Moti relativi
Le leggi fisiche non dipendono dalla scelta del sistema di riferimento.
Spazio isotropo ed omogeneo: non esistono punti né direzioni privilegiate.
Se mi fermo un istante tra due sistemi di riferimento il moto è l'uno rispetto all'altro, questa invariata non sussiste, a meno che questo moto non abbia certe caratteristiche particolari. In generale, il moto viene descritto con leggi diverse in due sistemi di riferimento in moto qualsiasi l'uno rispetto all'altro.
Cinematica dei moti relativi
Descrivere la posizione di un punto P. La sua posizione rispetto al sistema di riferimento di centro in O è descritta dal vettore r = xux + yuy + zuz.
La sua posizione rispetto al sistema di riferimento di centro in O è descritta dal vettore di posizione: r' = x'ux + y'uy + z'uz.
Essendo per il sistema O' mobile, i versori degli sono mobili, a differenza di quelli del sistema O che sono fissi.
Inoltre il vettore posizione P si può esprimere come: r = OO' + r' dove VOO'(t), O(0) + x'(t]]).
Teorema delle velocità relative
vO'(t) = vO(t) + vrelativa.
dOO'+ = t+ dr' - = dt + ...
Velocità relativa velocità assoluta. Velocità di trascinamento.
Moti relativi
Le leggi fisiche non dipendono dalla scelta del sistema di riferimento.
Spazio isotropo ed omogeneo: non esistono punti né direzioni privilegiate.
Se un fenomeno viene visto da due sistemi di riferimento il moto è invariato rispetto all'altro, questa invarianza non sussiste, a meno che questo moto non abbia certe caratteristiche particolari.
In generale, il moto viene descritto con leggi diverse in due sistemi di riferimento in moto qualsiasi l’uno rispetto all’altro.
Cinematica dei moti relativi
Descrivere la posizione di un punto P. La sua posizione rispetto al sistema di riferimento di centro in O è descritta dal raggio vettore.
r’’ = x1’’ + y2’’ + z2’’.
La sua posizione rispetto al sistema di riferimento di centro in O è descritta dal vettore posizione.
r’ = x’x + y’y + z’z.
Essendo per il sistema O’ mobile, i versori di r sono mobili a differenza di quelli in sistema O che sono fissi.
Inoltre, il vettore posizione f si può esprimere come: r’’ = OO’ + r’ dove OO’(t) = OO’t + x₀x’’t + y2’’.
v(t) = v0 + vx’’ - ωx’’ × r’.
Teorema delle velocità relative
v(t) = v0 + vx’’ - ωx’’ × r’.
Velocità relativa, velocità assoluta di, velocità di rotazione di.
Moto di precessione di un vettore
Un vettore ^A ruota attorno ad un asse con velocità angolare di rotazione: →ω = dΘ/dt = Θ′(t).
Il vettore A percorre un moto circolare nel piano perpendicolare.
In un intervallo infinitesimo dt la punta del vettore descrive un angolo dβ; la variazione di ^A φ in ω.
È l'angolo che ^A descrive nel suo moto di precessione.
In questo caso vale la formula di Poisson: d^A/dt = →ω × ^A.
Infatti, d^A = A sin γ φ de => dA/dt = A de/dt sin φ |^A| |→ω| sin φ = |^A × →ω|.
Il modulo di una derivata di un vettore che precede con velocità angolare in attorno ad un asse, è uguale al modulo dello stesso prodotto vettoriale.
d^A, →ω, e il suo verso coincide con quello di ^ω × ^A.
Per un sistema di riferimento in rotazione con velocità angolare →ω, ciascuno dei versori dei suoi assi coordinati compie un moto di precessione: dûî/dt = →ω × ûî.
x' dûx̂/dt + y' dûŷ/dt + z' dûẑ/dt − →ω × r′.
Velocità di trascinamento
(1) Moto puramente traslatorio t = t + o1.
(2) Moto puramente rotatorio t = t + xr.
Teorema delle accelerazioni relative
= accelerazione assoluta = accelerazione di P rispetto al sistema fisso.
= accelerazione rispetto al sistema traslabile.
Ipotesi: = costante o1 = accelerazione di o1 rispetto a o => = d + d x v => d: d ( x + y û1 + ( ( => ( => d d) => ( => d) (x + ωx(x + 2ωx().
Accelerazione di trascinamento at = ao1 + ω x (ω x Accelerazione di Coriolis ac = 2ω x v'.
La decomposizione nella velocità a = a' + a1 + ac.
Casi particolari
(1) ω=0, a'=0 => a = a1 + a'.
(2) ω=0, a = a1 Moto di trascinamento traslatorio.
(3) a = 0 => a' = a' + ω x (ω x r') + 2ω x v' Moto di trascinamento rotatorio.
