Moti rispetto a riferimenti diversi

Problemi di meccanica e cambiamento di riferimento

Consideriamo un elemento E distinto dal punto di RC e di RP che esso occupa al generico istante t. L'elemento E si muove rispetto ad RC e rispetto a RP e i due moti sono in generale diversi tra loro. L'adozione di un unico spazio di riferimento per la trattazione dei problemi di meccanica è possibile ma poco conveniente in quanto renderebbe più complicata la loro risoluzione. Si pone quindi il problema del cambiamento di riferimento: ossia noto il moto del corpo rispetto RC, determinare il suo moto rispetto RP.

Cambiamento di riferimento

Innanzi tutto conviene considerare il corpo come un unico elemento e poi bisogna stabilire delle relazioni fra le rappresentazioni dei due moti rispetto a due riferimenti nonché tra le velocità e le accelerazioni dell'elemento in questi riferimenti. Applicando tali relazioni allo schema particellare pensato si risolve per ogni corpo il problema del cambiamento di riferimento.

Il moto dello spazio solido a RP rispetto a quello solido a RC è individuato dalle equazioni { αR = αR(t) } nelle quali ciascun punto di RC è associato alla terna di coordinate x, y, z mentre ciascun punto di RP sia alla terna ξ, η, ζ sia alle funzioni x(t), y(t), z(t) che individuano di RC occupato da quello di RP.

Elementi di RC e RP

Consideriamo un elemento E distinto del punto d di RC e di RP che esso occupa al generico istante t. L'elemento E si muove rispetto ad RC e rispetto a RP e i due moti sono in genere diversi tra loro. L'adozione di un unico spazio di riferimento per la trattazione dei problemi di meccanica è possibile ma poco conveniente in quanto renderebbe più complicata la loro risoluzione. Si pone quindi il problema del cambiamento di riferimento: ossia noto il moto del corpo rispetto RC, determinarne il suo moto rispetto RP.

Innanzi tutto conviene considerare il corpo come un unico elemento e poi bisogna stabilire delle relazioni tra le rappresentazioni dei due moti rispetto ai due riferimenti nonché tra le velocità e le accelerazioni dell'elemento in questi riferimenti. Applicando tali relazioni allo schema particellare pensato si risolve per ogni corpo il problema del cambiamento di riferimento. Il moto dello spazio solido a RP rispetto a quello solido a RC è individuato dalle equazioni: { αΣ = αΣ(t) Σ₁ = Σ₁(t) Σ₂ = Σ₂(t) Σ₃ = Σ₃(t) } nella cui espressione punto di RC si è associato alla terna di coordinate x, y, z mentre esso in punto di RP sia alla terna Ξ, η, ζ, sia alle funzioni x(t), y(t), z(t) che individuano il punto di RC occupato da quello di RP.

Riferimenti fisso e mobile

I punti di RC sono fissi, quindi RC prende il nome di riferimento fisso mentre quelli di RP sono mobili, quindi RP prende il nome di riferimento mobile. Per distinguere i moti di E rispetto a RC e ad RP si parla di moti assoluti (in RC) o relativi (in RP).

Se un elemento E in un intervallo di tempo è esattamente sovrapposto ad un medesimo punto di RP allora il suo moto relativo sarà la quota mentre quello assoluto sarà rappresentato dall'equazione:

^OP̄(t) = ^OR̄(t) + ξ ^E₁̄(t) + η ^E₂̄(t) + ζ ^E₃̄(t)

dove ξ, η, ζ sono le coordinate in riferimento mobile del punto (di RP) occupato dall'elemento E ∀ t. Se invece E è in moto anche rispetto a RM, il suo moto relativo è rappresentato dalle 3 funzioni ξ = ξ(t), η = η(t), ζ = ζ(t) quindi il moto di E rispetto a RC si rappresenta dall'equazione:

^OP̄(t) = ^OR̄(t) + ξ(t) ^E₁̄(t) + η(t) ^E₂̄(t) + ζ(t) ^E₃̄(t)

Questa equazione risolve il problema del cambiamento di riferimento per quanto riguarda la rappresentazione del moto.

