Matrici e Applicazioni lineari e Sistemi lineari e Autovalori

Matrici

Una matrice è una tabella rettangolare o quadrata di numeri. Una matrice è k × h se ha k righe e h colonne. Se A è una matrice k × h, a_ij è l'elemento della matrice A sulla riga i e colonna j.

A_i* = a_ij

A_i* riga della matrice A

A^*j colonna della matrice A

Min(k, h) = {matrici k × h}

Se A ⊆ B sono matrici k × h, la matrice A-B è la matrice k × h i.c. A_rs, a_ij i ≤ k, 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ h.

M(z_k) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) * (0 1 0) = c (0 1 0) + b (0 0 1) + c (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 0 1)

Generatrix H(z_k)

F_ij = (0 e_ij) k × h e_ij 0 (0 1) S_rs 1 ≤ k 1 ≤ i ≤ 2 i = 3

Sono una base in M_{(k, h)}

Moltiplicazione tra matrici

Caso 1: Moltiplicazione matrice per vettore colonna

Sia A una matrice k × n, A = (A₁ A₂ ... A_n) Aⁱ ∈ Rⁿ.

Sia x = (x₁ x₂ ... x_n) ∈ Rⁿ. Ax := x₁A¹ + x₂A² + ... + x_nAⁿ ∈ R^k.

Esempio

A = (5 3) (-2 6) 2 × 3

x = (5) (3)

Ax = 5 (4) (5) = 3 (3) = 5 (-2) (1) (6) 5 x 2 (1) (1 3 5)

Matrici

Una matrice è una tabella rettangolare o quadrata di numeri. Una matrice è KxN se ha K righe e N colonne. Se A è una matrice KxN, a_ij è elemento della matrice A sulla riga i e colonna j.

A^T = a_ji

A_i* riga della matrice A

A_*j colonna della matrice A

A^T colonna della matrice A

Min(k, n) = {matrici kxn}

Se A = B sono matrici KxN, la matrice A = B se la matrice kxm è c. A_ij = b_ij, 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n.

M(z_k) E_ij = 1...k E_{{ij}, 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n} sono una base di M_kxn.

Moltiplicazione tra matrici

Caso 1: Moltiplicazione matrice per vettore colonna

Sia A una matrice kxn, A = [A₁ A₂ ... A_n] A^Rn.

Sia x = x_k ∈ Rⁿ, Ax := x_mA₁ + x_kA_k + ... + x_aA_n ∈ R^k.

Esempio

A =^2x3 Ax = 5(x * 3 + 5 * 2 = 11(2 * 3) + 5 * 2 = (3)x - 4 * 5 + 3 * 2 = 5(2 - 4 * 5) + 3 * 2 = (5)

Proprietà

• A (x + y) = Ax + Ay
• (A + B) x = Ax + Bx
• A (λ x) = λ (Ax) = x (λ A x)
• A · 0ₙ = Oₘ
• Oₘ x = Oₘ
• A Iₙ = A

Esempio

A = ^{5 3} _{6 4}

x = ⁽²⁾ ₍₃₎

Ax = ^{(2 * 5) + (3 * 5)} _{(2 * 6) + (4 * 3) (5)} (3)

A = ^{(2 3)} _{(5 1)} ^{(5 5)} _{(2 3)} ⁽⁵⁾ ₍₆₎

Caso 2: Prodotto tra matrici

^{A B} _{2 2 3 1} ^{A * B} _{(A B 2) (A B 1 A B 2) (2)}

Siano A e B due matrici. Se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B allora è possibile moltiplicare A per le colonne di B. Infatti, ogni colonna di B ha un numero di componenti pari al numero di righe di A. Le matrici A e B sono moltiplicabili se il numero di righe nella prima è uguale al numero di colonne nella seconda.

Definiamo se A e B sono moltiplicabili A-B. (A|B|A|B...|A|B)

Esempio

A = ¹/₄ ²/₁ ³/₅, B = ²/₃ ¹/₂ ⁵/₁

AB = (¹/₄ ²/₅) (¹/₁ ³/₅) = ¹/₂ ³/₄

A.B.C 1x5 5x2 1x? (A.B.C) = A.B.A.C (A.B) = C.A.B.C = A.B.C (A.B) = C.A.B.C = A.B.A.C

A = (A.B)C (A.B)C = (A.B) (CA)(A.B) = A.B

Associativa (A.B)C = (A.B.C)

Non è un prodotto commutativo. Affinché (A.B)C abbia senso è necessario che:

• Numero di righe in B = Numero di colonne in A
• Numero di righe in C = Numero di colonne di A.B

A_mxn B_nxk A