Il moto dei satelliti artificiali

Carlo Sintini Satelliti artificiali www.matematicamente.it

1. Satelliti artificiali

Carlo Sintini

1. Il moto dei satelliti

Il 4 ottobre 1957 venne lanciato il primo satellite artificiale intorno alla Terra, ebbe inizio l'era spaziale e l'opinione pubblica cominciò a conoscere dai mass media i concetti fondamentali della navigazione spaziale e i termini ad essa relativi, come velocità di fuga, orbita terrestre, satellite geostazionario, ecc.

Quanti però conoscono realmente il significato fisico e matematico che si nasconde dietro tali termini?

Supponiamo di trovarci su un'alta montagna, come mostrato nella figura a fianco, e di lanciare un corpo in direzione orizzontale verso la pianura sottostante.

Effettuando diversi lanci a velocità crescente potremo notare che il corpo cadrà sempre più lontano secondo un'orbita che sappiamo essere una parabola con asse verticale e concavità verso il basso.

Con maggiore precisione possiamo affermare, e lo proveremo, che si tratta in realtà di una ellisse fortemente eccentrica: lo scostamento dalla parabola, inizialmente insensibile, diverrà sempre più evidente man mano che la gittata aumenta e non sarà più possibile ritenere parallele fra loro le verticali nel punto di partenza e nel punto di arrivo.

La traiettoria ellittica ha un fuoco nel centro della Terra e, se si scavasse una galleria, il corpo descriverebbe l'intera ellisse e tornerebbe nel punto di partenza con la stessa velocità iniziale con cui era partito, naturalmente trascurando l'attrito con l'aria.

Per velocità iniziali sempre più elevate la traiettoria si fa meno eccentrica fino a quando, con una velocità di circa 28.000 Km/h, il corpo percorrerebbe una traiettoria perfettamente circolare, mantenendosi sempre alla stessa quota costante ed effettuando un giro completo intorno alla Terra in circa un'ora e mezza.

Per velocità maggiori il corpo descriverà sempre un'ellisse, ma la Terra si troverà nell'altro fuoco: in altre parole, con una velocità iniziale minore di quella caratteristica della circonferenza, 28.000 Km/h, il punto di partenza del corpo costituirà il perigeo dell'orbita, mentre per velocità maggiori il punto di partenza costituirà l'apogeo.

2. Energia potenziale in un punto

L'energia potenziale gravitazionale in funzione della distanza x dal corpo di massa M che genera il campo, è

U = − G Mm / X

Infatti l'energia potenziale aumenta all'aumentare di x, deve essere nulla all'infinito e perciò in tutti i punti intermedi deve avere valore negativo.

La funzione rappresenta una iperbole equilatera con gli asintoti coincidenti con gli assi coordinati.

3. La traiettoria di un satellite

Si abbia un pianeta di massa M ed un satellite di massa m con velocità V, ad una distanza r dal pianeta.

Per il principio di conservazione dell'energia, la somma della sua energia cinetica e della sua energia potenziale è costante.

1/2 mV² − G Mm / r = E

Le due componenti della velocità V lungo la direzione radiale e lungo la direzione trasversale sono:

V_r = dr / dt = V cos α

V_ϕ = r dϕ / dt = V sen α