Velocità e accelerazioni

Si chiama assoluta la velocità di E rispetto a RC mentre si chiama relativa la velocità di E rispetto a RP. Per ricavare la relazione che lega ^Va con ^Vr deriviamo l'equazione ottenendo:

^OP̄(t) = ^OR̄(t) + ξ(t) ^ξ₁̇(t) + η(t) ^ξ₂̇(t) + ζ(t) ^ξ₃̇(t) + ξ(t) ^E₁• + ξ(t) ^ξ₁̅(t) + η(t) ^E₂• + ξ(t) ^E₃•

Il termine O è la velocità assoluta di E, X è la velocità relativa di E rispetto RF mentre i termini rappresentano la velocità di trascinamento. Quest’ultima è la velocità rispetto al riferimento fisso del particolare punto di RF occupato dall’elemento. Le coordinate di tale punto rispetto RF sono costanti presso esso e allo spazio al quale RF si addice quindi si ha che:

_{V_γ} = _OR(t) + ∑_i _Ξ_i(t) + η₂ _Ξ₂(t) + ∑ _Ξ₃(t)

Usando le formule di Poisson si ha:

_{V^'_γ} = _OR(t) + _{ω_γ} × [∑_i _Ξ_i(t) + η₂ _Ξ₂(t) + ∑ _Ξ₃(t)] = _OL(t) + _{ω_γ} × ΩP

Quindi la ^* diviene:

_{V_a} = _{V_h} + _{V^'_γ}, che è la relazione cercata.

Si chiama assoluta l’accelerazione di E rispetto a RC definita da _{a_a} = _OP(t). Si chiama relativa l’accelerazione di E rispetto a RF rappresentata da _{a_h} = ∑(t)_Ξ_i(t) + η(t)_Ξ₂(t) + _Ξ₃(t). Infine si chiama accelerazione di trascinamento quella rispetto a RC del particolare punto di RF occupato da E all’istante t. Essa è espressa da _{a^'_γ} = δ_OR(t) + ∑ δ_Ξ₁(t) + η_Ξ₂(t) + ∑ δ_Ξ₃(t)

Derivando l’equazione ^* si ottiene:

→ _{a^'_γ} = _{a_γ} + _ω × ΩP - ω²QP

_a(t) = _OP(t) == a_r + a_r + 2 [ ξ̇(t) ε₁(t) + η̇(t) ε₂(t) + ẍ(t) ε₃(t) ] == a_n + a_r + 2 ω_r × [ ξ(t) ε₁(t) + η(t) ε₂(t) + ζ(t) ε₃(t) ] == a_n + a_r + 2 ω_r × V_n

^ūa_d^ūa_d prende il nome di accelerazione di deviazione (o di Coriolis); essa è in ogni istante ortogonale a ω_r e a _V_n e risulta nulla ω₂/ω₂ oppure se almeno uno dei due è nullo.

Quindi:

a_a = a_n + a_r + a_d, che è la relazione cercata.

Moto di trascinamento

Il moto del riferimento RM rispetto a RC si chiama moto di trascinamento mentre la distribuzione istantanea delle velocità si chiama atto di moto di trascinamento. Particolarmente frequenti sono i casi in cui il moto di trascinamento è traslatorio o rotatorio con asse fisso.

Traslatorio

Se il moto di trascinamento è traslatorio in un medesimo istante, tutti i punti di RP hanno la stessa velocità e la stessa accelerazione rispetto RC, cioè trascinamento si ha che la velocità e l'accelerazione di trascinamento non dipendono dal punto di RP occupato da E. In un moto di trascinamento traslatorio si ha che <sub>a_→_r = 0 quindi <sub>a_→_d = 0. Se tale moto oltre a rettilineo e traslatorio è anche uniforme si ha che <sub>v_→_P è vettorialmente costante e <sub>a_→_r = 0.

