Matrici e applicazioni lineari

Analisi 2 argomenti: matrici

, …, x

Definizione di sistema lineare

Def: Un sistema lineare di m equazioni in n incognite x, x è un sistema della seguente forma: 1 2 n + + ⋯ + = 11 1 12 2 1 1…{ + + ⋯ + = 1 1 2 2 Dove a (detti coefficienti) e b (detti termini noti) sono costanti, cioè non dipendono dalle incognite. Unaij jsoluzione del sistema lineare di m equazioni in n incognite è un valore del vettore incognito x: =( x, x,1 2…, x ) per cui tutte le equazioni del sistema sono uguaglianze valide.n n n

Quindi le soluzioni del nostro sistema sono elementi di R oppure di C se consideriamo anche soluzioni complesse.

[In seguito, se qualche argomento è valido sia per il campo R che per il campo C, allora il campo sarà indicato con K.]

Metodo di eliminazione di Gauss

MEG = Metodo di Eliminazione di Gauss;

In generale, MEG usa due tipi di operazioni:

• Sommare o sottrarre da un’equazione un multiplo di un’altra equazione del sistema;
• Scambiare due equazioni.
• Moltiplicare entrambi i lati per una costante diversa da zero.

Una matrice m x n (oppure di tipo (m, n)) è una tabella rettangolare di numeri reali o complessi con m righe ed n colonne.

L’elemento di posto (i, j).a si diceij

La matrice a scala

Def: sia A una matrice m x n.

Chiamiamo l della i-esima riga di A il numero di zeri all’inizio. La matrice si dice a scala se per ogni i=2,i…, m, vale l > l oppure l = l = n.i i-1 i i-1

• Il pivot per una riga non-nulla di una matrice a scala è il primo tra gli elementi non-nulli di questa riga.
• Una matrice qualsiasi può essere ridotta a scala grazie a MEG.

Le operazioni di MEG si dicono operazioni elementari sulle righe.

Def: Il rango r(U) di una matrice a scala U è il numero di righe non-nulle di U (= # pivot in U).

Se A è una matrice qualsiasi, allora r(A) : = r(U), dove U è una matrice a scala ottenuta a partire da A con MEG. [|] [|′]→

Risoluzione di un sistema lineare

Per risolvere un sistema lineare basta ridurre a scala la sua matrice completa:

• [|′]Ogni colonna della matrice ottenuta contiene al massimo un pivot (perché la matrice è ridotta a scala).
• Se uno dei pivot si trova sull’ultima colonna b’, allora il sistema non ha soluzioni.
• Se invece ogni colonna di U contiene un pivot, però non c’è pivot sulla colonna b’, allora il sistema ammette una unica soluzione.
• [|′]Se tutti i pivot si trovano in U, ma almeno una colonna di U non contiene pivot, allora il sistema ammette infinite soluzioni.

Ogni incognita corrisponde ad una certa colonna di U. Se questa colonna contiene pivot, allora l’incognita si dice una variabile dipendente, altrimenti, l’incognita è una variabile libera.

Somma, differenza e prodotto per scalare

Def: Siano A = [ a ] e B = [ b ] due matrici dello stesso tipo m x n (cioè con m righe ed n colonne) laij ij i = 1, …, j = 1, …, n l’elementosomma A + B (e la differenza A - B) è la matrice m x n in cui per ogni m ed i posto (i, j) è c : = a + b (c : = aij - bij).ij ij ij ij

In simboli: A + B : = [a + b ], A - B : = [a - b ]ij ij ij ij

◦ ∈ Def: Sia A = [a ] (con elementi in K = (R C)). Sia un numero.ij Il prodotto della matrice per lo scalare è la matrice A : = [ a ].ij

Le proprietà per queste due operazioni sono evidenti:

• 1. A + B = B + A (commutatività);
• 2. (A + B) + C = A + (B + C) (associatività);
• 3. A + 0 = 0 + A, dove 0 è la matrice nulla;
• 4. –∀ ∃! matrice A Matrice -A tale che A + (- A) = 0; infatti A = (-1) A. (- A si chiama la matrice opposta della matrice A)
• 5. (y A) = ( y) A;(
• 6. + y) A = A + y A (proprietà distributiva);
• 7. (A + B) = A + B (proprietà distributiva).

Queste proprietà coincidono quasi interamente con quelle del prodotto e della somma; la situazione cambia se parliamo di prodotti tra matrici!

Prodotto tra matrici

Prodotto tra matrici, …, x

Ad ogni vettore x : = (x, x ) è possibile associare due matrici:1 2 n

• La matrice riga [x, x ] (matrice 1 x n);1 2 n, …, x
• La matrice colonna [x, x ] (matrice n x 1).1 2 n

[In seguito, i vettori saranno identificati come matrici colonna], …, x, …, x TLa matrice riga che corrisponde al vettore x : = (x, x ) sarà indicata con (x, x ) .1 2 n 1 2 n

Il simbolo “T” sta per “trasposta”.

