Sistemi spaziali

Sistemi spaziali

Prof: Fabio Santoni
Anno: 2021

Indice dei contenuti

• Richiami meccanica del volo
• Traccia a terra
• Coverage (problemi di copertura)
• Visibility (problema di visibilità)
• Tempo di eclisse
• Moto del Sole rispetto la Terra
• Orbite eliosincrone
• Ambiente spaziale
• Microgravità e gravità
• Dinamica del volo relativo (come si muovono gli oggetti in orbita)
• Drag atmosferico
• Thermal control systems
• Spacecraft electrical power system functions
• Sistemi di accumulo

Sistemi spaziali

Richiami meccanica del volo

Per studiare i nostri sistemi adotteremo un modello dinamico semplificato, ovvero:

• Penseremo alla Terra come un unico corpo celeste presente nell’ambiente
• Il cui campo gravitazionale è a simmetrica sferica
• La massa del satellite sarà trascurabile rispetto alla massa della Terra.

Le leggi del moto saranno valide in un sistema inerziale, l’asse di rotazione della Terra (asse Polare) sarà ortogonale al piano equatoriale, definiamo inoltre la direzione dell’Ariete come l’intersezione tra il piano equatoriale e il piano dell’eclittica (piano rivoluzione Terra intorno al Sole). Dall’equazione fondamentale dell’astrodinamica arriviamo semplifico il grado del sistema attraverso gli integrali primi del moto e scopro che il momento angolare h è ortogonale alla posizione r e alla velocità v, inoltre la sua derivata è zero, dunque costante nel tempo. Il campo è centrale, ovvero la forza o l’accelerazione è diretta lungo r (posizione).

Integrali primi del moto: Verifichiamo un’altra conseguenza importante del fatto che h è costante, tutte le volte che in un sistema dinamico c’è una quantità che rimane costante mentre il sistema evolve, ovvero la posizione e la velocità, il satellite si muove in modo tale che un’altra quantità si mantiene costante. Visto che è questa combinazione di coordinate si mantiene costante, diventa un vincolo per le coordinate, quindi non ho più 6 coordinate indipendenti, ma visto che ci sono 3 quantità scalari che si conservano nel tempo (vincolo) e mi riducono il grado del sistema, appena assegno le condizioni iniziali i gradi di libertà si riducono a 3 e il moto diventa piano e la velocità areolare è costante. Attraverso l’integrale primo riduco il grado del sistema e semplifico. Assegnate le condizioni iniziali h rimane costante e il corpo si muove in modo tale che h rimanga costante. I vettori r e v si muovono sul piano orbitale, infatti r è perpendicolare ad h, dunque r si muoverà per forza sempre sullo stesso piano.

Qual è la conseguenza di h=cost? Il vettore h è legato alla velocità angolare orbitale. Quest’ultima descrive la rotazione di r nel piano orbitale e le due quantità sono legate dall’equazione:

Cerco un’altra quantità costante nel tempo, trovo il vettore eccentricità, esso sta nel piano orbitale, ortogonale ad h, viene assunto come direzione di riferimento nel piano orbitale per descrivere la traiettoria. Definisco inoltre l’anomalia vera (u) come l’angolo tra il vettore posizione r e il vettore eccentricità, questo angolo mi dà informazione su come ruota r.

Ora posso trovare l’equazione che descrive la traiettoria in coordinate polari con origine in e, ovvero l’equazione polare di una conica con origine nel fuoco:

! = (ℎ /)/1 +

Dove la quantità al numeratore è definita come p=semilato retto, dove troviamo µ=costante planetaria. Determino inoltre il vettore velocità (maggiore al pericentro rispetto all’apocentro)

" [ ] = +#

Dunque, abbiamo trovato 2 integrali primi: h, e. Essi non sono indipendenti, sono ortogonali tra loro, quindi abbiamo 5 integrali primi scalari indipendenti, attraverso i quali definiamo la posizione e la direzione della posizione. Ma nel tempo cosa succede? Quindi verifichiamo cosa succede per u derivato nel tempo. Se risolviamo in modo analitico l’equazione differenziale troveremo la soluzione del moto di un punto materiale intorno ad una massa attraente. Assegnato u è facile trovare il tempo t, mentre assegnato t non è facile trovare u, conviene usare dunque l’anomalia eccentrica anziché l’anomalia vera.

