Identificare e disegnare una conica

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Problema

Disegna la conica di equazione 5x² + 6xy + 5y² – 32 = 0.

Applichiamo una rotazione di centro O e angolo α generico e determiniamo successivamente α in modo che l’equazione della conica non abbia il termine in xy.

Sostituiamo nell’equazione della conica togliendo gli apici.

5(x cos α + y sin α)² + 6(x cos α + y sin α)(–x sin α + y cos α) + 5(–x sin α + y cos α)² – 32 = 0 →

5x²cos²α + 5y²sin²α + 10 xycos αsin α – 6x²cos αsin α + 6xycos² α – 6xysin²α + 6y² sin αcos α + 5x²sin²α + 5y²cos²α – 10 xysin αcos α – 32 = 0.

Imponiamo che il coefficiente del termine xy sia nullo.

6(cos²α – sin²α) = 0 → cos²α – sin²α = 0.

Osserviamo che gli angoli α = ⁄2 + k non sono soluzione dell’equazione, quindi possiamo dividere per cos²α, con α ≠ ⁄2 + k:

tan²α = 1 → tan α = ±1 → α = ±⁄4 + k.

Scegliamo α = ⁄4, sostituiamo nell’equazione precedente e semplifichiamo.

2x² + 8y² – 32 = 0 → x²/16 + y²/4 = 1

Ruotando la conica data di un angolo α = ⁄4, abbiamo ottenuto l’equazione di un’ellisse con centro in O e semiassi 4 e 2.

Disegniamo la curva e poi eseguiamo la rotazione inversa di centro O e angolo –⁄4 che riporta l’ellisse all’equazione iniziale.