Affinché <sub>a_→_r = 0 in ogni istante è necessario e sufficiente che il moto di trascinamento sia TRU. Quando il moto di E rispetto RC è rettilineo e uniforme (<sub>a_→_r = 0) e il moto di RP rispetto RC è TRU (<sub>a_→_n = 0, <sub>a_→_d = 0) allora anche il moto di E rispetto RP è TRU poiché da <sub>a_→_a = <sub>a_→_n + <sub>a_→_r + <sub>a_→_d si ha <sub>a_→_a = 0.

Rotatorio

Se il moto di trascinamento di RP rispetto a RC è rotatorio attorno a un asse fisso rispetto a RC, <sub>v_→_r e <sub>a_→_r dipendono dal punto di RP occupato da E mentre in questo caso <sub>a_→_d è generalmente non nulla. La <sub>v_→_r è ed un piano passante per l'asse di rotazione e per l'elemento mentre la sua intensità è data da Vr = wr R, dove R è la distanza di E dall'asse.

Anche <sub>a_→_r è l'asse di rotazione non nullo se w è stazionario mentre è tangenziale se w = aps. <sub>a_→_d è perpendicolare all'asse di rotazione ed è uguale a 0 se w = 0 o se <sub>v_→_P è parallelo all'asse di rotazione oppure se <sub>v_→_P = 0. Se il moto di trascinamento rotazione è uniforme <sub>a_→_r è non nullo (dalla rotazione che un punto di RP descrive in RC) e ha intensità wr²R (accelerazione centripeta).

Derivate temporali

Come abbiamo già detto nel capitolo 2 se consideriamo una funzione vettoriale V(t) | V(t) = P_i,2 = O_P,2-O_P,1 si ha che V(t) = V₂-_V1.

Se si considerano due spazi di riferimento l’uno in moto rispetto all’altro si possono definire: una derivata assoluta dV(t)/dt = V_a,2 - V_a,1, e una derivata relativa d₂V(t)/dt = V_r,2 - V_r,1.

Considerando che Va = V₂ + Vr e che Vr = VR + ωr × ΩP:

dV(t)/dt - d₂V(t)/dt = V₂ + Vr,2 - VP,1 - Vr,1 - Vr,2 + VR,1 = VR,2 - VR,1 == Vr + ωr × ΩP - Vr - ωr × ΩP,1 = ωr × (ΩP,2 - ΩP,1) == ωr × V(t)

da cui,

dV(t)/dt = d₂V(t)/dt + ωr × V(t)

Le derivate temporali di una funzione vettoriale (nel nostro caso V(t)) sono generalmente diverse tra loro. Sono uguali solo se ωr // V(t) o se una delle due è nulla. Se il moto è traslatorio dunque la derivata assoluta e quella relativa sono uguali (questo perché ωr = 0).

Velocità assolute e relative

Sia R lo spazio percorso da un corpo rigido che si muove rispetto a un riferimento fisso RC e a un riferimento mobile RP. In un generico istante t un elemento di R occupa il punto P di RP, indichiamo con a la sua velocità rispetto RC e con r la sua velocità rispetto a RP. Se la velocità di traslamento (di RP rispetto RC) la indichiamo con tr, si ha dunque a = r + tr.

Tradiziamo con a e r la velocità assoluta e relativa di un generico elemento di R; indichiamo inoltre con la velocità angolare assoluta e con r quella relativa. Il segmento orientato avente come estremi l'elemento di R che occupa il punto p di RP e quello (sempre di R) che occupa un punto p di RC è ed segmento RP. Applicando la relazione P = i + x RP gli ottimi di moto assoluto e relativo di R e di moto di traslamento si ha:

a = r + x RP

r = r + x RP

P = r + x RP

da cui:

x + x = (r + r) + ( + r) × x RP = nei a = r+rve

In ogni istante la velocità angolare assoluta di R è data dalla somma di quella relativa e di quella di traslazione.

Mutuo contatto tra superfici rigide

Consideriamo ora il mutuo contatto tra due superfici rigide S e Σ continue solidi rispettivamente a EC e a R. Consideriamo il caso semplice in cui V è un unico elemento E di Σ occupi il punto proprio P di S e i piani tangenti dei due sup ⩘ (per questo contatto si ha tra una sup sferica e un piano).

