Numeri complessi (dispensa)

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Complementi di algebra - 4. Numeri complessi

1. Dai numeri naturali ai numeri complessi

1.1 Introduzione

Fu Girolamo Cardano (Ars Magna, 1545) il primo a trattare esplicitamente i numeri complessi, tentando di risolvere il seguente problema:

“Dividere un segmento di lunghezza 10 in due parti tali che il rettangolo da esse formato abbia area 40”.

In realtà l’area di un tale rettangolo è al massimo 25, ma l’algebra ci dice qualcosa in più, se consideriamo l’equazione corrispondente al problema: x² − 10x + 40 = 0.

Essa conduce alle due soluzioni “sofistiche” 5 + √−15 e 5 − √−15, che usano il numero “immaginario” √−15 e il cui prodotto è (5 + √−15)(5 − √−15) = 25 − (−15) = 40 e la cui somma è (5 + √−15) + (5 − √−15) = 10.

Nei secoli successivi, numerose altre equazioni algebriche portarono a soluzioni “immaginarie”, come le definì Cartesio nel 1637. Ma fu grazie ad Eulero che lo studio di tale materia trovò pieno compimento:

Egli introdusse l’unità immaginaria i, tale che i² = −1, che permise di scrivere i numeri precedenti come 5 + i√15 e 5 − i√15 e qualsiasi altro numero complesso nella forma a noi nota: z = a + ib.

L’interpretazione geometrica fu dovuta alle tesi di Gauss (1799) e Argand (1806) e alla loro introduzione del piano complesso, che oggi porta il loro nome.

1.2 Richiami sugli insiemi numerici

L’insieme dei numeri naturali, ovvero degli interi maggiori o uguali a 0, è:

N = {0, 1, 2, 3, …}

È chiuso rispetto alla somma, ovvero:

a, b ∈ N ⇒ a + b = c ∈ N.

Rispetto a questa operazione, 0 è l’elemento neutro, poiché:

a + 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ N.

Non esiste però l’inverso, ossia un numero b tale che:

b + a = a + b = 0, ∀ a ∈ N.

Ciò equivale a non poter risolvere in N l’equazione algebrica x + a = 0, ovvero x = −a. Ad es. x + 5 = 2, x = 2 − 5.

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Il numero cercato è come sappiamo l’opposto di a: −a; ecco da dove deriva la necessità di ampliare l’insieme dei numeri interi includendo anche quelli negativi, costruendo così l’insieme dei numeri relativi:

Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

Questo insieme ora non solo è chiuso rispetto alla somma, ma possiede rispetto ad essa l’elemento neutro e l’inverso. È, come si dice, un gruppo additivo.

Possiamo procedere analogamente considerando il prodotto tra due numeri relativi:

1. a, b ∈ Z ⇒ a · b = c ∈ Z, ossia è chiuso rispetto al prodotto.

2. a · 1 = 1 · a = a, ∀ a ∈ Z, ossia 1 è l’elemento neutro rispetto al prodotto.

Ancora una volta però non esiste l’inverso, ossia:

3. b · a = a · b = 1, ∀ a ∈ Z.

Ciò equivale a non poter risolvere in Z l’equazione algebrica ax + b = 0, a ≠ 0, con b non divisibile esattamente per a, ad es. 5x − 7 = 0.

Stavolta abbiamo bisogno del numero che chiamiamo reciproco di qualsiasi numero relativo non nullo, ossia per ciascun a ≠ 0: ampliamo così il nostro insieme dei numeri, includendo le frazioni, ossia i rapporti tra numeri interi, che si chiamano razionali:

Q = {a/b, a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}.

Fanno parte di Q, oltre a ovviamente i numeri interi relativi che possono scriversi nella forma a/1, tutti i numeri decimali limitati ma anche quelli illimitati ma periodici: ad es. 0,44444… = 4/9. Una categoria a parte è invece costituita dai numeri decimali illimitati e non periodici che, non appartenendo a Q, si chiamano irrazionali.

A questo punto entra in gioco un altro protagonista, Pitagora, con la scoperta, suo malgrado, che tali numeri non sono razionali, come ad es. √2, quello che serve a “duplicare il quadrato”, ossia che risolve il seguente “problema classico”:

“Dato un quadrato di lato 1, trovare il lato del quadrato di area doppia”.

Il problema equivale a risolvere in R l’equazione algebrica x² − 2 = 0.

La soluzione cercata è √2, solo che Pitagora non lo sapeva... o non voleva farlo sapere, poiché secondo lui “omnia ratio est”, “tutto è numero”, o meglio, “tutto è (numero) razionale”, mentre invece √2 ∉ Q, come dimostra il seguente semplice:

Teorema. √2 non è un numero razionale

Dimostrazione

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Supponiamo per assurdo che √2 = a/b, ossia con a, b ∈ Z, b ≠ 0. Senza perdere di generalità possiamo imporre che sia una frazione ridotta ai minimi termini, ossia tale che MDC(a, b) = 1. Infatti, ad es., 3/4 = 6/8 = 9/12 = 3n/4n.

Elevando al quadrato abbiamo allora che (a/b)² = 2, ossia a² = 2b². Ne consegue che a è pari e quindi che anche b sarà pari (cfr. Osservazione successiva), ossia a = 2k.

Sostituendo nella relazione precedente abbiamo: 4k² = 2b², ovvero b² = 2k². Ma allora anche b sarà pari, ossia b = 2h, il che è una contraddizione, poiché avremmo MDC(a, b) = 2.

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Osservazione

Il quadrato di un numero pari è ancora pari.

Infatti: (2k)² = 4k² = 2(2k²).

