Principi e nozioni base di matematica

Richiami di matematica

Indice

• Equazioni secondo grado............................................................3
• Casi particolari di equazioni di secondo grado........................................4
• Scomposizione di un polinomio ........................................................4
• Regola di Ruffini........................................................................5
• Divisione di polinomi ..................................................................6
• Cubo di un binomio........................................................................8
• Triangolo di Tartaglia ....................................................................9
• Coefficienti binomiali......................................................................9
• Sistemi di equazioni di secondo grado ..................................................10
• Distanza fra due punti ....................................................................12
• Equazione della retta scritta in forma implicita..........................................12
• Equazione della retta scritta in forma esplicita...........................................12
• Coefficiente angolare di una retta passante per due punti .................................13
• Passaggio dalla retta scritta in forma implicita alla retta scritta in forma esplicita ....13
• Distanza di un punto da una retta........................................................13
• Distanza di un punto da un piano.........................................................14
• Fascio di rette proprio....................................................................14
• Fascio di rette improprio..................................................................15
• Condizione di parallelismo...............................................................15
• Condizione di perpendicolarità............................................................15
• Criteri di similitudine.....................................................................16
• Teorema di Talete...........................................................................16
• Disequazioni di secondo grado.............................................................17
• Sistemi di disequazioni di secondo grado.................................................18
• Disequazioni fratte di secondo grado con studio del segno ...............................18
• Valore assoluto o modulo...................................................................19
• Funzione modulo.............................................................................20
• Potenze......................................................................................21
• Proprietà....................................................................................21
• Funzioni esponenziali.......................................................................23
• Equazioni esponenziali......................................................................24
• Disequazioni esponenziali...................................................................25
• Funzioni logaritmiche.......................................................................25
• Proprietà dei logaritmi.....................................................................26
• Grafici delle funzioni logaritmiche........................................................26
• Equazioni logaritmiche......................................................................31
• Disequazioni logaritmiche...................................................................32
• Osservazione sulla risoluzione grafica....................................................34
• Coniche.......................................................................................37
• Ellisse.......................................................................................37
• Eccentricità..................................................................................38
• Semiasse retto...............................................................................39
• Area di un’ellisse............................................................................39
• Tangente a un’ellisse in un suo punto: formula dello sdoppiamento .......................39
• 1
• Proprietà tangenziale.......................................................................40
• Tangenti a un’ellisse condotte da un punto esterno........................................40
• Circonferenza................................................................................41
• Area e perimetro.............................................................................41
• Equazione circonferenza in forma parametrica..............................................41
• Parabola......................................................................................42
• Equazione parabola con asse parallelo all’asse delle y....................................42
• Equazione parabola con asse parallelo all’asse delle x....................................43
• Come si ricava l’eq della parabola dati 3 punti appartenenti ad essa ....................44
• Parabola passante per un punto e con vertice noto .........................................44
• Fasci di parabole.............................................................................45
• Nelle disequazioni di secondo grado.......................................................45
• Iperbole......................................................................................45
• Goniometria: definizione di angolo.........................................................48
• Passaggio da un da radianti a gradi e viceversa...........................................48
• Trigonometria.................................................................................48
• Le funzioni trigonometriche.................................................................49
• Circonferenza goniometrica.................................................................49
• Seno..........................................................................................50
• Coseno........................................................................................51
• Tangente......................................................................................52
• Relazioni fondamentali e formule della trigonometria......................................53
• Teoremi trigonometrici......................................................................55
• Teorema dei seni.............................................................................55
• Teorema del coseno o di Carnot.............................................................55
• Teorema della corda..........................................................................56
• Formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo .................................57
• Numeri complessi.............................................................................58
• 2

Equazioni secondo grado

Data un’equazione del tipo:

2

a x + b x + c = 0 (1)

dove a, b e c sono numeri reali. La si risolve come di seguito riportato:

Si calcola il Delta:

∆ = 2

b – 4 (a c)

Se il delta è maggiore di zero si avranno due soluzioni reali e distinte che verificano l’equazione.

