Appunti analisi 1: Nozioni introduttive

Maggiore di un insieme

Dato X ⊆ ℝ, x̄ si definisce maggiorante per X se: x̄ ≥ x ∀ x ∈ X;

Si denota con M l'insieme di tutti i maggioranti.

Massimo di un insieme

Dato X ⊆ ℝ, x̄ si definisce massimo di X se: x̄, oltre ad essere un maggiorante, ∈ X

Minore di un insieme

Dato X ⊆ ℝ, x̄ si definisce minorante per X se: x̄ ≤ x ∀ x ∈ X;

Si denota con M' l'insieme dei minoranti.

Minimo di un insieme

Dato X ⊆ ℝ, x̄ si definisce minimo di X se: x̄, oltre ad essere un minorante, ∈ X

Estremo superiore

Si definisce estremo superiore il minimo dei maggioranti di un insieme.

Sup X ∈ ℝ

Estremo inferiore

Si definisce estremo inferiore il massimo dei minoranti per un insieme.

Inf X ∈ ℝ

Caratterizzazione dell'estremo superiore

Dato X ⊆ ℝ, ē = sup X si definisce il minimo dei maggioranti di X o si caratterizza:

• ∀ x ∈ X : x ≤ ē;
• ∀ ε > 0 ∃ x₀ ∈ X : ē - ε

Caratterizzazione dell'estremo inferiore

Dato X ⊆ ℝ, ē' = inf X, cioè il più grande dei minoranti, si caratterizza:

• ∀ x ∈ X : ē' ≤ x;
• ∀ ε > 0 ∃ x₀ ∈ X : ē' ≤ x₀

Maggiore di un insieme

Dato X ⊂ ℝ, x̄ si definisce maggiorante per X se: ∀ x ∈ X : x̄ ≥ x;

Si descrive con M l'insieme di tutti i maggioranti.

Massimo di un insieme

Dato X ⊆ ℝ, x̄ si definisce massimo di X se: x̄, oltre ad essere un maggiorante, ∈ X

Minore di un insieme

Dato X ⊆ ℝ, x̄ si definisce minorante per X se: ∀ x ∈ X : x̄ ≤ x;

Si descrive con M′ l'insieme dei minoranti.

Minimo di un insieme

Dato X ⊆ ℝ, x̄ si definisce minimo di X se: x̄, oltre ad essere un minorante, ∈ X

Estremo superiore

Si definisce estremo superiore il minimo dei maggioranti di un insieme.

Sup X ∈ ℝ

Estremo inferiore

Si definisce estremo inferiore il massimo dei minoranti per un insieme.

Inf X ∈ ℝ

Caratterizzazione dell'estremo superiore

Dato X ⊆ ℝ, e* = sup X si definisce il minimo dei maggioranti di X e si caratterizza:

• ∀ x ∈ X : x ≤ e*;
• ∀ &varepsilon; > 0 ∃ x̄ ∈ X : e* - &varepsilon; < x̄ ≤ e*

Caratterizzazione dell'estremo inferiore

Dato X &subseteq; &reals;, e* = inf X, cioè il più grande dei minoranti, si caratterizza:

• ∀ x ∈ X : e* ≤ x;
• ∀ &varepsilon; > 0 ∃ x̄ ∈ X : e* ≤ x̄ < e* + &varepsilon;

Insieme non limitato superiormente

Se il sup X = +∞ l'insieme X si dice non limitato superiormente.

Ovvero: ∀K>0 ∃x_k∈X: x_k > K;

Insieme non limitato inferiormente

Se il inf X = -∞ l'insieme X si dice non limitato inferiormente.

Ovvero: ∀K>0 ∃x_k∈X: x_k

Insiemi separati

Detti A, B due insiemi ⊆ ℝ.

Essi si dicono separati se e solo se: ∀a ∈ A, b ∈ B: a ≤ b

Insiemi contigui

Detti A, B ⊆ ℝ, essi si dicono contigui se e solo se: ∀ε > 0 ∃ε_a ∈ A, b ∈ B: b_ε - a_ε

Densità di Q in ℝ

Detti due numeri reali (a, b) esiste sempre un numero (q) appartenente all'insieme Q: a

Funzione reale di variabile reale

Si dice funzione reale una legge che associa ad ogni x ∈ X un elemento y ∈ Y:

f: X ⊆ ℝ → Y ⊆ ℝ

Formalmente: ∀x ∈ X ∃! y = f(x) ∈ Y

X l'insieme viene detto dominio della funzione.

f(X), sempre l'insieme, viene detto codomino delle f.

Funzione iniettiva

Detta la f: X → Y ∈ X → ℝ una f viene detta iniettiva se e solo se: ∀ x, y ∈ X : x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y) oppure x = y ⇒ f(x) = f(y)

N.B.: una f non è iniettiva quando: ∃ x₁, x₂ ∈ X : x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) = f(x₂)

Funzione suriettiva

Detta la f: X → Y si dice suriettiva se: ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X : f(x) = y

Funzione invertibile (Inversa f^-1)

Detta la f: X → Y essa è invertibile solo se è iniettiva e suriettiva allo stesso tempo, dunque: ∀ y ∈ Y ∃! x ∈ X : y = f(x)

Da quest'ultimo tipo di funzione derivano le f.^-1 inverse, cioè:

f^-1 : Y → E : f^-1 (Y) ⊆ X dove f(x) = y ⇔ f^-1 (y) = x

Funzioni composte

Sono operazioni tra due funzioni, o meglio, funzioni in altre funzioni.