Definisco un altro integrale primo, l’energia:

! = - = $

Le orbite kepleriane sono quelle che descrivono il moto di un satellite con massa trascurabile intorno ad un corpo di massa “grande”, abbiamo due corpi, uno attraente e uno che non ha effetti, la traiettoria in questo problema ristretto è chiamata kepleriana.

I 5 integrali primi h ed e sono i parametri geometrici con i quali definisco la geometria della traiettoria, ma ci manca solo posizionare il satellite lungo la trattoria nel tempo, e lo facciamo attraverso un ultimo parametro che appunto individua la posizione lungo la traiettoria. La combinazione dei 5 integrali primi e dell’ultimo parametro vengono detti parametri orbitali. Classicamente si usano i 6 parametri di Lagrange:

• a Semiasse
• e Eccentricità
• Argomento del perigeo
• Inclinazione
• Ω Ascensione retta del nodo ascendente
• tp Istante di passaggio al perigeo

Dai disegni posso vedere come il piano orbitale viene definito dai soli parametri inclinazione e ascensione retta del nodo ascendente. Come ultimo parametro per la posizione iniziale lungo la traiettoria si prende a scelta o l’anomalia iniziale u0, oppure il tempo trascorso dal passaggio al perigeo.

Riassumendo dunque, abbiamo visto gli integrali primi vettoriali, momento angolare e vettore eccentricità, che non sono indipendenti, sono ortogonali. In più abbiamo visto l’integrale primo di energia, basta moltiplicare l’equazione del moto per la velocità e dunque la potenza istantanea, e vedere se si conserva. Si conserva la somma dell’energia cinetica e potenziale. Questo integrale primo non aggiunge informazioni rispetto agli altri due, infatti esiste una dipendenza.

Rimane da definire la traiettoria (l’ellisse) nel piano, lo facciamo ruotando la linea degli apsidi (linea del semiasse maggiore).

Quindi i 3 parametri geometrici:

1. Individuiamo il vettore eccentricità e (a partire da Argomento del perigeo, varia da 0 a 360°). Ricordiamo che si parla di argomento quando calcoliamo un angolo a partire dalla linea dei nodi.
2. Dopodiché vediamo la forma della conica (data da e, compresa tra 0 a 1).
3. Il semiasse infine descrive la dimensione della conica.

Il sesto parametro (non geometrico) mi aiuta a determinare la posizione sulla traiettoria, lo faccio attraverso un angolo, l’anomalia vera.

Ricordo che:

• Ascensione retta: Piano Eq. e parto da gamma.
• Longitudine: Piano Eq. e parto da Greenwich.
• Argomento: Piano Orb. e parto dalla linea dei nodi N.
• Anomalia: Piano Orb. e parto dal perigeo.

La posizione rispetto l’orbita posso definire anche il tempo di passaggio dal perigeo, ovvero il tempo trascorso dal passaggio al perigeo. Ora il problema è: assegnati i 5 parametri geometrici + il sesto sulla posizione iniziale, come determino posizione e velocità iniziale? Me li posso calcolare nel riferimento e – p.

Ora però dobbiamo proiettare e – p nel riferimento inerziale c2 – c3.

Ora occorre scrivere h rispetto ai parametri orbitali: E dunque sostituisco al vettore e.

Traccia a terra (ground track)

L’obiettivo è quello di rappresentare il moto del satellite non più sul riferimento inerziale ma rispetto la superficie terrestre, attraverso il moto del “punto sotto satellite”, ovvero il punto della superficie terrestre sulla cui verticale si trova il satellite. Definiamo dunque la longitudine (posizione rispetto meridiano di Greenwich).