Effetto Coriolis
Supponiamo che un corpo cada in un sistema che sta ruotando.
Se io vedo la traiettoria dal sistema fisso vedo che il sistema ruota e la traiettoria della particella è rettilinea.
Se invece sono nel sistema mobile vedo una traiettoria curvilinea. La forza appare deviare la traiettoria perché è perpendicolare alla velocità nel sistema totale.
Moto di un punto rispetto ad un altro: velocità
r1,2 vettore posizione di 2 rispetto a 1.
P1: r1 = OP1, v1,2 = dr1/dt, a1 = dv1/dt.
P2: r2 = OP2, v2 = dr2/dt, a2 = dv2/dt.
r1,2 = r2 - r1 = r1,2.
Per calcolare la velocità di P2 rispetto a P1 immaginiamo un secondo sistema di riferimento O' con origine in P e assi che non ruotano rispetto a quelli di O perché: v'O1 = v'1, ω=0.
v2 = v2 + v'O' => v'1,2 = v'O2 - v'2, dove v'1,2 è la velocità di P2 rispetto a P1.
Quindi la velocità di un punto rispetto ad un altro è data dalla differenza delle velocità.
Moto di un punto rispetto ad un altro: accelerazione
Si può dedurre in modo analogo che: a2,1 = a2 - a1.
d/dtv2,1.
d/dtv2.
d/dtv1.
d2z1/dt2.
d2z2/dt2.
d2z1/dt2.
d2z2,1/dt2.
Conclusioni posizione, velocità ed accelerazione di un punto in moto rispetto ad un altro punto in moto sono date dalla differenza tra le posizioni, le velocità e le accelerazioni dei due punti in un altro sistema di riferimento.
Sistemi di riferimento inerziali
Sistema di riferimento inerziale (S.I.) è un sistema in cui vale rigorosamente la legge di inerzia.
Forze vere derivabili dalle interazioni fondamentali.
In un S.I., la II legge di Newton: Fvero = ma.
In un sistema di riferimento o' che si muove con velocità costante v0 rispetto al primo: v0 = costante, a0 = 0, ω0 = 0, a = a1.
Se a = 0 allora a = 0. Il sistema o' è inerziale.
Esistono infiniti sistemi inerziali. Tutti in moto rettilineo e uniforme rispetto all'altro.
In tutti questi sistemi vale la stessa legge: Fvero = ma, per cui le forze e l'accelerazione sono le stesse.
Relatività galileiana
Non è possibile stabilire tramite misure effettuate in questi S.I. se uno di essi è in quiete o in moto.
=> Non esiste il moto assoluto.
Sistemi non inerziali e forze apparenti
Caso in cui il sistema di riferimento Σ' che si muove con accelerazione a0 rispetto al primo.
Quindi: a0 ≠ 0 (oppure ω̇ ≠ 0) ⇒ Frep = ma0 ≠ ma'.
Per cui, si verifica che la forza vera che agisce sul punto m₀ è proporzionale all'accelerazione del punto misurata nel sistema accelerato.
Dato: a = a' + a0, C = C' + C0, ω = ω' + ω0.
a = a' + a0.
C = C' + a0 × (ω' × r0).
a = ω' × r0.
Quindi ha: ma = ma' + ma0 + mω̇/ + 2mω'C ⇒ F = ma0 + mω̇/ + ma'.
Per cui in un sistema non inerziale vale: F − Fapp = ma'.
Sistema di riferimento non inerziale e accelerato
Forze apparenti o inerziali.
Fapp = −m(a0 + ώ/).
Chiamate anche forze inerziali perché proporzionali alla massa inerziale.
- Non hanno esistenza reale.
- Non derivano da interazioni fondamentali.
- Dipendono dal moto di sistema di riferimento.
- Sono correzioni necessarie per spiegare il moto in un sistema non inerziale.
La descrizione del moto è + semplice e naturale in un sistema inerziale.
Moto di trascinamento traslatorio retto uniforme
Sistema inerziale per cui: v0=costante, a01=0, ω=0.
=> v=v1+v01 a=a1 r=r1+v0t.
Trasformazioni galileiane
xx’=x-v0t.
vx’=vx-v01.
ax’=ax.
yy’=y.
vy’=vy.
ay’=ay.
zz’=z.
vz’=vz.
az’=az.
Moto di trascinamento traslatorio retto accelerato
O1 è un sistema non inerziale: &a01=costante, &a01=a01.
=> v=v1+v01, a=a1+ao1 r=r1-001.
Trasformazioni galileiane
xx’=x-v0t-1/2att2.
vx’=vx-v0n-at.
ax’=ax-at.
yy’=y.
vy’=vy.
ay’=ay.
zz’=z.
vz’=vz.
az’=az.
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