Meccanica: peso, attrito, vincoli.

Fisica

Corsi di laurea in Biotecnologie

Lezione 1-3: Meccanica, ovvero studio del moto dei corpi e delle forze

Introduzione

La meccanica è una delle branche più antiche della fisica, già sviluppata nell'antichità, e che ha raggiunto la sua maturità con Isaac Newton a metà del 1600.

Il problema è quello di legare il moto dei corpi (per corpo si intende in generale una struttura rigida, con una forma ben definita) alle forze.

Il moto è la variazione della posizione di un corpo nello spazio in funzione del tempo. Questa è una quantità in generale misurabile. Nello spazio ordinario a 3 dimensioni consiste nel misurare 3 quantità (ad esempio 3 lunghezze) in funzione del tempo.

Iniziamo dal problema semplificato di un moto lungo una sola direzione spaziale, il moto unidimensionale. In questo caso il moto avviene lungo un sistema di riferimento del tipo:

Il piano x è definito dalla direzione della retta, dall'origine, e dal verso in cui cresce la coordinata.

Ricavare il moto equivale a misurare la variazione della coordinata x nel tempo in pratica con una serie di misure discrete.

t x
t₁ x₁
t₂ x₂

Fisica

Corsi di laurea in Biotecnologie

Lezione 1-3: Meccanica, ovvero studio del moto dei corpi e delle forze

Introduzione

La meccanica è una delle branche più antiche della fisica, già sviluppata nell'antichità, e che ha raggiunto la sua maturità con Isaac Newton a metà del 1600.

Il problema è quello di legare il moto dei corpi (per corpo si intende in genere una struttura rigida, con una forma ben definita) alle forze.

Il moto è la variazione della posizione di un corpo nello spazio in funzione del tempo. Questo è un problema in genere misurabile. Nello spazio ordinario a 3 dimensioni consiste nel misurare 3 quantità (ad esempio 3 lunghezze) in funzione del tempo.

Iniziamo dal problema semplificato di un moto lungo una sola direzione spaziale, il moto unidimensionale. In questo caso il moto avviene lungo un sistema di riferimento del tipo:

x₁, x₂, x₃
t₁, t₂, t₃

Piano x è definito dalla direzione della retta, dall'origine, e dal verso in cui cresce la coordinata.

Risolvere il moto equivale a misurare la variazione della coordinata x nel tempo, in prima approssimazione, con una serie di misure discrete.

t
x₁
x₁
t₂
x₂

Questa serie di coppie di dati rappresenta in generale una relazione, ed in molti casi rappresenta una funzione x(t). [Si ricorda che la funzione è semplicemente una relazione, che per ogni valore della variabile indipendente t, ha un solo valore della variabile dipendente x].

È possibile disegnare la funzione x(t), che viene detta anche legge oraria, su un diagramma cartesiano.

Un corpo fermo ha x(t)=cost.

Un corpo in movimento ha x(t) che varia nel tempo.

Velocità

Per distinguere i due casi, bisogna introdurre il concetto di velocità, come derivata della posizione nel tempo.

Formalmente:

v(t)= lim (dx(t)/dt)
dt→0

Dove dx e dt rappresentano variazioni infinitesime della posizione e del tempo.

Questa definizione corrisponde alla costruzione geometrica.

Scelto un dt piccolo a sufficienza [in principio dt→0 ma è sufficiente che il tratto corrispondente di curva possa essere approssimato ad una retta], quanto individua dx sulla funzione.

È chiaro che dx / dt misura la pendenza della funzione in quell'istante di tempo. Ricordandosi il formalismo delle rette è possibile vedere che dx / dt rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione x(t).

Per un corpo fermo si ottiene quindi:

v = dx / dt = 0 / dt = 0

Mentre un corpo è in movimento se v(t) ≠ 0.

In generale, la velocità può essere definita per ogni tempo e diventa anch'essa una funzione di cui possiamo pensare di disegnare un grafico.

• Corpo fermo: v = 0

t

La scoperta importante è che i tre casi con v = 0 e v = cost (v ≠ 0) sono sostanzialmente la stessa cosa dal punto di vista delle forze.

Infatti in entrambi i casi la forza complessiva sul corpo è nulla. Solo nel terzo caso, in cui v(t) varia nel tempo, la forza è diversa da zero.