Dette due funzioni f: X → Y e g: W → Z una f. composta una e altro: g o f: X → Z ⇒ f(x) ∈ Y g ⇒ g(f(x)) ∈ Z

N.B.: Per ottenere una f. composta il codominio delle 1^a deve combaciare o essere un sottoinsieme del dominio delle seconda funzione.

Funzione pari/dispari

Detta la f: ℝ → ℝ

f si dice pari se f(x) = f(-x)

f si dice dispari se f(x) = -f(-x)

Funzioni monotone

Detto f: I → ℝ

• f monotona crescente (⇔) ∀_{x1, x2∈I: x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)}
• f monotona strettamente crescente (⇔) ∀_{x1, x2∈I: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)}
• f monotona decrescente (⇔) ∀_{x1, x2∈I: x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)}
• f monotona strettamente decrescente (⇔) ∀_{x1, x2∈I: x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)}

Casi particolari: se f è costante, ovvero y = K, f: x∈ℝ → c∈ℝ la funzione sarà sia crescente che decrescente.

NB.: Quando f è strettamente monotona essa è anche iniettiva.

Massimo assoluto (M∈ℝ)

Detto f: I → ℝ; essa è dotata di massimo assoluto (M∈ℝ) se: M = f(x): ∀x∈I un più ∃_{xM∈I: f(xM) = M}

Minimo assoluto (m∈ℝ)

Detto f: I → ℝ è dotata di minimo assoluto (m∈ℝ) se e solo se: m = f(x): ∀x∈I un più ∃_{xm∈I: f(xm) = m}

Limite superiore (l)

Detto f: I → ℝ è limite superioreomeo (l) se e solo se:

• ^Il= l: ∀_xk∈I: f(x) ≤ l: ∀_x∈I∀ε>0 ∃x∈I: l−ε<f(x)ε)

NB.: l’uso è dotata di limite superiore se ^Isup f = +∞ cioè: ∀^K>0∃x∈I: f(x_K) > K

Limite inferiore (l)

Detto f: I → ℝ; essa è limite inferioreomeo (l) se e solo se:

• ^If: ∀_xk∈I: f(x) ≤ l

NB: f non è limitata superiormente se lim┬(x→+∞)⁡ f = +∞ ovvero: ∀X ∃K ∈ I : f(xₖ) < -K ;

Composizioni (f composte crescenti e decrescenti)

Possono esserci due ex:

• f e g sono monotone crescenti/decrescenti, di conseguenza f composta (f∘g) sarà una f crescente.
• f e g sono una crescente e l'altra decrescente in questo caso le f composte (f∘g) sarà una f decrescente.

Funzione potenze ad esponente intero

Esponente pari (n pari)

Esponente dispari (n dispari)

f: x ∈ ℝ → xⁿ ∈ ℝ f: x ∈ ℝ → xⁿ ∈ ℝ

Funzione radice ad esponente intero

Esponente pari (n pari)

Esponente dispari (n dispari)

f: x ∈ [0, +∞[ → √x ∈ [0, +∞[ f: x ∈ ℝ → √x ∈ ℝ

Funzione esponenziale (a^x) a>0, a≠1

Base maggiore di 1 (a>1)

f: x ∈ ℝ → a^x ∈ ]0,+∞[

Base minore di 1 (0<a<1)

f: x ∈ ℝ → a^x ∈ ]0,+∞[

Funzione logaritmo (log_ax) a>0, a≠1

Base compresa (0<a<1)

f: x ∈ ]0,+∞[ → log_ax ∈ ℝ

Base maggiore (a>1)

f: x ∈ ]0,+∞[ → log_ax ∈ ℝ

Disequazioni irrazionali

Sono una particolare tipologia di disequazioni irrazionali in cui figura una o più radici.

Caso n dispari

• ⁿ√P(x) ≤ ⁿ√Q(x) ⇔ P(x) ≤ Q(x)
• √P(x) = Q(x) ⇔ P(x) = Q(x)
• √Q(x) ≤ √P(x) ⇔ P(x) ≤ Q(x)

Caso con n pari

• ⁿ√P(x) ≤ ⁿ√Q(x) ⇔ {P(x) ≤ 0Q(x) ≤ 0P(x) ≥ 0Q(x) ≥ 0
• P(x) ≡ Q(x) ⇔ P(x) = Q(x)

Funzione "reciproca" (iperbole) 1/x

n pari

f: x ∈ ℝ \ {0} → 1/x ∈ ]0,+∞[

n dispari

f: x ∈ ℝ \ {0} → 1/x ∈ ℝ \ {0}