Dimostrazioni Analisi I

Dimostrazioni analisi I

Capitolo 1. I numeri reali

Due insiemi contigui hanno uno ed un solo elemento di separazione, cioè un numero Ø " "bÎB, £ x £ tale che aÎA a b.

Dimostrazione

Consideriamo A limitato superiormente e B limitato inferiormente. Esistono dunque due numeri reali L ed M, tali che L = supA e M = infB.

Se L > M, risulta che a’ > b’, e ciò contraddice l’ipotesi 1 degli insiemi contigui, o £ ³

Se L < M, dato che a L e b M, la distanza tra un qualunque numero di B e uno qualunque numero di A sarebbe maggiore o uguale ad M – L e dunque, scelto e < M–L, la proprietà 2 degli insiemi contigui non sarebbe verificata.

x Deve essere necessariamente L = M. Questo numero è di separazione tra A e o xB, dato che ogni numero di A è minore o uguale dell’estremo inferiore ed ogni x.numero di B è maggiore o uguale dell’estremo inferiore.

x è l’unico elemento di separazione, infatti, se esistessero due distinti elementi o x(1) x(2), x(1) x(2), di separazione e con < la distanza tra gli elementi di A e di x(2) x(1) B non sarebbe minore di – e dunque risulterebbe contraddetta l’ipotesi 2 degli insiemi contigui.

Rappresentazione decimale dei numeri razionali

I numeri razionali hanno una rappresentazione decimale finita o periodica.

Dimostrazione

Si considera un numero reale x. Se questo non è intero, allora è compreso tra due numeri interi consecutivi; in generale, dunque, esiste Y ∈ ℤ ]Y^_ `ℎ_ZY ≤ c ≤ Y + 1.Z d

L’intervallo individuato può essere suddiviso in 10 parti uguali. Se x non è uno dei punti della suddivisione, allora si trova tra due di questi consecutivi: Y Y + 1g gY + ≤ c < Y + h_i jk lhhli]jkl Y ∈ 0,1, … ,9d d g10 10

Possiamo poi suddividere ulteriormente questo nuovo intervallo in 10 parti uguali e continuare il procedimento. Se dopo un numero finito di passi x coincide con uno dei punti di suddivisione, allora è un numero finito decimale. In caso contrario il procedimento continua indefinitamente, generando un numero intero a ed un insieme infinito di naturali a ∈ 0,1, … ,9 . In questo caso diciamo che x ha una rappresentazione decimale infinita x = a , a , … , a … Riassumendo le due possibilità d g o possiamo affermare che ogni numero reale ha una rappresentazione decimale finita o infinita.

Al passo n-esimo, x verifica le disuguaglianze a a a a 1g o g oa + + ⋯ + ≤ x < a + + ⋯+ +d do o o10 10 10 10 10

Queste forniscono due approssimazioni di x con un numero decimale finito, una per difetto e l’altra per eccesso; in entrambi i casi l’errore nell’approssimazione è minore di ro10 .

Prendendo n sufficientemente grande, possiamo rendere l’errore minimo di una qualunque prefissata quantità positiva ε.

Capitolo 2. I numeri complessi

Ø Dati il numero complesso z e il numero n intero positivo, si dice radice n-esima di z ogni numero w tale che u = w.

Dimostrazione

z{x = i cos y + isen y = i_ ; | = } cos ~ + isen ~ | = x ÄjÅkÇÅ } `l}~ + Å}_k~ = i(`l}y + Å}_ky)

Applicando la formula di De Moivre: } `l} k~ + Å}_k k~ = i (`l}y + Å}_ky)

Dal confronto dei due numeri, ricaviamo un sistema: Ö}= i} = i y + 2ÉÑk~ = y + 2ÉÑ ~= `lk É Ü ℤk

Le radici sono n distinti numeri complessi, che si possono ottenere attribuendo a k tutti i valori interi compresi tra 0 e (n-1). {àâäãzÖ i _

Teorema fondamentale dell’algebra

TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA. Sia P(x) un polinomio di grado n a Ø v v rë coefficienti complessi. . Se S(X) è uné è = ê è + ê è + ⋯ + ê è + ê v v rë ë í secondo polinomio, diciamo che P(x) è divisibile per S(x) se il resto della divisione di P per S è nullo, cioè se esiste un polinomio Q(x) tale che:

P(x) = S(x)Q(x) ∀ è ï ℝ. é è è óòôòöòõòúù ûùü è − ° ⇒ é ° = í.

