Richiami di matematica Elementare

Richiami di matematica elementare

1. Richiami di algebra

1.1. Prodotti notevoli

Diamo un elenco dei principali prodotti notevoli:

(i) Potenze di binomio

(1) (a + b)² = a² + 2ab + b²,

(2) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Indicato con

(3) n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1

il fattoriale di n e con

(4) ⁿ C_k = ^n!⁄_{k!(n − k)!}

il coefficiente binomiale di n su k, la potenza n-sima di binomio è data da

(5) (a + b)ⁿ = ∑_k=0^{n n} C_k a^n−kb^k.

(ii) Quadrato di polinomio

(6) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

In generale se il polinomio è costituito da n termini a₁, . . . , a_n, abbiamo

(7) (∑_i=1ⁿ a_i)² = ∑_i=1ⁿ a_i² + 2∑_1≤i<j≤n a_ia_j.

(iii) Identità per scomposizioni

(8) a² − b² = (a − b)(a + b),

(9) a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

1.2. Equazioni e disequazioni di I e II grado

Una equazione di I grado si riduce alla forma normale ax = b

ed ha come soluzione

(10) x = b⁄a, a ≠ 0,

mentre risulta impossibile se a = 0, b ≠ 0 e indeterminata se a = b = 0.

Una equazione di II grado si riduce alla forma normale

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.

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Per essa si applica la formula risolutiva

(11) x = (−b ± √(b² − 4ac))⁄(2a),

la quale, a seconda dei valori assunti dal discriminante Δ = b² − 4ac, ammette:

• Due soluzioni reali distinte per Δ > 0,
• Due soluzioni reali coincidenti, pari a −b/(2a) per Δ = 0,
• Nessuna soluzione reale (due soluzioni complesse coniugate) per Δ < 0.

Le radici dell’equazione soddisfano poi alle relazioni

(12) x₁ + x₂ = −b⁄a, x₁ · x₂ = c⁄a.

La disequazione di primo grado

ax + b ≤ (≥)0

ammette come soluzione

(13) x ≤ (≥) −b⁄a, a > 0,

(14) x ≥ (≤) −b⁄a, a < 0.

Per la risoluzione della disequazione

ax² + bx + c > (<)0, a > 0,

si faccia riferimento alla seguente tabella (i casi per a < 0 si trattano in maniera analoga cambiando opportunamente i segni).

1.3. Radicali

Sia a ∈ R, n un numero naturale. Per radicale del radicando a di indice n si intende il numero ⁿ√a.

Si osservi che, quando n è pari, è necessario che a ≥ 0, viceversa le radici di indice dispari si intendono per qualsiasi numero reale. Inoltre, nel caso pari parleremo di radice aritmetica di a quando la si sceglierà senza segno (o, per meglio dire, con segno positivo), mentre parleremo di radice algebrica di a intendendo quella con segno positivo o negativo (ciò è dovuto al fatto che un numero positivo e il suo opposto, elevati ad una potenza pari, danno lo stesso valore). Nel caso delle

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radici dispari, invece, il segno della radice sarà concorde a quello del numero a.

Utilizzeremo spesso anche la seguente notazione:

ⁿ√a = a^1/n.

Valgono allora le seguenti proprietà per i radicali:

1.3.1. Somma

Due radicali si possono sommare se e solo se hanno uguale indice e uguale radicando.

1.3.2. Prodotto

Si ha ⁿ√a · ^m√b = ^nm√(a^m · bⁿ),

o equivalentemente a^1/n · b^1/m = (a^m · bⁿ)^1/(nm).

1.3.3. Quoziente

Si ha ⁿ√a : ^m√b = ^nm√(a^m : bⁿ),

o equivalentemente a^1/n : b^1/m = (a^m : bⁿ)^1/(nm).

1.3.4. Potenza

(ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m),

o equivalentemente (a^1/n)^m = a^m/n.

1.3.5. Radice

ⁿ√(^m√a) = ^nm√a,

o equivalentemente (a^1/n)^1/m = a^1/(nm).

1.3.6. Razionalizzazione

Quando un radicale si presenta al denominatore di una frazione è conveniente razionalizzare tale espressione, i.e. rendere il denominatore un numero razionale. Nel seguito riportiamo alcuni casi importanti:

(i) 1⁄ⁿ√(a^m) = ⁿ√(a^n−m)⁄a, m < n.

(ii) 1⁄(√a ± √b) = (√a ∓ √b)⁄(a ± b).

(iii) 1⁄(∛a ± ∛b) = (∛a² ∓ ∛(ab) + ∛b²)⁄(a ± b).

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1.4. Disequazioni irrazionali

Diamo di seguito lo schema risolutivo delle disequazioni della forma

(1) ⁿ√f(x) > g(x), (2) ⁿ√f(x) < g(x).

(i) n dispari.

L’equazione (1) diviene semplicemente

[f(x)] < g(x).

Analogamente la (2)

[f(x)] > g(x).

(ii) n pari.

L’equazione (1) equivale al sistema

g(x) ≥ 0
f(x) > 0
(f(x))ⁿ > g(x)

(15).

L’equazione (2) corrisponde ai due sistemi di equazioni

g(x) ≥ 0
f(x) < 0

e

f(x) ≥ 0
(f(x))ⁿ < g(x)

(16).

1.5. Successioni e progressioni