Il moto del punto sotto-satellite dipende da 2 movimenti, dal moto del satellite ma anche dal moto della Terra intorno a sé stessa: Da questa immagine è evidente la differenza tra giorno siderale e giorno solare, quest’ultima non è costante, poiché la velocità della Terra intorno al sole varia a seconda se si trova in prossimità del perielio o afelio. La Terra, dunque, non deve fare un semplice giro di 360° per ritrovare il mezzogiorno nello stesso punto del giorno precedente, ma deve compensare anche un angolo di circa 0.9856°, ovvero quello spazzato nelle 24h.

Per quanto riguarda il giorno siderale invece non prendiamo in considerazione il Sole, ma una stella a distanza infinita, esso ha una durata pari a 360 divido la velocità angolare della Terra, ottenendo 86164 s, circa 23,93 h.

Ora torniamo al calcolo della ground track, in termini di longitudine e latitudine. Sostanzialmente quello che succede è questo: Abbiamo il sistema di riferimento inerziale c2 – c3, dove punta alla costellazione dell’ariete– dunque è fisso, inoltre r1 r2 r3 vivono nel riferimento inerziale. Noi invece vogliamo osservare oggetti sulla superficie terrestre quindi dobbiamo descrivere il moto rispetto la superficie terrestre, che gira su sé stessa, dunque non è fissa nel riferimento inerziale. Dobbiamo introdurre il fatto che la Terra si muove su sé stessa e ruota intorno all’asse c3 con una velocità angolare (7,292 10^-5 rad/s), il meridiano di Greenwich non è fisso, gira, dunque l’angolo G cambia nel tempo (con un valore iniziale G0). Dunque, quando parliamo di traccia a Terra dobbiamo tenere conto che il punto sotto-satellite si muove sulla superficie terrestre, e il moto della Terra influenzerà il moto del satellite. Dalla variazione del vettore G (poiché il satellite si muove) e la variazione della posizione di Greenwich (poiché la Terra gira) abbiamo la longitudine, che ci dice come si muove il satellite rispetto la Terra.

Orbita geostazionaria

Orbita circolare, equatoriale che ruota insieme alla terra. Non si muove rispetto la superficie terrestre, si traduce con un punto. Se prendiamo un’orbita equatoriale sotto l’orbita geostazionaria, essa sarà più veloce, sarà sempre equatoriale, il satellite sarà più veloce della Terra e quindi si sposta verso est. Se prendiamo un’orbita equatoriale più alta dell’orbita geostazionaria, essa sarà più lenta della Terra, il satellite drifta verso ovest (questo vale per tutti i corpi lontani).

Orbita polare

Percorriamo un meridiano, il polo rappresenta una singolarità. In realtà però non percorriamo esattamente il meridiano, infatti la terra ruota (al polo invece la vediamo ferma), quindi la traccia si sposta verso ovest (traccia verde). Questi sono due casi speciali, è interessante vedere le orbite circolari inclinate, che effetti ha la rotazione terrestre sulla ground track?

Ground track con Terra fissa:

Ground track con Terra in rotazione: (si accorcia l’orbita). Lo sfasamento è di circa 25°, questo è il caso di orbite dirette, ovvero orbite con direzione della rotazione terrestre.

Ground track retrograda con Terra in rotazione: (si allunga l’orbita). Ora percorro l’orbita in verso opposto della Terra, il movimento relativo della Terra si somma a quello dell’orbita.

Vediamo 2 tipi di orbite con apogeo quasi stazionario:

• Orbita Molniya: Periodo di 12 ore, apogeo nel vertice dell’orbita molto lento e un perigeo nel vertice sud molto veloce.
• Orbita Tundra: Periodo di 24 ore (come quella geosincrona), avrà dunque una traccia a Terra chiusa.

In generale se vogliamo una traccia periodica basta soddisfare la seguente condizione:

= %&'(# )'*

Dunque, in n rotazioni della Terra faccio m orbite, con n e m numeri interi. Ma perché ho bisogno che ripassi sullo stesso punto? Perché voglio confrontare le immagini nel tempo, come cambia la Terra nello stesso punto.