Dimostrazione

P(x) = Q(x) (x − α) + r ( Q(x) polinomio di grado (n-1) e r resto)

Se P(x) è divisibile per x − α, allora r = 0. E ciò accade se e solo se P(α) = 0.

Se P(x) ha una radice a1, allora: § c = c − y • c ¶_ Yk`ℎ_ • c ℎY jkY iYÇÅ`_ Yg ⧠c = c − y c − y ¶ c `lk ¶ c hl^ÅklßÅl ÇÅ ®iYÇl (k − 2)g â©Åh_]_kÇl Å^ hil`_ÇÅß_k]l § c = ` c − y c − y … c − yg â `lk ` `l_™™Å`Å_k]_ Ç_^^Y hl]_kxY ÇÅ ®iYÇl ßY}}Åßl Åk §(c)´ ´¶_ ^_ iYÇÅ`Å k klk }lkl ÇÅ}]Åk]_: § c = ` c − ~ … c − ~¨ Æg ≠`lk ß ßl^]_h^Å`Å]à _ ~ iYÇÅ`Å ÇÅ}]Åk]_ Ç_^ hl^ÅklßÅl.≠ ≠

Se ~ è una radice di molteplicità ß , equivale che il polinomio è divisibile per z z´ ´c − ~ , ma non per c − ~ .

Ø Ø∞¨z z a Per i polinomi a coefficienti reali, vale: se è una radice complessa di un polinomio a coefficienti reali, anche y lo è.

Utilizzando le proprietà dei complessi e ricordando che i coefficienti del polinomio sono reali, si ottiene: § y = § y = 0. ±k™Y]]Å ä ä ä ä§ y = y Y = Y y = Y y = Y y = §(y)ä ä ä ää≤d ä≤Z ä≤d ä≤d

Pertanto se nella scomposizione di un polinomio deve comparire (x − α), deve a, comparire anche (x − y). Posto a+ib = risulta: â âx − α x − y = c − y + ≥hl^ÅklßÅ ÇÅ hiÅßl ®iYÇl Y `l_™™Å`Å_k]Å `lßh^_}}Å `Yßhl `lßh^_}}lhiÅßlhl^ÅklßÅ Y `l_™™Å`Å_k]Å i_Y^Å ÇÅ ®iYÇl Y ∆< 0 `Yßhl i_Y^_}_`lkÇl

Capitolo 3. Limiti

Unicità del limite

UNICITÀ DEL LIMITE. Se per x la funzione ha limite, questo è unico. èØ ∑

Dimostrazione

Suppongo per assurdo che L¹M. Prendo allora un intorno di L e un intorno di M in modo che siano disgiunti. Per la definizione di limite, ci troviamo ne caso in cui ci sono due intorni di x V’ e V’’ tali che: ∏ Ω∀ c ∈ ∫ ∩ º − c ™ c Ü æ(ø)dΩΩ∀ c ∈ ∫ ∩ º − c ™ c Ü æ(¿)d ℎY:

Sia V = V’ +V’’. V è ancora un intorno di x _ }Å∏∀ c ∈ ∫ ∩ º − c ™ c Ü æ(¿) ∩ æ(ø)d

Ciò è assurdo dato che abbiamo ipotizzato che i due intorni fossero disgiunti.

Permanenza del segno

PERMANENZA DEL SEGNO. Se per x il limite di f(x) è diverso da zero, la funzione èØ ∑ ha localmente lo stesso segno del limite, escluso al più nel punto . Per localmente i è∑ intendono tutti i punti del dominio di f(x) che stanno in un intorno del punto considerato.

Dimostrazione

Essendo L>0, possiamo prendere un intorno di L formato da numeri interi positivi. Per la definizione di limite, la funzione apparterrà all’intorno di L, che essendo positivo, renderà la funzione positiva.

Passaggio al limite di una disuguaglianza

PASSAGGIO AL LIMITE DI UNA DISUGUAGLIANZA. Se per x f(x) ha limite L e se èØ ∑³0. localmente risulta f(x)>0, allora L

Dimostrazione

Ragionando per assurdo, se fosse L<0, per il teorema della permanenza del segno, sarebbe anche f(x) <0. Ciò contraddice le ipotesi del teorema.

