Lezione 49 - Le matrici

Analisi matematica: matrici

Anno Accademico 2024/2025 — Lezione 49

1. Introduzione alle matrici

Una matrice è uno degli strumenti matematici più importanti e versatili dell'algebra lineare. Trova applicazioni in praticamente ogni branca della matematica applicata, dall'analisi numerica alla fisica, dall'informatica all'economia.

Formalmente, una tabella rettangolare di m × n numeri reali disposti in m righe e n colonne è detta matrice reale di ordine m × n:

A = ( a_ij ) con i = 1,...,m e j = 1,...,n

Il numero a_ij è chiamato elemento (i,j) della matrice: i indica la riga e j la colonna. Per convenzione, le matrici si indicano con lettere maiuscole (A, B, C, ...) e i loro elementi con la corrispondente lettera minuscola (a_ij, b_ij, ...).

L'insieme di tutti gli elementi a_i1, a_i2, ..., a_in costituisce la i-esima riga della matrice, mentre l'insieme a_1j, a_2j, ..., a_mj costituisce la j-esima colonna.

1.1 Tipi particolari di matrici

A seconda delle dimensioni e delle proprietà degli elementi, si distinguono diverse tipologie di matrici:

• Matrice quadrata: se m = n, cioè il numero di righe è uguale al numero di colonne. Si parla di matrice di ordine n.
• Matrice riga: matrice di ordine 1 × n (una sola riga).
• Matrice colonna: matrice di ordine m × 1 (una sola colonna).
• Matrice nulla: tutti gli elementi sono zero, indicata con O.
• Matrice identità: matrice quadrata I_n con 1 sulla diagonale principale e 0 altrove.
• Matrice diagonale: matrice quadrata con elementi non nulli solo sulla diagonale principale.
• Matrice triangolare superiore: a_ij = 0 per i > j.
• Matrice triangolare inferiore: a_ij = 0 per i < j.

Nota: Gli elementi a_11, a_22, a_33, ..., a_nn di una matrice quadrata di ordine n si chiamano elementi diagonali e formano la diagonale principale della matrice.

1.2 Matrice trasposta

Data una matrice A di ordine m × n, si chiama trasposta di A la matrice A^T di ordine n × m ottenuta scambiando le righe con le colonne. Formalmente, se A = (a_ij), allora:

A^T = ( a'_ij ) dove a'_ij = a_ji per ogni i, j

In altre parole, la riga i di A diventa la colonna i di A^T e viceversa. La matrice trasposta di una matrice m × n è quindi una matrice n × m.

Una matrice quadrata A si dice simmetrica se è uguale alla sua trasposta:

A simmetrica <=> a_ij = a_ji per ogni i, j = 1,...,n

(ovvero A = A^T)

Le matrici simmetriche hanno grande importanza in fisica (tensori di inerzia, matrici di covarianza) e in ottimizzazione.

Esempio — Matrice trasposta

Data la matrice A di ordine 2×3:

A = | 1 2 3 | A^T = | 1 4 |
| 4 5 6 |         | 2 5 |
                          | 3 6 |

Si verifica che (A^T)^T = A (la doppia trasposizione restituisce la matrice originale).

2. Operazioni tra matrici

2.1 Somma di matrici

Date due matrici A e B dello stesso ordine m × n, si definisce la loro somma C = A + B come la matrice di ordine m × n i cui elementi sono la somma dei corrispondenti elementi:

C = A + B <=> c_ij = a_ij + b_ij per ogni i = 1,...,m e j = 1,...,n

La somma è definita solo tra matrici dello stesso ordine. Le proprietà della somma matriciale sono:

• Commutatività: A + B = B + A
• Associatività: (A + B) + C = A + (B + C)
• Elemento neutro: A + O = A (dove O è la matrice nulla)
• Elemento opposto: A + (-A) = O (dove -A ha elementi -a_ij)

Esempio 49.1 — Somma di matrici

Date le matrici A e B di ordine 2×3:

A = | -2 3 1 | B = | 1 0 -1 |
| 1 3 0 |         | 3 -2 -1 |

La loro somma vale:

C = A + B = | -2+1 3+0 1+(-1) | = | -1 3 0 |
| 1+3 3-2 0+(-1) |            | 4 1 -1 |

2.2 Prodotto per uno scalare

Data una matrice A di ordine m × n e un numero reale k (detto scalare), il prodotto kA è la matrice B di ordine m × n i cui elementi si ottengono moltiplicando ciascun elemento di A per k:

B = kA <=> b_ij = k * a_ij per ogni i, j

Proprietà del prodotto per scalare:

• Distributività rispetto alla somma di matrici: k(A + B) = kA + kB
• Distributività rispetto alla somma di scalari: (h + k)A = hA + kA
• Associatività mista: h(kA) = (hk)A
• Elemento neutro: 1 * A = A

Esempio — Prodotto per scalare

Con la matrice A dell'esempio precedente e k = 3:

3A = | 3*(-2) 3*3 3*1 | = | -6 9 3 |
| 3*1 3*3 3*0 |                | 3 9 0 |

2.3 Prodotto tra matrici

Il prodotto tra matrici è l'operazione più importante e meno intuitiva. Consideriamo una matrice A di ordine m × p e una matrice B di ordine p × n. Si definisce il prodotto righe