Il punto in cui ha luogo il contatto è caratterizzante distinto da E e da P che variano al variare di t. Il punto di contatto Ct ha il carattere di elemento in moto rispetto agli spazi solidi a S e a Σ. Se il sup fisso è solidale a S e quello mobile a Σ il punto Ct descrive su S una traiettoria L che è il luogo geometrico dei punti che almeno in un istante sono stati occupati dall’elemento E di Σ. La velocità assoluta (di Ct) è tangente in ogni punto a L. Analoghe considerazioni valgono per la traiettoria λ descritta da Ct nel suo moto relativo rispetto a Σ.

La differenza tra la velocità assoluta e quella relativa (di Ct) coincide con quella di trascinamento, che insieme alle altre due è parallela ai piani tangenti (⩘) a Σ e a S. La velocità di trascinamento è la velocità rispetto a EC del portatore elleni di Σ sovrapposto a Ct. Se in un istante la velocità di trascinamento si annulla la velocità assoluta è quella nel luogo ipodi intensità (non si ha strisciamento) e Ct, punto di contatto tra S e Σ, diventa punto di contatto tra L e λ. Affinché la velocità di strisciamento si annulli il moto di Σ rispetto a S deve essere rotazione con asse per Ct. Se l'asse è ortogonale al piano tangente alle due sup il moto si inclina; se ℓ è il piano tangente alla due sup si ha un misto di puro rotolamento. Quando la velocità di strisciamento non si annulla ma si annulla la velocità angolare di Σ rispetto a S il moto è di puro strisciamento.

Un altro tipo di contatto (più generale) si ha quando diversi elementi di Σ occupano i punti di S; tali punti possono essere infiniti e appartenere a una linea di contatto coesistenti distinta da Σ e da S. Un contatto di questo tipo si ha quando una superficie cilindrica è a contatto con un piano. La linea di contatto può anche non essere rettilinea come quando una sfera è appoggiata all'interno di un cono generatore retto; in tale caso la linea di contatto è una eusempateter.

Se la linea di contatto tra S ⊆ Σ è una retta affinché le velocità di strisciamento dei punti di tale retta siano nulle si verifica che tale linea di contatto è equivalente all'asse istantaneo di rotolamento [PURO ROTOLAMENTO].

Moto sferico

In generale un moto sferico è dovuto a ℓ varia la posizione dell'asse sia rispetto al riferimento che nel corpo, quindi un moto sferico di R rispetto RC l'asse istantaneo di rotazione a t descrive in RC un corpo fisso L e in R un corpo mobile A coesentevotrici coesistenti col centro del moto e le rispettive generatrici, sovrapposto a at; i due corpi potranno uno sull'altro senza striscione.

Consideriamo due superfici sferiche aventi il centro nel centro del moto, lo stesso raggio e solidale a R e a RC rispettivamente e individuiamo con at uno dei due punti diametralmente opposti intersezione di at con le due sfere. Nel suo moto assoluto At descrive sulla sfera ṗȧur una curva intersezione della sfera stessa col cono L adiacente At nel suo moto relativo descrive sulla sfera solidale a B una curva intersezione della sfera stessa con il cono Λ.

Se si identificano L e Λ con le superfici, se Σ si ha che Λ rotola su L senza striscione perché la linea di contatto è equivalente con l'asse istantaneo di rotazione. Se uno dei coni di Poinsot si induce a una retta (p o Λ) l'asse istantaneo di rotazione è fisso rispetto a R ed, in conseguenza lo è anche rispetto a RC.

In generale in un moto sferico di R rispetto a RC non c'è nessuna retta di E che formi un angolo costante con una retta di RC. Si chiama precessione, un moto rigido sferico nel quale esiste una unica retta di E passante per c esse di variare al t descrive un cerchio in RC. A tale retta si dà il nome di asse di figura. Si chiama asse di precessione p l'asse del cono descritto da E'.

Consideriamo una terna mobile RT non solidale a R avente R ≡ C, ≢ = p e piano ≷ ≷ costante E' (≢ fisso rispetto RT). Se moto di R rispetto RT