La legge di Newton per il moto unidimensionale afferma infatti che:

F = ma, dove a = lim Δv / Δt = dv / dt

Avere quindi una forza diversa da zero risulta in...azione nel tempo della velocità.

Si mostri della legge F=ma, comprendendo...membe le prime due leggi di Newton: la prima:

"... un corpo non soggetto a forze prosegue nel suo...stato di quiete o di relativo moto con velocità...costante"...

L'enunciato afferma infatti che se F=0 allora...sta (il caso s=0 è un caso particolare)....

Questo risultato è già contenuto nella seconda legge, F=ma...

Per ricavare la terza legge, il cosiddetto principio di azione e reazione, è necessaria l'interazione tra almeno due corpi. Per due corpi isolati, si...ura allora per similena:

F_AB=F_BA

Queste {sono} le uniche due...ibilità: le forze sono lungo la congiungente confini, ed opposte...

La legge di ... può servire sia per ricavare le forze il m.... come abbiamo .... fatto, che... per ricavare il moto dalle forze.

Processo inverso

Consideriamo il processo inverso.

• F=0 → a=0 → ds/dt =0

Questo implica che v=cost, ovvero che il moto sia di tipo rettilineo uniforme.

Si noti come l'equazione di Newton non fissi il valore della velocità né della posizione. Queste devono infatti essere determinate dalle condizioni di contorno, o condizioni iniziali.

Ad esempio, se v(t=t₀)=0 → v(t)=0 per qualunque t.

Tutti i tipi di moto con v=cost sono quindi soluzioni del problema. La soluzione generale è scritta:

v= v₀
x= x₀ + v₀ t

Si noti come la seconda sia la generica legge per una retta, in accordo con quanto trovato precedentemente.

• F≠0 ; F=cost → a=cost≠0

In questo caso si può risolvere l'equazione dv=a applicando la "funzione inversa della derivata", ovvero l'integrale.

v= ∫dt a = at+cost = at+v₀
x= ∫dt v = 1/2at² + v₀t + x₀

La legge che descrive il moto uniformemente accelerato è quindi una parabola.

(5) Il caso più generale è quello in cui F=F(t,x)_i, ≠0. In questo caso sicuramente si ha che dx_i/dt≠0 e quindi dx_i/dt=v(t).

Vedremo in seguito alcuni casi particolari di moto più complesso di moto uniformemente accelerato.

Forze fondamentali

Descriviamo ora brevemente le forze fondamentali presentate in natura. Tutte le forze possono in effetti essere ricondotte a 4 forze fondamentali.

• Forza gravitazionale l_∼10¹¹cm massa
• Forza elettromagnetica l_∼1mm carica elettrica
• Forza nucleare forte l_∼10^-12nm carica di colore "debole" " "

Ogni tipo di forza ha una grandezza/proprietà dei corpi che la determina ad una lunghezza caratteristica alla quale domina sulle altre forze. L'intensità delle forze cresce da a d.

La forza gravitazionale domina a grandi distanze, ed è infatti responsabile per la forza peso e il moto dei pianeti nel sistema solare. La forza elettromagnetica determina la struttura delle materie delle molecole, degli atomi. La forza nucleare forte è responsabile della struttura dei nuclei atomici. La forza nucleare debole è responsabile di vari processi di decadimento delle particelle elementari.

Forza di gravità

Guardiamo più in dettaglio la forza di gravità.

F_G = G M₁M₂ / r²

G = 6,67 × 10^-11 Nm²/kg²

Costante di gravitazione universale (o di Newton).

Si nota la simmetria nelle masse dei due corpi nel prodotto M₁M₂, che rende ricorda come la forza sia diversa da zero solo se entrambi i corpi hanno massa.

Il termine 1/r² descrive la diminuzione della forza con la distanza tra i corpi.

L'esatta dipendenza da r² può essere ricavata da un principio generale di conservazione del flusso, che stabilisce che il prodotto della forza per una qualunque superficie sferica intorno al corpo sia costante:

F(2) · 4πr² = cost → F(2) α 1/r²

Questa è una forma molto generale, che ritroviamo anche nella forza elettromagnetica (seconda parte del corso).

Questa forza regola il moto dei pianeti e delle galassie. La nostra esperienza quotidiana è della forza gravitazionale esercitata dalla Terra sui corpi macroscopici.