Il quadrato di un numero dispari è ancora dispari.

Infatti: (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1.

I numeri irrazionali come √2 si dicono algebrici, poiché soluzioni di equazioni algebriche intere (nel nostro caso x² − 2 = 0). Altri numeri irrazionali come π, e, log 2, sin 7, etc. non hanno invece questa proprietà e si dicono trascendenti.

L’unione dei numeri razionali con quelli irrazionali costituisce l’insieme dei numeri reali, che si possono rappresentare graficamente con una retta orientata essendo infiniti come i punti della retta e in relazione d’ordine fra loro.

R sembrerebbe un insieme in cui possiamo fare di tutto... Ma se da novelli Pitagora dovessimo imbatterci in un’equazione assolutamente analoga alla precedente:

x² + 2 = 0

passeremmo i nostri guai.... Infatti le soluzioni algebriche di tale equazione non esistono in R: abbiamo perciò bisogno di numeri che reali non sono, ecco perché li chiameremo immaginari.

Abbiamo così costruito l’insieme di numeri complessi:

C = {z = a + ib; a, b ∈ R; i² = −1}

che “completano” la nostra sequenza degli insiemi numerici, nella quale il successivo è un’estensione di quello precedente: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

1.3 Numeri immaginari

Definizione

Si chiama unità immaginaria il numero i tale che i² = −1.

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Potenze di i

i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i

i⁴ = 1, i⁵ = i, i⁶ = −1, …

i^4k = 1, i^4k+1 = i, i^4k+2 = −1, i^4k+3 = −i.

Definizione

Si chiamano immaginari i numeri della forma ib con b ∈ R e i² = −1.

Coi numeri immaginari, per la gioia di Cardano, è finalmente possibile dare un significato anche alle radici quadrate di numeri negativi: √−4 = √4 · √−1 = 2i e quindi le soluzioni dell’antipatica equazione x² + 4 = 0 diventano i numeri immaginari ±2i.

Analogamente, coi numeri immaginari è ora possibile risolvere equazioni del tipo x² + a² = 0, a > 0, che equivalgono infatti, posto x² = −a², a:

x² = −a² ⇔ x² = −1 · a² ⇔ x² = i²a² ⇔ x = ±ia.

Esercizi

Eseguire le seguenti operazioni con i numeri immaginari:

• 1. i⁷ = i⁴ · i³ = 1 · i³ = −i.
• 2. (2i)⁸ = 2⁸i⁸ = 256.
• 3. (2i)⁴ = 2⁴i⁴ = 16.

1.4 Numeri complessi

Definizione

Chiamiamo complesso ogni numero nella forma “cartesiana” (o algebrica) z = a + ib, con a, b ∈ R e i² = −1.

L’insieme dei numeri complessi si indica con:

C = {z = a + ib; a, b ∈ R; i² = −1}.

Esempio

Sono numeri complessi i seguenti: 2, 1 + 5i, −i, 0, π, log 2, e² + i, etc.

1.5 Forma cartesiana dei numeri complessi

Definizione

Re(z) = a si chiama parte reale del numero complesso z.

Im(z) = b ne è invece la parte immaginaria.

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2. Operazioni con i numeri complessi (forma cartesiana)

2.1 Premessa

Definizione

Dato il numero complesso z = a + ib ne definiamo il coniugato:

z̄ = a − ib.

L’opposto: −z = −a − ib.

Osservazione

I numeri complessi con parte immaginaria nulla sono numeri reali, da cui segue il fatto che C è effettivamente un’estensione di R: b = 0 ⇒ z = a ∈ R.

I numeri complessi con parte reale nulla sono numeri immaginari: a = 0 ⇒ z = ib, b ∈ R.

Il numero complesso con parte reale e immaginaria entrambe nulle corrisponde non a 0 ma a 0 + 0i: a = b = 0 ⇒ z ≡ 0.

Introduciamo ora le operazioni algebriche tra numeri complessi. Si può facilmente verificare che esse mantengono le proprietà valide in R: associativa, commutativa e distributiva.

2.2 Somma

La somma algebrica di due numeri complessi è il numero complesso ottenuto sommando tra loro le parti reali e immaginarie:

Dati z = a + ib e w = c + id:

z + w = (a + ib) + (c + id) = a + c + i(b + d).

Osservazione

Le operazioni tra numeri complessi scritti in forma cartesiana risultano semplici se si trattano tali numeri come se fossero binomi, ossia come se i fosse una variabile.

Osservazione

Proprietà del coniugato: z + z̄ = 2a ∈ R.

Proprietà dell’opposto: z + (−z) ≡ 0.

Proprietà dell’opposto del coniugato: z + (−z̄) = 2ib ∈ iR.

2.3 Prodotto

Il prodotto tra due numeri complessi è il numero complesso ottenuto usando la proprietà distributiva (prodotto termine a termine, come per i binomi) e sfruttando la relazione i² = −1:

z · w = (a + ib) · (c + id) = ac + iad + ibc + i²bd = ac − bd + i(bc + ad).

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Proprietà del coniugato: z · z̄ = a² + b² ∈ R.

2.4 Reciproco

Dato w = c + id ≠ 0, si definisce:

1/w = 1/(c + id) = (c − id)/(c − id)(c + id) = (c − id)/(c² + d²) = c/(c² + d²) − i d/(c² + d²).

E infatti:

(c + id) · (c − id)/(c² + d²) = 1.

2.5 Rapporto

Il rapporto tra due numeri complessi, di cui il secondo non nullo, è il numero complesso ottenuto moltiplicando il primo per il reciproco.