Def: Sia A = [a ] una matrice m x n.ij = [a’ a’ ∀ =TLa matrice trasposta di A è la matrice n x m indicata con A ] i cui elementi sono = a,ij ij ji1, …, , ∀ = 1, …, . T

In parole semplici ogni colonna in A diventa riga in A, stessa cosa per le righe.

Il prodotto riga per colonna

Def: avviene come il prodotto scalare tra i due vettori.

Il prodotto matrice per colonna ∈ n

Def: Sia A una matrice m x n e sia b K (matrice colonna) il, …,prodotto A b è la matrice colonna c : = (c, c c ) la cui i-esima componente c è uguale al prodotto1 2 m iscalare della i-esima riga di A per la colonna b.

Il prodotto tra matrici nel caso generale

Def: Siano A = [a ] e B = [b ] due matrici di tipo m x n eij ijn x k, rispettivamente. Il prodotto A B è la matrice C = [c ] di tipo m x k il cui elemento c di posto (i, j) èij ijuguale al prodotto della i-esima riga di A per la j-esima colonna di B.

[Il prodotto A B è definito solo se #colonne di A = #righe di B]

Alcune proprietà del prodotto tra matrici sono simili a quelle del prodotto tra numeri reali. Per esempio:

• 1. (A + B) C = A C + B C e A (C + D) = A C + A D (distributività);
• 2. ( A) B = (A B) = A ( B);
• 3. (A B) C = A (B C).

≠Sfortunatamente, in generale il prodotto tra matrici non è commutativo A B B A.

Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli

Un sistema lineare può essere scritto nella forma A x = b, dove x è il vettore colonna delle incognite e b è il vettore colonna dei termini noti delle equazioni del sistema lineare.

Il sistema (per il teorema di Rouché-Capelli) ammette soluzioni se e solo se r : = r(A) = r([A | b]) (cioè il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa del sistema).

Consideriamo r(A) = r([A | b]), allora: [n = numero delle incognite del sistema]

Se n = r(A) = r([A | b]) il sistema ammette un’unica soluzione.

Se invece n > r(A) = r([A | b]) allora il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da n - r([A | b]) parametri liberi.

, …, tali che l’insieme delle soluzioni∃ ∈ Più precisamente v, v, v v del sistema coincide con {v0 1 2 n-r 0…+ …, t ∈ }.+ t v + t v + t v : t, t,1 1 2 n-r1 2 2 m-r n-r 0…

Il sistema omogeneo A x = 0 : = ammette solo la soluzione banale x = 0 se n = r, oppure infinite0–soluzioni dipendenti da n r parametri liberi se n > r.

In quest’ultimo caso, …, tali che l’insieme delle soluzioni di∃ ∈ v, v v A x = 0 coincide con {t v11 2 n-r 1…+ , …, t ∈ }.+ t v + t v : t, t1 2 n-r2 2 m-r n-r

[n è sempre il numero delle incognite]

Sistemi lineari quadrati

Sistemi lineari quadrati

#incognite = #equazioni

In un sistema lineare, A di n equazioni in n incognite esiste una unica soluzione se e solo se il rango di A è uguale a n. (Teorema di Cramer)

Una matrice diagonale è una matrice dove gli unici termini diversi da 0 sono quelli che stanno sulla diagonale, la matrice identità è una matrice diagonale con i termini diversi da zero uguali a 1.

[Qualsiasi matrice moltiplicata per la matrice identità dà come risultato la matrice di partenza (è commutativa)] T T T

Le matrici diagonali sono invarianti rispetto alla trasposizione, inoltre (A C) = A C .

Con A e C matrici diagonali dove il loro prodotto è ben definito.

Matrice inversa e invertibilità

Def: Siano A e B due matrici (quadrate) di ordine n.

La matrice B si dice l’inversa di A, se vale A B = B A = I .n

[I è la matrice identica]n

Ogni matrice quadrata ammette al massimo una inversa. se A ammette l’inversa.

Def: Una matrice quadrata A si dice invertibile (o non singolare), Altrimenti, A L’unica inversa di una matrice invertibile A si indica con A^-1 si dice singolare (o non invertibile).

Per l’invertibilità di una matrice le seguenti condizioni sono equivalenti:

• 1. A è invertibile;
• 2. ∃ matrice B tale che A B = I ;n
• 3. ∃ matrice C tale che C A = I ;n
• 4. Il rango di A, r(A) = n;
• 5. ∀ ∈ b il sistema lineare A x = b ammette una unica soluzione;
• 6. Il sistema omogeneo A x = 0 ammette solo la soluzione banale x = 0;
• 7. ∃ ∈ b tale che il sistema lineare