Nozioni di Insiemistica: Appunti di Analisi matematica II

Insiemi numerici e sottoinsiemi

L'insieme è costituito da elementi e si indicano gli elementi con la lettera minuscola. x ∈ A appartiene, x ∉ A non appartiene.

Scrivere un insieme: A: x | x verifica una proprietà { }

Insiemi numerici

N = numeri naturali {0, 1, 2...}

Z = numeri interi con in panchina "±0" "-1, 0, ±1, ±2, ..."

Q = {p/q tali che p, q ∈ Z, q ≠ 0} numeri razionali

R = x | x è un allineamento decimale"> numeri reali

C = z = x + iy {x, y ∈ R i = √-1 unità immaginaria} numeri complessi

Questi numeri sono ∞.

Sottoinsiemi e quantificatori logici

Abbiamo due insiemi A, B: diciamo che A è un sottoinsieme di B: A ⊆ B => ogni elemento di A è anche elemento di B. Si può anche scrivere B ⊇ A.

∀ per ogni ∃ è un quantificatore logico => implica implicazione <=> equivale P <=> Q vale se vale solo se Q è vera e viceversa.

Ex: A ⊆ B <=> ∀x (x ∈ A) => (x ∈ B)

L’insieme è costituito da elementi e si indicano gli elementi con la lettera minuscola. A ∈ A Appartiene. A ∉ A Non appartiene.

Descrivere un insieme: A: {X | X verifica una proprietà}

Insiemi numerici

N = numeri naturali {0, 1, 2, ...}

Z = numeri interi con n positivo ... -2, -1, 0, +1, +2, ...

Q = {P/q | tali che P, q ∈ Z, q ≠ 0} numeri razionali

R = {X | X è in un allineamento decimale} numeri reali

C = {Z = X + iY | X, Y ∈ R con i = √(-1) unità immaginaria} numeri complessi

Questi insiemi sono Co.

Abbiamo due insiemi A, B: diciamo che A è un sottoinsieme di B: A ⊆ B ⇒ ogni elemento di A è anche elemento di B. Si può anche scrivere B ⊇ A.

∀ = per ogni è un quantificatore logico.

⇒ = implica implicazione.

⇔ sequale P⇔Q vale P è vera solo se Q è vero e viceversa.

Esempio: A ⊆ B ⇔ ∀ x (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B)

Uguaglianza e proprietà dei sottoinsiemi

Due insiemi si dicono uguali se hanno gli stessi elementi.

A = B <=> (∀ x, x ∈ A <=> x ∈ B)

Se vogliamo dire che: A è un sottoinsieme proprio di B, ciò che esistono elementi di B che non appartengono ad A, allora si scrive: A ⊂ B ^ A ≠ B

“Esiste almeno uno”

A ⊂ B <=> (∀ x ∈ A, x ∈ B) e (∃ x ∈ B, x ∉ A)

∅ insieme vuoto

Proprietà

• Riflessiva: ogni insieme è sottoinsieme di se stesso.
• Antisimmetria: se A ⊂ B e B ⊂ A => A = B.
• Transitiva: se A ⊂ B e B ⊂ C => A ⊂ C.

Insieme delle parti

Dato un insieme A, il cosiddetto “insieme delle parti di A” si indica con P(A), è l’insieme i cui elementi sono tutti e possibili sottoinsiemi di A.

Es: P(A₃) = P({1, 2, 3})= {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Sottoinsiemi

Se A è un insieme finito -> |A| = Il cardinalità, cioè A, ossia il numero di elementi che ha | A | = m = cardinalità.

Teorema: |P(A_m)| = 2^m ∀ m ∈ ℕ⁺

Dimostrazione

Per dimostrare tale teorema ci utilizziamo il principio di induzione.

Se:

• Q(1) è vera ∀ m ∈ ℕ⁺ Q(m) ⇒ Q(m+1)

Induzione in questo supponendo vera Q(m) si può dimostrare che è vera Q(m+1).

Allora A(m) è vera ∀ n ∈ ℕ⁺

Esempio

A_n = {i} insieme costituito da n elemento {i}

P(A) = 2 → {∅, {i}}

|P(A_i)| = 2L

Supponiamo che per un certo m fissato vale |P(A_m)| = 2^m e dimostriamo che la cardinalità di |P(A_m+1)| = 2^m+1.

Infatti i sottoinsieme di A_m+1 sono i "vecchi", più "i nuovi", dove i "vecchi" sono quelli di A_m ed i nuovi sono quelli che contengono il elemento "m+1".

I nuovi si ottengono da i "vecchi", aggiungendo il nuovo elemento "m+1", come nel schema osserva.

• Vecchi -> Aggiungendo m+1:
• -> {m+1}
• -> {1, m+1}
• 1 -> {2, m+1}
• 2 -> {1, 2, m+1}
• m -> {1, 2, ..., m, m+1}
• Am {1, 2, ..., m} -> {1, 2, ..., m, m+1} = Am+1

Ottengo così tutti i nuovi sottoinsiemi.

Il numero totale di sottoinsiemi di Am+1 è uguale al numero totale dei vecchi ed il numero totale dei nuovi:

= 2ⁿ vecchi + 2ⁿ nuovi

= 2ⁿ + 2ⁿ

= 2ⁿ⁺¹

Osservazione - A volte l'indice iniziale m₀ = 0, a volte può essere un altro m₀ &in; N¹.

Per cui:

Se:

• Q(a₀) è vera ∀ m ≥ m₀, finito Q(m) => Q(m+1)

Allora Q(m) è vera ∀ n ≥ m₀