Moto di un satellite: problema kepleriano e perturbazioni orbitali

Marco Giancola, moto di un satellite 1

Moto di un satellite: problema kepleriano e perturbazioni orbitali

Marco Giancola

Si definisce satellite un qualsiasi oggetto, naturale o artificiale, orbitante attorno ad un corpo celeste.

La stessa Terra è un esempio di satellite, in quanto orbita attorno al Sole; così come la Luna, che orbita attorno alla Terra.

Il moto dei satelliti artificiali segue le stesse leggi fisiche del moto dei satelliti naturali, con la differenza però che mentre questi ultimi si muovono su orbite relativamente semplici e totalmente predeterminate, le orbite dei satelliti artificiali possono essere “progettate” e sono soggette a controllo ed eventuali mutazioni.

Lo Sputnik 1, il 1° satellite artificiale (© NSSDC, NASA)

Consideriamo il moto di un satellite (naturale o artificiale) di massa m in prossimità di un corpo celeste di massa M molto maggiore di m, ovvero tale che m sia trascurabile rispetto a M.

Supponiamo che il corpo celeste sia sferico ed omogeneo (oppure a strati sferici omogenei), in modo da poterlo considerare puntiforme (infatti il campo gravitazionale che un tale corpo genera è uguale a quello che verrebbe generato da una massa pari a M posta nel centro del globo).

Ipotizziamo inoltre che sul satellite (il quale, essendo di dimensioni trascurabili rispetto a quelle del corpo celeste, può essere considerato anch’esso puntiforme) agisca esclusivamente l’attrazione gravitazionale del corpo di massa M.

In queste ipotesi, studiare il moto del satellite equivale a risolvere il problema ristretto dei due corpi, detto anche problema kepleriano, che è un caso particolare del problema dei due corpi.

La soluzione del problema dei due corpi, che venne posto e risolto da Newton, fornisce la posizione e la velocità di due corpi, le cui masse sono note, che si muovono sotto l’azione della loro mutua forza di attrazione gravitazionale, quando sono note le posizioni e le velocità che assumono ad un certo istante.

Tale problema è d’importanza basilare per due motivi principali: innanzitutto esso è l’unico problema di dinamica gravitazionale del quale si abbia una soluzione completa e generale; secondariamente molti problemi pratici riguardanti il moto orbitale di un qualsiasi veicolo spaziale possono essere trattati in modo approssimato con il problema ristretto dei due corpi.

Sistema di riferimento e legge gravitazionale

Consideriamo un sistema di riferimento concentrico e solidale con il corpo celeste di massa M, il cui moto è supposto tale da poter considerare tale sistema inerziale.

Sia il raggio vettore che individua la posizione del corpo di massa m nel riferimento scelto (come illustrato nel disegno sottostante); indicheremo con il suo versore.

r̂ 1

Marco Giancola, moto di un satellite 2

m

r

M

Per la legge di gravitazione universale, la forza che agisce sul satellite è

F⃗ = − GMm / r² r̂ = − μm / r² r̂

dove μ = GM, ossia il prodotto della costante di gravitazione universale per la massa del pianeta, prende il nome di costante gravitazionale planetaria.

Dalla formula precedente e dalla seconda legge della dinamica

F⃗ = m d²r⃗ / dt²

ricaviamo:

d²r⃗ / dt² = − μ / r² r̂ (1)

che è la prima equazione fondamentale dell’astrodinamica.

Per determinare il moto del satellite, occorre integrare la (1), la quale, essendo un’equazione vettoriale differenziale del 2° ordine (equivalente quindi ad un sistema di tre equazioni scalari differenziali del 2° ordine), necessita di sei condizioni iniziali.

Se le condizioni sono note tutte all’istante iniziale, ad esempio la velocità iniziale e la posizione iniziale (due condizioni vettoriali equivalenti a sei condizioni scalari), otteniamo un classico problema di Cauchy, che ammette un’unica soluzione.

Se invece le condizioni sono note in parte all’istante iniziale ed in parte ad un altro istante, otteniamo quello che si chiama problema di Lambert o problema dei due punti, il quale non è sempre risolvibile.

Momento angolare e piano del moto

Premoltiplicando vettorialmente la (1) per r⃗, otteniamo:

r⃗ × d²r⃗ / dt² = − μ / r² r⃗ × r̂ = 0

Infatti il campo gravitazionale è un campo centrale: l’accelerazione è diretta sempre come il vettore posizione.

Aggiungendo al 1° membro della precedente equazione il termine

d/dt (r⃗ × dr⃗/dt) = 0

si ottiene:

d²r⃗/dt² × r⃗ + dr⃗/dt × dr⃗/dt = 0 ⇒ d/dt (r⃗ × dr⃗/dt) = 0 ⇒ r⃗ × dr⃗/dt = cost. ≡ h⃗

(con cost. indichiamo una generica costante vettoriale).

Quindi il momento angolare (per unità di massa), che abbiamo chiamato h⃗, è un integrale primo del moto del satellite.

Il piano del moto è quello individuato, all’istante iniziale, dal vettore posizione r⃗ e dalla velocità dr⃗/dt; pertanto è il piano passante per il centro del corpo celeste ed ortogonale ad h⃗.

Poiché h⃗ è costante (in modulo, direzione e verso), se ne deduce che anche il piano del moto è costante; quindi il moto kepleriano è un moto piano.

Velocità angolare

Si può dimostrare che ω = h / r²

dove ω è la velocità angolare con cui il raggio vettore ruota rispetto al riferimento scelto.

Quest’ultima espressione ci servirà per ricavare un altro integrale primo del moto del satellite.