Teorema del confronto

TEOREMA DEL CONFRONTO. Date tre funzioni g(x), f(x) e h(x) tali che Ø ® ® e per per x g(x), h(x) L. Allora: ú∑¬êú√ùvƒù ≈ è ≤ ∆ è ≤ «(è) è∑® ® per x anche f(x) L. è∑

Dimostrazione

e; Per la definizione di limite, fissato arbitrariamente un intorno di L (L – L +e), esiste un intorno V di c tale che ∀ c ∈ ∫ ∩ º − c risulta Z de £ £ e £ £L – g(x) L +e L – h(x) L +e. Per le ipotesi fatte, risulta anche e £ £ che ∀ c ∈ ∫ ∩ º − c ; L – f(x) L +e.d

Restrinzioni

RESTRINZIONI. Sia B un sottoinsieme del dominio A di una funzione f e sia un punto èØ ∑ di accumulazione per entrambi gli insiemi. Allora: úò√ ∆ è = … ⇒ úò√ ∆ è = …, èï .è → è è→è∑ ∑

Dimostrazione

Dalla definizione di limite: Ω∀ æ ø ∃ º c : ∀ c ∈ ∫ ∩ º − c ™ c Ü æ(ø). Dato che B è un sottoinsieme di A: Z dΩ∀ æ ø ∃ º c : ∀ c ∈ à ∩ º − c ™ c Ü æ ø . Ciò prova l’affermazione dato che Z d Ω essendo c un punto di accumulazione anche per B, l’insieme à ∩ º − c non è d d vuoto.

Limiti di funzioni monotone

LIMITI DI FUNZIONI MONOTONE. Sia f una funzione monotona definita in un intorno Ø destro U+ o sinistro U– di . Allora: è∑

• ¶_ ™ è `i_}`_k]_ Åk æ , _}Å}]_ lim ™ c = sup ™(c)ŒÕ→d
• ¶_ ™ è `i_}`_k]_ Åk æ , _}Å}]_ lim ™ c = inf ™(c)∞Õ→d
• ¶_ ™ è Ç_`i_}`_k]_ Åk æ , _}Å}]_ lim ™ c = inf ™(c)ŒÕ→d
• ¶_ ™ è Ç_`i_}`_k]_ Åk æ , _}Å}]_ lim ™ c = sup ™ c∞Õ→d

Dimostrazione

• Supponiamo che sup f(x) = L (reale). Per definizione: r™ c ≤ ø ∀ c Ü ær∀œ > 0 ∃ c ∈ æ : ™ c > ø − œ Dato che f è crescente, nell’intorno sinistro (c, c) si ha ™ c ≥ ™ c e dunque e anche L – <f(x) < L +e. (definizione di limite sinistro uguale ad L).
• Se sup f(x) = +¥ per definizione r∀ ¿ > 0 ∃ cÜ æ : ™ c > ¿. Dato che f è crescente, nell’intorno sinistro si ha f(x) > M.

Cambiamento di variabile nel calcolo dei limiti

CAMBIAMENTO DI VARIABILE NEL CALCOLO DEI LIMITI. Data una funzione composta Ø in modo da dare senso alla composizione: ∆ — è ¬∑v —: → ℝ ù ∆: “ → ℝ, — è ⊂ “,

• úò√ — è = …è→è ∑
• — è ≠ … ú∑¬êú√ùvƒù ûùü è ≠ è∑
• úò√ ∆ ƒ = ’ƒ →…

Allora úò√ ∆ — è =’è→è ∑

Dimostrazione

1. Preso arbitrariamente un intorno U(M)
2. Possiamo trovare un intorno W(L) tale che
3. Per ogni t di A che sta in W, eccetto al più L, f(t) sta in U
4. In corrispondenza dell’intorno W(L) trovato al passo 2
5. Possiamo trovare un intorno V(c ) tale che d
6. Per ogni x di B che sta in V, eccetto al più x , φ x sta in W. d

Dall’ipotesi 2 sappiamo che φ x ≠ L e dunque possiamo precisare che φ x ϵ W L − L . Per quanto trovato nella prima parte, possiamo concludere ∀ c ∈ Ã ∩ º − c ™ φ x Ü æ ¿ .d

Operazioni con i limiti

OPERAZIONI CON I LIMITI. Siano f(x) e g(x) due funzioni dotate di limite finito per Ø ® ® L ®M.x , f(x) e g(x)è∑

