Probabilità

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Author: bonadiamatilde

Revisionato il 22/07/2026

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Appunti di probabilità basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Gregoratti, dell’università degli Studi del Politecnico di Milano - Polimi, …

Esame Probabilità

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. Gregoratti Matteo

Università Politecnico di Milano

A.A. 2020-2021

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Esperimento aleatorio

Gli esperimenti aleatori sono esperimenti il cui risultato non può essere prodotto con certezza in anticipo.

La teoria della probabilità

Spazio campionario - Insieme di tutti gli eventi elementari. È lo spazio di tutti i possibili risultati dell'esperimento ed è denotato con _n.
Gli eventi - C'è corrispondenza tra l’evento elementare e l’evento reale. È un fatto per il quale un evento esperimento aleatorio si può dire se si è verificato oppure no. NB. Un evento è un sottoinsieme di n; se A, B sono eventi, allora:
L'evento contrario di A è A^c;
L'evento A o B è unione A ∪ B;
L'evento A e B è intersezione A ∩ B;
L'evento certo è n;
L'evento impossibile è l’insieme vuoto ø.
La probabilità Dato un qualunque evento A, si associa un numero P(A) detto probabilità di A. Questo numero rappresenta la probabilità di A di realizzarsi e sarà un numero compreso tra 0 e 1.

Assiomi di probabilità

Definizione di algebra

Sia n uno spazio campionario arbitrario e sia 2ⁿ l'insieme delle parti di n. Sia C₁ ⊆ 2ⁿ. A₁ è un'algebra se:

ø ∈ C₁, n ∈ C₁.
Se A ∈ C₁ allora A^c ∈ C₁. (Chiuso per complementazione)
C₁ è chiuso per intersezioni e unioni finite.

A₁, A₂, ..., A_n ∈ C₁ allora: ∪ A_k ∈ C₁ e ∩ A_k ∈ C₁.

Definizione di σ-algebra

Sia n uno spazio campionario astratto e sia 2ⁿ l'insieme delle parti di n. Sia C₁ ⊆ 2ⁿ. A₁ è una σ-algebra se:

ø ∈ C₁, n ∈ C₁.
Se A ∈ C₁ allora A^c ∈ C₁. (Chiuso per complementazione)
C₁ è chiuso per intersezioni e unioni infinite numerabili.

A₁, A₂, ..., A ∈ C₁ allora: ∪ A_k ∈ C₁ e ∩ A_k ∈ C₁.

Esperimento aleatorio

Gli esperimenti aleatori sono esperimenti il cui risultato non può essere predetto con certezza _...

La teoria della probabilità

Spazio campionario insieme di tutti gli eventi elementari. È lo spazio di tutti i possibili risultati dell'esperimento ed è denotato con _...
Gli eventi c'è corrispondenza tra l'evento elementare e la palla nella. È un fatto per il quale a fine esperimento aleatorio si può dire se si è verificato oppure no. NB: un evento è un sottoinsieme di _.... Se A e B sono eventi, allora:
L'evento complementare di A è A^c;
L'evento A e B è unione A ∪ B;
L'evento A e B è intersezione A ∩ B;
L'evento certo è Ω;
L'evento impossibile è l'insieme vuoto _...
Chiamati con (4) la famiglia di tutti gli eventi (spesso ε = 2^Ω) se A, B, C ∈ allora A^c, A ∩ B, C^∁, A ∪ B ∈ e B ∈.
La probabilità Dato un qualunque evento A, si associa un numero P(A) detto probabilità di A. Questo numero rappresenta la probabilità di A di realizzarsi ed è un numero compreso tra 0 e 1.

Assiomi di probabilità

Definizione di algebra

Sia Ω uno spazio campionario astratto e sia 2^Ω l'insieme delle parti di Ω. Se _... C ⊆ 2^Ω, A è un'algebra se:

Ω ∈ C e ∅
Se A ∈ C, allora A^c ∈ C (chiuso per complementazione)
C è chiuso per intersezioni e unioni (finite)

A₁, A₂, ..., A_n ∈ C allora: ∩ⁿ_k=1 A_k ∈ C e ∪ⁿ_k=1 A_k ∈ C.

Definizione di σ-algebra

Sia Ω uno spazio campionario astratto e sia 2^Ω l'insieme delle parti di Ω. Se _... C ⊆ 2^Ω, A è una σ-algebra se:

∅ e Ω ∈ C
Se A ∈ C, allora A^c ∈ C (chiuso per complementazione)
C è chiuso per intersezioni e unioni (infinite numerabili)

A₁, A₂, ..., A_n ∈ C allora: ∩ⁿ_k=1 A_k ∈ C e ∪ⁿ_k=1 A_k ∈ C.

Definizione più piccola σ-algebra generata

Dato E ⊆ 2^X, chiamiamo σ(E) le σ-algebre puntate da E, questo è la più piccola σ-algebra che contiene E ed è quindi definita.

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