Podaria di una curva rispetto a un punto

Sulla podaria di una curva rispetto a un punto

di Francesco Camia

Si dice podaria di una curva C rispetto a un punto A, detto polo, il luogo dei piedi delle perpendicolari condotte da A alle tangenti alla curva stessa; la curva C è detta antipodaria della podaria ottenuta.

Supponiamo che la curva C sia piana e sufficientemente regolare, in particolare che in ogni suo punto essa possieda una sola retta tangente.

In un piano, riferito ad un sistema d’assi cartesiani ortogonali, consideriamo la curva, conica, C di equazione x² + 4y² = 4 e ci proponiamo di trovare l’equazione della sua podaria rispetto al punto A = (3; 0).

L’equazione di C può essere scritta, dividendone i due membri per 4, nella forma, da cui si nota che C è un’ellisse riferita a centro e assi, con i fuochi sull’asse x reale, di misura 2 sull’asse x; C è pertanto una curva algebrica del secondo ordine priva di punti multipli che quindi possiede un’unica tangente in ogni suo punto.

Indicando con P un generico punto dell’ellisse C, siano a la tangente in P all’ellisse, b la perpendicolare ad a condotta per A, B il punto d’intersezione delle rette a e b. La podaria in questione è il luogo descritto dal punto B al variare del punto P sull’ellisse C.

Per determinare l’equazione di questo luogo, procederemo con il metodo di eliminazione dei parametri.