Sulla anticicloide ellittica

Sull’anticicloide ellittica

Lavoro di Francesco Franco del 2015

Sulla determinazione delle equazioni della curva di appoggio

tale che, data un’ellisse e un punto P giacente sul suo semiasse,

rotoli su di essa in modo che P percorra una linea retta.

Francesco Franco

2015

Introduzione

Lo scopo del presente studio è volto all’individuazione dell’equazione generale

della curva su cui deve rotolare un’ellisse in modo che un suo punto ad essa

solidale collocato su di un suo asse, durante il rotolamento tracci una linea

retta. Tale lavoro, collocabile nell’ambito degli studi classici sulle rullette,

continua il lavoro di generalizzazione intrapreso con altri due articoli:

“Studio analitico della curva descritta dal rotolamento di un’ellisse su di una retta,

dall’estremo di un suo asse nelle due posizioni canoniche.” (1988)

“Studio analitico della curva descritta dal rotolamento di un’ellisse su di una retta, per un

qualsiasi punto o angolo di appoggio” (2013).

Lo spunto per l’elaborazione di questo articolo è stato fornito durante le ricerche

bibliografiche effettuate sull’argomento. Infatti, in rete è rintracciabile un articolo

dovuto a Ralf Schaper «Antizykloiden» in cui dichiara che l’origine del problema

nonché del termine anticicloide risale al 1984. Inoltre, lo stesso Autore si è occupato di

implementare, nell’ambito del progetto “Wolfram Demonstrations Project”, la

simulazione virtuale del rotolamento del cerchio (secondo le premesse di questo

articolo) in cui si menziona come fonte dell’equazioni dell’anticicloide il libro di Hans

Dirnböck «Die Antizykloidenbewegung. Die Kreisrollung mit einer gegebenen

geraden Bahn. » Klagenfurt: Verlag Heyn, 1987.

Dalla lettura del libro si evince che vengono analizzati esaurientemente i vari casi

relativi al cerchio e altri casi particolari relativi alle coniche. In particolare per l’ellisse si

rilevano alcune conclusioni geometriche per le curve anticicloidi relative ai casi notevoli

in cui il punto P si trovi in uno dei fuochi (tipo “Rulletta di Delaunay”) o al centro

dell’ellisse (tipo “Rulletta di Sturm”), ma non vi è accenno ai casi generali.

Agli indirizzi indicati è possibile verificare i lavori di implementazione di Ralf Schaper:

• http://demonstrations.wolfram.com/AnticycloidCurvesIARollingCircle/
• http://demonstrations.wolfram.com/AnticycloidCurvesIIARollingEllipse/

Nello specifico, al primo indirizzo si evince quanto atteso, mentre al secondo si

riscontra un uso improprio del termine “anticicloide”, in quanto altro non è che la

Rulletta di Delaunay, tale osservazione, ha favorito la mia iniziativa di trovare le

effettive equazioni. 1 di 36

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Sull’anticicloide ellittica

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Indice

1) Simbologia e definizioni di base ...................................................................... 4

2) Individuazione degli elementi geometrici ................................................... 5

2.1. Legami di interdipendenza tra i parametri e ................................................... 5

2.2. Calcolo del raggio polare ..................................................................................... 5

2.3. Calcolo del raggio polare ..................................................................................... 6

2.4. Calcolo del retta tangente in ................................................................................ 6

2.5. Calcolo della retta normale alla tangente in .................................................. 6

2.6. Calcolo del segmento , coordinata del punto .......................................... 7

2.7. Calcolo del segmento , funzione di ............................................................. 7

2.8. Calcolo dell’angolo t funzione dell’angolo ................................................................ 7

2.9. Calcolo dell’angolo funzione dell’angolo .............................................................. 8

2.10. Calcolo dell’angolo funzione dell’angolo ............................................................... 9

3 Individuazione delle coordinate parametriche dell’anticicloide ........ 9

3.1. Calcolo della derivata prima di , ............................................................. 10

3.2. Determinazione della componente , ...................................................... 10

4) Formulazione delle equazioni parametriche dell’ACE .......................... 11

4.1. Equazioni per il caso: ; ..................................................................... 12

4.1.1 Caso degenere ; ...................................................................................................... 13

4.1.2 Caso degenere ; ....................................................................................................... 14

4.2. Equazioni per il caso notevole: ; ; ........................................................ 14

4.3. Equazioni per il caso: ; ......................................................... 16

4.4. Equazioni per il caso: ; ................................................................. 17

4.5. Equazioni per il caso: ; ......................................................... 19

4.6. Equazioni per il caso notevole: ; ............................................................ 20

4.7. Equazioni per il caso: ; ...................................................................... 22

5) Considerazioni analitiche relative all’ACE ................................................. 23

5.1. Massimi e minimi ................................................................................................................ 23