Se il delta è uguale a zero si avranno due soluzioni reali e coincidenti, ovvero un unico valore che verifica l’equazione.

Se il delta è minore di zero NON si avranno soluzioni reali, ovvero nessun valore reale sostituito alla x renderà vera l’eguaglianza.

− ± ∆

b

=

x

1

, 2 ·

2 a

Nota: I valori della x che rendono vera l’equazione (1), ovvero che annullano il polinomio sono detti “Radici” del polinomio.

Interpretazione geometrica dell’equazione di secondo grado

Le soluzioni, o radici, di un’equazione di secondo grado possono essere viste come i punti di

2

intersezioni della parabola a x + b x + c con l’asse delle x (ovvero y = 0).

Es.

Nei punti (-1; 0) e (2; 0) si hanno le intersezioni della parabola con l’asse x.

Viceversa ne segue che se il delta è uguale a zero la parabola associata all’equazione di secondo grado è tangente all’asse x (ovvero si ha un solo punto di intersezione e perciò una sola radice

3

dell’equazione), e se il delta è negativo non si hanno punti di intersezione con l’asse x (ovvero l’equazione non ha soluzioni reali).

Casi particolari di equazioni di secondo grado

Equazioni spurie: sono le equazioni che non hanno il termine noto e si possono risolvere in maniera semplificata rispetto alla risoluzione delle equazioni complete, vista sopra.

2

a x + b x = 0

Si raccoglie la x a fattor comune e si ha:

x (a x + b) = 0

per la legge di annullamento del prodotto (ovvero affinché un prodotto sia nullo basta che uno dei fattori sia nullo), si ha:

x = 0

1 b

= −

+ b = 0 ovvero

a x x

2 2 a

Equazioni pure (o equazioni quadratiche pure): sono le equazioni che mancano del termine di primo grado e si possono risolvere in maniera semplificata rispetto alla risoluzione delle equazioni complete, vista sopra.

2

a x + c = 0

c

= −

2

x a c

= ± −

x

1

, 2 a

c

−

Se è positivo si hanno 2 soluzioni reali, se negativo non si hanno soluzioni reali, se è zero si ha

a

0 come unica soluzione.

Scomposizione di un polinomio

Dato un polinomio:

2 + b x + c

a x

lo si può scomporre in:

) (x – x )

a (x – x 1 2 4

Dove x e x sono le radici del polinomio, ovvero i valori che lo rendono uguale a zero.

1 2

(Nota: la radice di un polinomio è il valore che lo rende uguale a zero, ovvero che verifica l’equazione associata).

Regola di Ruffini

La regola di Ruffini, descritta da Paolo Ruffini nel 1809, permette di dividere velocemente

regola di Ruffini x a)

polinomio per un binomi di primo grado della forma ( − . La regola di Ruffini è un caso speciale della divisione fra polinomi quando il divisore è un fattore lineare.

E’ preferibile fare un semplice esempio di utilizzo

Si voglia scomporre il Polinomio:

= − − +

3 2

P x x x x

( ) 2 5 6

Proviamo a scomporre per il polinomio:

A(x)=x+1

Nella divisione polinomiale con la regola di Ruffini si riporta l’opposto del termina noto di A(x), ovvero -1.

1) Scriviamo i coefficienti del polinomio P(x) ed il termine noto di A(x) cambiato di segno.

2) Copiamo il primo coefficiente sotto

3) Moltiplichiamo il coefficiente più a sinistra in basso (ovvero il +2 per il il termine noto di A(x) cambiato di segno, ovvero per -1, e si ha:

4) Sommiamo i valori della seconda colonna dopo la riga verticale 5

5) Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine

Pertanto otteniamo resto nullo, ovvero vuol dire che il mio P(x) viene scomposto in:

P(x) = Q(x) A(x)

= − +

2

Q x x x , pertanto si ha:

Dove ( ) 2 7 6

= − + · +

2

P x x x x

( ) ( 2 7 6 ) ( 1

)

Infatti moltiplicando, si ottiene di nuovo il P(x) di partenza.

