Il satellite geostazionario

Il satellite geostazionario

Gravitazione

Il satellite geostazionario

Gravitazione

Un satellite artificiale, in orbita circolare equatoriale attorno alla Terra, viene detto geostazionario quando il suo periodo di rivoluzione è esattamente uguale ad un giorno terrestre.

I satelliti di questo tipo, che appaiono ad un osservatore terrestre come una stella fissa, durante la rotazione apparente della volta celeste, risultano particolarmente utili per le telecomunicazioni e la meteorologia.

Determinare quale deve essere la distanza h di un satellite geostazionario dalla superficie terrestre e quanta parte di essa è in grado di ricevere direttamente i suoi segnali.

La condizione fisica che consente ad un corpo qualsiasi di mantenersi in orbita attorno ad un corpo celeste, si esprime affermando che la forza centrifuga agente sul primo deve uguagliare (in modulo) la forza gravitazionale esercitata dal secondo (e viceversa).

Indicata con m la massa del satellite e con v la sua velocità orbitale, detta M la massa della Terra, R₀ il suo raggio ed h la distanza del satellite dalla superficie terrestre, possiamo esprimere la forza centrifuga F_c e quella gravitazionale F_G nel modo seguente: (1) (2)

In base a quanto già precedentemente affermato, per l'equilibrio dell'orbita, deve verificarsi la condizione: (3)

Pertanto, utilizzando la (1) e la (2) e dopo aver semplificato i fattori comuni m ed (R₀+h), la (3) assume la seguente forma scalare: (4)

Poiché il satellite si muove sull'orbita di moto circolare uniforme, ricordando quanto già visto in cinematica, indicata con ω la sua velocità angolare e con T il suo periodo di rivoluzione, possiamo scrivere:

Esprimendo allora la velocità v in funzione del periodo T, la (4), dopo qualche passaggio algebrico, diventa: (5)

Si noti che la (5) non esprime altro che la 3ª legge di Keplero perché il 2° membro dell’equazione è ovviamente costante.

Indicato con T₀ il periodo della rotazione terrestre (T₀ = 24 ore), per risolvere il problema è sufficiente porre nella (5) T₀ al posto di T e ricavare da essa la distanza h che risulta l’unica incognita.

Per agevolare i calcoli, ricordiamo anche che, in base alla (1) del problema 9.3, vale l’uguaglianza GM = g R₀².

Pertanto possiamo concludere che l’altezza del satellite geostazionario è: h = √ ³⁄_4π²g R₀²T₀² − R₀ (6)

Esprimiamo tutte le grandezze dell’equazione (6) nel Sistema Internazionale (S.I.) utilizzando i seguenti valori numerici:

• g = 9,81 m/s²;
• T₀ = 24 × 3600 s;
• R₀ = 6,4 × 10⁶ m

Con semplici calcoli otteniamo: h = 3,595 × 10⁷ m = 35.950 Km ≅ 36.000 Km

Per rispondere all’ultima domanda del problema, procediamo con l’aiuto della Figura 9.4.

Detta S la posizione del satellite, T il centro della Terra e condotte le tangenti SA ed SB alla sezione piana della sfera terrestre, osserviamo che l’angolo solido ASB rappresenta il massimo angolo di visuale per il satellite.

Indicato con θ l’angolo A ̂TS e osservando che il triangolo ATS è rettangolo in A, dalla trigonometria elementare, si deduce facilmente:

cosθ = R₀ / (R₀+h) (7)

Per ottenere la superficie “vista” dal satellite è sufficiente calcolare l’area Σ della calotta sferica avente diametro di base AB ed altezza MH = ᒪ. La geometria solida ci