Lo scenario è il seguente:

Considerando che R = 6000 km e che h = 1-10 km, per un corpo sulla superficie terrestre, possiamo trascurare h in confronto del R_T. Si trova allora:

Forza peso: P = F_g = G * m_T m

Dove g = 9.81 m ²

La forza peso è quindi proporzionale alla massa di corpo:

P = g * m

Che si muove allora con accelerazione:

m a = m g, a = g

Si nota che la stessa forza è applicata alla Terra, che si muove però con una accelerazione:

m_T a = m_T g, a = 0

Questo è il tipo di forza più semplice, non solo la forza è costante, ma è anche proporzionale a m, è di esempio di accelerazione è la stessa per tutti i corpi.

Esercizio 1: Caduta di un corpo da fermo

Condizioni iniziali: x_o = 0 = 0

Leggi di Newton:

a = g

Eq. del moto: v = gt x = 1/2gt²

Ad esempio, il tempo di caduta per una altezza h è:

h = 1/2 gt_c² = 0 t_c = ±√2h/g

Si notino i due tempi simmetrici, che sono le due possibili soluzioni dell’equazione di secondo grado. In modo analogo si trova la velocità finale:

v_f = g t_f = g√2h/g = ±√2hg

Si noti che una scelta dell’asse x rivolto verso l’alto avrebbe portato a:

a = - g v = -gt x = 1/2gt²

Avere accelerazione, e quindi se posizione e velocità cambiano segno. Questo corrisponde in effetti proprio al rovesciamento dell’asse.

Esercizio 2: Moto di un corpo inizialmente lanciato verso l'alto

In questo caso non c'è un vero preferenziale per l'asse delle x.

In ogni caso è importante ricordarsi di assegnare il segno giusto alle varie grandezze.

Con questa scelta:

{₀ = 0 ₀ > 0
a = -g

Si trova quindi:

σ(t) = ₀ - gt
x(t) = ₀t - 1/2 gt²

Il corpo fa un moto parabolico raggiungendo un massimo.

Ricordando la proprietà dei massimi e minimi di una funzione (la derivata prima ad essa è zero), si può vedere immediatamente che il massimo si ha quando:

σ(t) - d(x(t))/dt = 0 -> t_max = ₀/g
x_max = ₀²/g - 1/2 ₀²/g = 1/2 ₀²/g²

Perché simmetria, il corpo torna alla posizione di partenza per t=2t_max.

Si può facilmente controllare che i due esercizi corrispondono a due intervalli particolari di tempo e spazio dello stesso tipo di moto, ovvero del moto con accelerazione pari a g.

Si può infatti verificare che le soluzioni dei due problemi coincidono.

Intermezzo: derivata e integrale

f'(x)= Δf_x ≈ df/dt= tan α

Come già succeduto, la derivata prima di una funzione f(x) in un punto rappresenta la pendenza della funzione in quel punto.

Determinadamente la derivata è la tangente dell'angolo che la funzione fa con l'asse delle ascisse.

L'integrale è la funzione inversa: nota la pendenza della curva in un punto, si può ricostruire il valore della funzione in quel punto.

f'(x) = df/dx → df = f'(x) dx

Se conosco f(x), allora ∫stroke_xif(x) dx = f(x)dx + f(x₀)

Il senso dell'integrale è che, conosciuta la f(x) in un determinato punto, si può determinare la f(x) in qualunque altro punto:

f(x) = f(x₀) + ∫f(x)dx = f(x₀) + ∫f(x)dx

Va quindi conosciuta la funzione in un punto (la costante d'integrazione).

Si vede facilmente che ∫f(x)dx corrisponde all'area sotto la curva per f(x)f'(x).

Queste sono le due funzioni studiate fino ad ora. Vediamo ora altre due tipi di funzioni:

• f(x)=e^x f'(x)=e^x ∫f(x)dx=e^x

f(x)=sin(x)   f'(x)=cos(x)   ∫f(x)dx=−cos(x)

Moto in presenza di più forze

Studiamo ora il moto (ancora unidimensionale) in presenza di più di una forza.

In questo caso la legge di Newton deve essere generalizzata:

F_tot = F₁ + F₂ + …… = ma

Il simbolo di vettore ricorda che la somma delle forze deve essere fatta tenendo conto del loro verso individuale, come vedremo nei prossimi esempi.