Divisione di polinomi

La divisione dei polinomi è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi. È un’operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili.

Pertanto il polinomio di partenza P(x) si scomporrà in

= · +

P ( x ) B ( x ) Q ( x ) R ( x )

Dove B(x) è il divisore, Q(x) è il quoziente, ed R(x) è il Resto.

= −

4 3

P ( x ) 3 x x

Es. dato

= −

2

E B ( x ) x 2

Passo 1)

Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di P(x) (ad esempio, x − 1 andrà scritto come x + 0x − 1).

2 2

P ( x )

| B ( x )

Passo 2)

Dividiamo il termine di grado maggiore di P(x) che risulta essere , per il termine di grado maggiore di B(x), che è

e scriviamo il risultato sotto B(x).

Passo 3) 6

Ora scriviamo, sotto, il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado superiore, per il polinomio B(x). Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.

2

Notare che per come abbiamo calcolato il primo termine del quoziente, ovvero 3x si ha che

4

moltiplicandolo per B(x) si ottiene esattamente 3x che poi viene sottratto al primo termine di P(X), come si vede al passo successivo.

Passo 4)

Adesso si sottrae il polinomio così ottenuto al polinomio iniziale P(x) e si ha:

Passo 5)

Analogamente al passo 2, dividiamo il termine di grado maggiore di del polinomio ottenuto

2

− + + +

3 2

6 0 0

x x x per x il termine di grado maggiore di B(x) ed otteniamo .

A questo punto si moltiplica il per B(x) e si ottiene –x.

Passo 6) −

2

x , e si ottiene

Adesso si moltiplica il –x per il binomio B(x), ovvero per 2

Passo 7)

Eseguiamo la solita sottrazione: 7

Passo 8) − +

2

Dividiamo il termine di grado superiore di quanto ottenuto 6 2 0

x x per il termine di grado massimo di B(x), e si ottiene 6.

Passo 9)

Sottraendo membro a membro si ha: − +

A questo punto il binomio ottenuto come resto è 2 x 12 che è di grado più basso rispetto al divisore B(x), pertanto la divisione fra polinomi è conclusa e si ha:

= · +

P ( x ) B ( x ) Q ( x ) R ( x )

Dove:

= −

4 3

P ( x ) 3 x x

= −

2

B ( x ) x 2

= − +

2

Q ( x ) 3 x x 6

= − +

R x x

( ) 2 12

Pertanto:

− = − · − + + − +

4 3 2 2

x x x x x x

3 ( 2 ) (

3 6 ) ( 2 12 )

Infatti eseguendo le operazioni al secondo membro si ottiene il polinomio P(x) di partenza.

Cubo di un binomio

3 3 2 2 3

(a+b) = a + 3 a b + 3 a b + b 8

Triangolo di Tartaglia

Nel triangolo di Tartaglia ogni numero è somma dei due numeri superiori e viene usato per calcolare la potenza del binomio. Alla riga n+1 si ha la potenza n, ad es. alla riga 5 si ha il binomio di potenza 4.

4 4 3 2 2 3 4

(a+b) = a + 4 a b + 6 a b + 4 a b + b

Coefficienti binomiali

combinazioni di n elementi a gruppi di k



 n n

!





C = =





n+1,k+1 · −

k 

 k ! (( n k )!

Es. combinazioni di n elementi a gruppi di k, ad es. il numero di combinazioni su 4 elementi a gruppi di 2 è 6 e lo si vede facilmente dalla formula:

 

 

n 4 4

! 24

n

!

 

  = = 6

dove n è uguale a 4 e 4 è uguale a 2