TLE Data

Two-line element set rappresentano un modo di classificare i satelliti attraverso 2 linee in cui vengono elencati i parametri orbitali.

Coverage

La geometria con cui la Terra è vista dal satellite. Qual è la zona coperta del satellite? Potrà vedere solo un cerchio centrato nel sotto-satellite, ma quanto è ampio? Basta vedere la retta tangente alla Terra e passante dal satellite, quello rappresenta l’orizzonte visibile dove:

=

Se invece non copro l’intero angolo solido ma solo una parte? Con angolo di Nadir intendiamo l’angolo tra la verticale passante per il punto di osservazione e la retta passante per il centro della Terra. Con la quota assegnata trovo le 3 relazioni tra angoli, importanti per risolvere il problema del triangolo. L’angolo di elevazione rappresenta quanto in alto dobbiamo guardare dall’orizzontale locale per raggiungere il satellite. Non sempre l’angolo massimo rappresenta il visibile, infatti potrebbe essere anche un semplice angolo. Il raggio della Terra e la quota del satellite sono sempre noti. Attraverso tutti questi angoli posso creare delle relazioni che mi aiutano a trovare tutti i parametri utili per risolvere la geometria del piano.

Una volta data la quota del satellite abbiamo 3 casi: Ora mi preoccupo della zona di copertura del satellite, quindi fissare punto sotto-satellite (latitudine e longitudine), fissare ampiezza zona coperta, e calcolare latitudine e longitudine dell’intero cerchio limite di copertura. Per fare ciò considero la seguente immagine: SSP è il mio satellite, e avrà una longitudine rispetto Greenwich (G) e una latitudine rispetto l’equatore, ora dunque voglio in termini latitudine e longitudine la zona di copertura (tracciata in rosso). Sarà un cerchio di ampiezza con P punto estremo della zona di copertura (descritta facendo ruotare l’angolo di azimuth di 360°). Prendo il nord come sistema di riferimento, dunque si formerà un triangolo con vertice in N.

Quindi l’esercitazione consiste nel tracciare sul planisfero la zona coperta una volta assegnati il punto sotto-satellite e l’ampiezza di copertura, potrebbe essere l’intero orizzonte, oppure un fascio ristretto. Così facendo si crea un triangolo sferico. Ora diamo una definizione di triangolo sferico e ne definiamo le relazioni una volta per tutte, così poi da riuscire a calcolare la latitudine e longitudine del punto P. Il triangolo sferico lo costruisco attraverso tre circonferenze massime. Ora dobbiamo trovare le relazioni tra i lati e gli angoli (A, B, C).

La somma degli angoli interni non è la stessa dei triangoli piani (180°), non c’è una regola generale. Stabilisco ora delle relazioni tra i seni e i coseni dei lati e angoli: Ora prendiamo in considerazione la normale di uno dei 3 cerchi massimi che delimitano il triangolo: A questo punto definiamo il triangolo polare, che è utile per la dimostrazione del teorema dei coseni per gli angoli diedri: Il triangolo polare è un triangolo sferico definito dalle 3 normali. La sua particolarità è che gli angoli formati dalle normali sono supplementari agli angoli diedri (formati dalle proiezioni dei versori). Un triangolo sferico particolare è quello con almeno uno degli angoli diedri è retto: Una generalizzazione ulteriore si ottiene ricombinando le varie relazioni e ottenendo le leggi di Nepero (10 formule): non vanno sapute.

Ora torniamo al problema di partenza, ovvero calcolare la latitudine e longitudine del cerchio di copertura del satellite. Riprendiamo l’immagine di partenza: Abbiamo due meridiani di riferimento, quello di sotto-satellite e quello passante per P, definiamo inoltre la colatitudine (ampiezza di meridiano compreso tra N e il punto in questione) del punto sotto-satellite e di P. Ricordiamo che è noto, e facendo ruotare di 360° l’azimuth percorriamo l’intera circonferenza di copertura. Quindi tutto dipende dall’azimuth.

La longitudine di P la prendiamo con riferimento a Greenwich.