = 3/6.
Eventi compatibili
Dati due eventi E1 e E2 compatibili.
p(E1 ∪ E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1 ∩ E2).
E1 → esce un no pari.
p(E1) = 1/2.
E2 → esce un no > 5.
p(E2) = 2/6.
B → esce un no pari o > 5 → 1/2 + 2/6 - 1/6 = 3 + 2 - 1/6 = 4/6.
Probabilità condizionata
Vogliamo trovare la probabilità che un evento che dipende da un altro evento.
p(E1/E2) probabilità dell'evento E1 condizionata all'evento E2 (cioè E2 si è verificato).
p(E1 ∩ E2)
p(E1/E2) = ————————
p(E2)
Ho 12 sassetti numerati da 1 a 12.
E1 → esce un multiplo di 3 → 3, 6, 9, 12.
E2 → esce un numero > 8 → 9, 10, 11, 12.
P(E1) = 4⁄12 = 1⁄3.
P(E2) = 8⁄12 = 2⁄3.
P(E1 ∩ E2) = 2⁄12 = 1⁄6.
=> P(E1|E2) = 2⁄8⁄8⁄12 = 2⁄8 = 1⁄4.
Probabilità composta
Se E1 ed E2 sono eventi indipendenti la probabilità del loro evento intersezione è uguale al prodotto delle loro probabilità.
P(E1 ∩ E2) = p(E1) · p(E2).
Considero un sacchetto con 3 numeri 1, 2, 3.
Estraggo un numero. Rimetto nel sacchetto ed estraggo nuovamente - Quale è la probabilità che nelle due estrazioni successive abbia avuto 2 numeri diversi?
p(E1) = 2⁄3.
p(E2) = 2⁄3.
p(E1 ∩ E2) = 2⁄3·2⁄3 = 4⁄9.
Se E1 ed E2 sono eventi dipendenti la probabilità del loro evento intersezione è uguale al prodotto tra la probabilità di E2 e la probabilità di E2 con disegno di E1.
p(E2 ∩ E1) = p(E2) · P(E1|E2).
Stessa situazione di prima.
E1 -> estraggo 1° disegno.
E2 -> estraggo 2° disegno.
P(E1) = 2⁄3 P(E2|E1) = 1⁄2.
p(E) - p(E1 ∩ E2) = P(E1) · P(E2 / E1) = 1/3 · 1/2 = 1/6 = 1/3.
Schema delle prove ripetute di Bernoulli
Dato un evento E, sottoposto ad n esperimenti indipendenti con probabilità p si verificano e con probabilità q = 1 - p (la probabilità che l'evento E non si verifica). La probabilità che si ottengano k successi su n prove è:
p(k) = (n/k)pk qn-k.
Ricaviamo la sopra la formula:
Voglio calcolare la probabilità che l'evento su n prove si verifichi k volte → (n-k) non si verifica. Per esempio si supponga che si verifica la prima k volte p · p · ... · p︸k volte p · p · ... · p︸(n-k) volte = pk · qn-k.
Uno per k volte si può ottenere in ordine diverso lo stesso. In tutti questi casi si presentano se oriverteri (n/k) → p(k) = pkA = (n/k) pk ρn-k.
Come risolvere i problemi di probabilità
1) Leggere con attenzione il testo, cercando di avere ben chiaro di cosa, o meglio di quale evento si deve calcolare la probabilità. Sostanzialmente i casi che possiamo incontrare sono i seguenti:
1.1) Calcolare la probabilità di un solo evento E1
- Se l'evento è certo: P(E) = 1.
- Se l'evento è impossibile: P(E) = 0.
- Se l'evento è probabile: P(E) = casi favorevoli/casi possibili.
1.2) Calcolare la probabilità del complementare di un evento E
P(EC) = 1 - P(E).
1.3) Calcolare la probabilità del verificarsi di un evento E composto da due eventi E1 ed E2
Qua la faccenda si fa leggermente più delicata e dobbiamo distinguere due casi dati dall'osservazione del connettivo logico (e od oppure) mediante il quale sono connessi tra loro i due eventi E1 ed E2 e ricordare che, in simboli:
La probabilità che si verifichi E1 oppure E2 si esprime come: P(E1 ∪ E2).
La probabilità che si verifichi E1 e E2 si esprime come: P(E1 ∩ E2).
Fatto ciò si ricorre ad una delle due formule in base al caso in cui ci troviamo.
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2) [Teorema della probabilità totale].
Ovviamente se i due eventi sono incompatibili, cioè se non si possono verificare contemporaneamente P(E1 ∩ E2) = 0, avremo:
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2).
P(E1 ∩ E2) = P(E1) · P(E2|E1) [Teorema della probabilità composta].
Se i due eventi sono indipendenti, cioè il verificarsi dell'uno non influisce sul calcolo della probabilità dell'altro: P(E2|E1) = P(E2) da cui:
P(E1 ∩ E2) = P(E1) · P(E2).
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