Caduta di un corpo nell’aria

Il risultato trovato negli esercizi precedenti non sembra dipendere dalla massa del corpo dato che la forza ha la proprietà particolare di essere lineare nella massa, per cui a=g.

Se però si fa un semplice esperimento in cui si lasciamo cadere da fermo una pallina ed un foglio di carta, si muovono molto completamente diversi.

I corpi con basso rapporto massa/superficie sembrano cadere a velocità più basse.

Questo è l’effetto degli urti contro le molecole dell’aria, che avevamo fino ad ora trascurato.

Gli urti tendono a rallentare la caduta e quindi in media provocano una forza opposta al moto.

Il numero di vett dipenderà da:

• La superficie del corpo
• La densità del gas
• La velocità di caduta del corpo

In generale, si può scrivere una forza di attrito viscoso con la forma:

\[\vec{F}_v = - d\vec{V}\]

d è il coefficiente di attrito, che dipende dalla forma del corpo e del gas/fluidi.

La forza è quindi proporzionale alla velocità del corpo ma ha il verso opposto.

Lo schema complessivo delle forze:

\[\vec{P} - \vec{F}_v = ma\]

\[a = g - \frac{dV}{m}\]

Come si risolve questa equazione?

Ricordandosi la definizione di accelerazione, si trova:

\[\frac{dV}{dt} - \frac{g - \frac{dV}{m}}\]

Questa è un'equazione differenziale, che ammette una funzione \(f(t)\) e la sua derivata prima \(\frac{df}{dt}\).

La soluzione in assetto zero costituiti con un'esponenziale, che è la funzione la cui derivata è uguale/proporzionale alla funzione stessa.

Con qualche calcolo si trova:

v(t) = mg g/mg (1 - e^{- g/m t})

Sostanzialmente, all'inizio v è piccola, per cui anche il termine di attrito è piccolo ed il corpo si muove sotto il solo effetto della forza peso: g^t. Il passare del tempo v cresce e la forza di attrito inizia a rallentare il moto. Per tempi molto lunghi, il secondo termine cancella il primo (g - g/mv) e i due forze si compensano ed il moto deve continuare a velocità costante. Il valore della velocità asintotica è v = mg/g.

Come si nota, questo dipende sia da g che dalla massa. La velocità di caduta di una pallina da ping pong e di una pallina di legno devono quindi essere diverse.

Si noti che la forza di attrito è di tipo elettromagnetica.

Moto di un corpo in presenza di un vincolo

È noto che la presenza di un corpo può modificare il moto di un secondo corpo. Ad esempio una pallina posta su un piano orizzontale sta ferma, a=0.

F_tot = P^-> + N^-> = 0   =>   P^-> = N^->

In questo caso la legge di Neutron da a=0 ci fa capire che F_tot =0, per cui ci deve necessariamente essere una forza opposta della forza peso. Questa forza è detta reazione vincolare ed è normale perpendicolare al piano per cui si indica con il simbolo N^-> (normale). La forza vincolare è il risultato delle forze elettrone delle tensioni di tenere insieme gli atomi che formano il piano, e come vedremo è direttamente legata alle forze elastiche.

La forza peso tenderebbe ad allontanare gli atomi del piano tra loro, per fare cadere la pallina. Le forze con tra gli atomi reagiscono creando una forza complessiva N^-> che annulla P^->.

Nel caso di un piano orizzontale il moto è semplice, ed è in assenza di forze, a meno che non ne vengano applicate altre lungo il piano. Vedremo più tardi esempi di moti lungo un piano. Esistono molti tipi di vincoli:

• Piano
• Superficie curva
• Perno
• Fune

Attrito radente

Attrito radente: tutte le volte che si hanno due corpi solidi in contatto, come nel caso precedente, si ha un'altra forma di forza di attrito, di nuovo di tipo elettromagnetico.

Questa implica che ci sia una forza di attrito all'atto dello spostamento del corpo. Si osserva che per piccole velocità di spostamento la forza di attrito non dipende dalla velocità ma solo dalla forza complessiva che schiaccia i due corpi tra di loro.

FA = μP

μ è il coefficiente di attrito, che dipende dalla forma e dal materiale di cui sono fatti i due corpi, oltre che dalla rugosità delle superfici, ed è adimensionale.