5.2. Flessi ........................................................................................................................................ 25

5.3. Raggi di curvatura ............................................................................................................... 28

5.4. Evoluta .................................................................................................................................... 28

6) Individuazione dei limiti di realizzabilità meccanica dell’ACE ........... 29

7) Calcolo dell’area sottesa dall’ACE ................................................................. 35

8) Calcolo della lunghezza dell’ACE ................................................................... 36

9) Conclusioni ............................................................................................................ 36

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1) Simbologia e definizioni di base

Fig. 1

Tabella 1: Legenda simboli

Simbolo definizione

; Sistema di coordinate di riferimento dell’anticicloide parametrate a

; Sistema di coordinate di riferimento dell’anticicloide parametrate a

Variabile indipendente lineare riferita all’asse dell’ellisse

Variabile indipendente angolare riferita al centro dell’ellisse

x;y Sistema di coordinate solidali agli assi dell’ellisse con l’origine nel centro

a

Semiasse maggiore o minore dell’ellisse denominato: b

Semiasse minore o maggiore dell’ellisse denominato:

P e scorrevole su durante il rotolamento dell’ellisse

Punto solidale all’asse P d

Distanza dal centro del punto denominata:

T Punto di contatto tra l’ellisse e la curva anticicloide in fase di rotolamento

N T

Punto di intersezione tra la retta alla tangente in e l’asse

T

Punto di intersezione tra la tangente in e l’asse T

Raggio polare 1 riferito al centro dell’ellisse (polo 1) e condotto a

P T

Raggio polare 2 condotto da (polo 2) a

N T

Distanza tra e T

Angolo incidente a della tangente in durante il rotolamento dell’ellisse.

, Angoli ausiliari

Durante il corso del seguente studio si assumerà convenzionalmente un rotolamento di tipo orario.

x AA

lungo l’asse

Tale rotolamento può essere relazionato all’escursione della variabile o in

T

µ,

equivalente Di seguito si individueranno i

all’angolo essendo reciprocamente dipendenti.

maniera

vari elementi geometrici necessari a poter formulare le equazioni parametriche dell’anticicloide

ellittica (di seguito abbreviata ACE), conducendo parallelamente l’elaborazione per ambedue le

opzioni. 4 di 36

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2) Individuazione degli elementi geometrici

2.1. Legami di interdipendenza tra i parametri e

Fig. 1,

Facendo riferimento alla si evince che sussiste la seguente relazione: 1)

;

Ora essendo l’equazione dell’ellisse riferita agli assi data da: 2)

si ha che sostituendo la 2) nella 1) ed elaborando si ricavano le seguenti relazioni: 3)

4)

2.2. Calcolo del raggio polare

Fig. 1,

Dalla si ha che il raggio polare è dato dalla seguente: 5)

5)

per cui sostituendo nella la 2) si ha: b 6)

ν a x x

T T

a

ed infine: 7)

Inoltre dalla medesima figura, si evince che sussiste la seguente relazione: 8)

6)

che sostituita nella conduce a: 1 a

ν a b ν · cos µ b 9)

a

da cui si ricava in funzione dell’angolo : 10)

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2.3. Calcolo del raggio polare

PT

Fig. 1

Dalla di evince che il segmento , è dato da: d x

PT OP x y ρ y 11)

T T T T

e tenendo conto della 2), la 11) diviene: 12)

Ora sostituendo nella 12) la 8) ed elaborando o più semplicemente applicando il teorema di Carnot al

OPT

triangolo , si ottiene: 13)

2.4. Calcolo del retta tangente in

x

Derivando la 2) rispetto ad si ha:

T b

y x

T T 14)

x a a x

T T T y f x

per cui l’equazione della retta tangente ad un qualsiasi punto sul bordo dell’ellisse sarà:

RT T

b b

x T

y · x x a x

RT RT T T

a a

a x T T

Fig. 1

Dalla si evince che la tangente al punto è negativa, e stabilito che il segno superiore è riferito

alla parte alta dell’ellisse, possiamo riscrivere la precedente come:

b b

x T

y x x a x

RT RT T T

a a

a x T

e quindi in definitiva: 15)

2.5. Calcolo della retta normale alla tangente in

T

L’equazione generale per la normale alla tangente in è data dalla seguente:

1

y y x x 16)

NT T NT T

x

f T

14)

e tenuto conto della , si ottiene:

b a a x T

y a x x x

NT T NT T

x

a b T 6 di 36

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e in definitiva: 17)

2.6. Calcolo del segmento , coordinata del punto

ON

Per determinare la lunghezza del segmento , si osserva che esso rappresenta l’intersezione della

T x,

retta normale alla tangente in con l’asse per cui dopo aver eguagliato a 0 la 17):

a a x a b

T 18)

x a x 0

NT T