Dimostrazione

• e>0, ® Fissato per ipotesi esiste un intorno di c , escluso al f(x) + g(x) L+M. d più c , in cui vale: d œ œ™ c −ø < ® c −¿ <2 2
• In questo stesso intorno vale: ™ c + ® c − (ø + ¿) ≤ ™ c − ø + ® c − ¿ < œ
• e>0, ® Fissato per ipotesi, esiste un intorno di c , escluso al più c , in |f(x)| |L|. d d cui vale: |f(x) –L| <e. Utilizzando la maggiorazione ||f(x)|–|L|| ≤ |f(x)–L|: ||f(x)|–|L|| <e.
• ® Per ipotesi risulta localmente c f(x) c L. œ™ c −ø < ÇjkÄj_ ` ™ c − `ø = ` ™ c − ø < œ|`|
• ®® Una funzione che per x x , ha limite reale, è localmente f(x)g(x) LM. ∏ e=1, limitata. Dalla definizione di limite, scegliendo |f(x)–L| <1. Localmente si deduce che |f(x)|–|L| <1, quindi |f(x)|<1+|L|: ™ c ® c − ø¿ = ™ c ® c − ø¿ + ™ c ¿ − ™ c ¿≤ ™ c ® c − ™ c ¿ + −ø¿ + ™ c ¿= ™ c ® c −¿ + ¿ ™ c −ø≤ É ® c − ¿ + ¿ ™ c − ø ^l`Y^ß_k]_.
• Se c>k e c>|M| allora localmente: œ œ™ c ® c − ø¿ ≤ ` h_i Åhl]_}Å ™ c − ø < _ ® c −¿ <2` 2`ÄjÅkÇÅ ™ c ® c − ø¿ < œ
• ®® Basta far vedere che 1/g(x) 1/M, dopo di che, si fa come f(x)/g(x) L/M. sopra, ponendo œ= |M|/2. ¿ ¿ 3¿® c − ¿ ≤ ® c −¿ < ÇY `jÅ <® c <2 2 2¿Åk hYi]Å`l^Yi_ ® c > 2

Si ha quindi: ‡g g fi Õ rfl â ·fl− = < ® c − ¿ Y^ hl}]l ÇÅ œ si prende , ‡fi Õ fl fi Õ fl fl âe si ottiene 1 1− <œ® c ¿

Il numero di Nepero come limite di una successione crescente e limitata

IL NUMERO DI NEPERO COME LIMITE DI UNA SUCCESSIONE CRESCENTE E LIMITATA Ø

Dimostrazione

1x = 1 + `i_}`_k]_; k 1 1 k k − 1 … (k − É − 1 ) 1k1+ = =2+É ä äk k k É!ä≤d ä≤â 1 2 É−1 11− 1− … 1−=2+ k k k É!ä≤â

Se sostituisco n con (n+1), ognuno dei termini della somma aumenta il proprio valore, aumentando così il valore della successione.

1 11+ < < _ x }j``_}}Ålk_ `i_}`_k]_ _ ^ÅßÅ]Y]Y }jh_iÅliß_k]_k É!ä≤dx £

Ammette limite e, Per n>m si deduce: 1 1 2 É−1 11+ >2+ 1− 1− … 1−k k k k É!ä≤â

Passando al limite rispetto ad n, si ottiene ´ 1„ ≥ É!ä≤dx £ x

Passando al limite rispetto ad m, si trova che e, e dunque = e.

Limiti notevoli

LIMITI NOTEVOLI. Ø

Dimostrazione

• ‰ÂÊ ë + = ù. Per ogni x>1 indichiamo con n la sua parte intera, cioè il più èè→àÁ grande numero naturale che non supera x. 1 1 1k ≤ c ≤ k + 1; < ≤k+1 c k Õ àg àg
• 1 1 1 1 11+ < 1+ < 1+ < 1+ < 1+k+1 c c c k Õ àg
• 1 1 11+ ≤ 1+ < 1+k+1 c k§_i c → +∞ Yk`ℎ_ k → +∞. §lÅ`ℎèàg 1 1 11+ = 1+ 1+ →_k k k rg1 1 11+ = 1+ 1+ →_k+1 k+1 k+1

Per il teorema del confronto: Õ11+ →_c

• ‰ÂÊ ë + = ù. Posto t = –x ci riconduciamo a t→ +∞. Ponendo t-1=z èè→rÁ rÈ È ÈrgÈ1 ] 1 1 11− = = 1+ = 1− 1+] ]−1 ]−1 ]−1 ]−1
• ‰ÂÊ ë + è = ù. Poniamo t = 1/x. Ottenendo: èè→í g Ωlim 1 + ] = _. ÎY `jÅ ^ Y}}_i]l.ÈÕ→d
• ±‰ÏÌ (ëàè) ë úv(ëàè) ê‰ÂÊ = ‰ÂÊ = ë. Dato che è ú∑≈ê èè→í è→ílog (1 + c)Ó gàÕ=