Istituzioni di matematica I

Vettori

Se introduciamo un sistema di riferimento cartesiano il piano si può identificare con l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali.

• Ad ogni punto P nel piano è associata biunivocamente x, y.
• Ad ogni punto è possibile associare un vettore: un segmento orientato avente come estremi l'origine e il punto stesso.

Possiamo identificare il vettore _OP con la coppia ordinata (x, y).

√ = (x, y)

Modulo o norma: |_V| = √x²+y²

Somma

_V + _W = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

Regola del parallelogramma.

Regola punto-coda.

Esempio: _V (1, 2) e _W (3, 1).

_V + _W = _W + _V = (4, 3)

NB. Il modulo (somma) del vettore somma è minore o uguale dei moduli dei 2 vettori sommati.

Disuguaglianza triangolare: |_V + _W| < |_V| + |_W|

Moltiplicazione per uno scalare

Δ_V = (λx, λy)

Esempio: _V = (1, 2) = 2_V = (2, 1)

Prodotto scalare e angolo tra due vettori

Due vettori moltiplicati tra loro non danno un vettore (2D?) bensì un numero reale.

(_V * _W) = x₁x₂ + y₁y₂ = numero reale.

Ricordando che detto il raggio, sin arco opposto = cos angolo adiacente.

|_V| * |_W| * cos = |_V| * |_W| * (cos(θ-θ) = _{|V * |W| * cos|}

_V * _W = |_V| * |_W| * cosθ (angolo compreso)

Angolo compreso e derivato dal segno di cosθ:

• _V * _W > 0 o minore 90°.
• _V * _W = 0 o angolo retto.
• _V * _W < 0 o ottuso.

Esempio: (1, 2) con _V e _W = (2, 1) il vettore oppone 1 è modulo < √21.2 + 2.1 - 1(2+2-2) = 0

Vettori

Se introduciamo un sistema di riferimento cartesiano il piano si può identificare con l'insieme R² delle coppie ordinate di numeri reali.

Ad ogni punto P nel piano si associano biunivocamente x e y.

Ad ogni punto è possibile associare un vettore: un segmento orientato avente come estremi l'origine e il punto stesso.

Possiamo identificare il vettore con la coppia ordinata (x, y).

√ = √(x² + y²)

Somma

→ + ​ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

Regola del parallelogramma.

Regola punto-coda.

Es. √(1, 2) e √(3, 1) → + ​ = (4, 3)

N.B. Il modulo (somma) del vettore somma è minore o uguale dei moduli dei 2 vettori sommati.

(Disequazione triangolare) |√ + ​| < |√| + |​|

Moltiplicazione per uno scalare

Es., √ = (1, 2) → √' = (2, 4)

Prodotto scalare e angolo tra due vettori

Due vettori moltiplicati tra loro non danno un vettore (a 2D) bensì un numero reale:

√ · ​ = x₁x₂ + y₁y₂ →

Usando come cateto h la retta, sin angolo opposto, cos angolo adiacente: √ · ​ = |√||​|cosθ

|√| · |​| = √(|x|² + |y|²)

Angolo tra due vettori

< v, w > = |v| · |w| · cos d

< v, w > = x₁ · x₂ + y₁ · y₂

cos d = < v, w > / |v| · |w|

Sia v = (x, y) un vettore: allora v · w = x · x + y · 4 ⇒ ||v|| = √x² + y²

Vettori nello spazio

Corrispondenza biunivoca tra vettori nello spazio e l'insieme ℝ³ delle terne ordinate di numeri reali ⇒ v = (x, y, z)

|v| = √x² + y² + z²

Versori: vettori fondamentali dello spazio sono: i (1, 0, 0); j (0, 1, 0); k (0, 0, 1)

Somma: v + w = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)

Moltiplicazione per scalare: v = (lx, ly, lz)

Prodotto scalare: input 2 vettori ⇒ numero reale.

< v, w > = x₁ · x₂ + y₁ · y₂ + z₁ · z₂

Anche < v, w > = |v| · |w| · cos d

Perpendicolarità: v · w = 0 ⇒ v ⟂ w

Angolo tra due vettori

d = arccos (v · w / |v| · |w|)

Prodotto vettoriale

Input 2 vettori ⇒ vettore (≠ scalare)

Modulo |v × w| = |v| |w| |sin d|

Modulo < |v × w| = Area creata dai 2 |v × w|

Successioni

Sequenza ordinata di numeri in cui è individuabile il primo e l'ultimo → meglio: successione di numeri reali.

È una funzione a : N → IR.

Funzione che va dall'insieme dei numeri naturali all'insieme dei numeri reali.

La variabile indipendente, viene di solito indicata con n mentre per la variabile a_n in notazione a(n) per funzione ora.

a_n = 2n-3   Termine generico della successione è a(0) = 2(0)-3 → 1 = a(0) → 1 → a(1) = 1 → a(2) = 4...

La funzione è una.

La successione è una funzione → si può anche pensare ai numeri reali.

Funzione: retta perché F(x1) può assumere ogni IR.

Successione: insieme astratto di punti presi da N succes.

Limitata inferiormente → esiste m ∈ IR tale che a_n > m ∀_n ∈ N.

Limitata superiormente m ∈ IR tale che a_n n ∈ N.

Limitata se esistono m ∈ IR e M ∈ IR tale che m n n ∈ N.

Monòtona crescente → se a_n ≤ a_n+1 ∀_n ∈ N.

Monòtona strettamente decrescente → a_n > a_n+1 ∀_n ∈ N.

Si dice che una successione a_n possiede una certa proprietà definitivamente se esiste N ∈ N tale che soddisfa quella proprietà per ogni n ≥ N.

In genere la successione coid di quella proprietà a univ ultima N vol.

a_n = 2n-3   a_n = -1   a₂ = 2 → ∈ {2₂ - 3} è definitivamente positiva a a_n centra di tutti i punti rimborsi di un vol to cir am.

Limiti di successioni

Siccome una successione è una serie di valori e non una funzione, non ha senso fare lim_x→n solo lim_n→∞.

Calcolare il limite di una successione come si indica con lim_n→∞ è equivalente a chiedersi che tipo di comportamento ha la successione quando n tende a diventare molto molto grande: 4 possibilità.

• Se fissato un qualunque numero M∈ℝ, an>M definitivamente ovvero se ∀M∈ℝ ∃ n₀ ∈ ℕ tale che ∀n>n₀ an>M, si dice che la successione diverge a +∞ e si scrive lim_n→∞ an = +∞.
• Se, fissato un qualunque numero M∈ℝ (anche molto negativo), che non ci sono numeri negativi nella sequenza.
• Se esiste un numero reale l che gode di questa proprietà: fissato un qualunque numero reale ε>0 (anche piccolo a piacere), ∃ n₀ tale che il modulo è meno di ε.
• Se non si verifica nessuno dei casi precedenti, lim_n→∞ an non esiste e la successione si dice indeterminata.

ES

f(x) =x²-1 (se x <-2)

ax+b (se -2 ≤ x < 0)

ax-ab (se x ≥ 0)

f(z) = -2a+b

lim (x→-2⁻) f(x) = 0

f(0) = -ab

lim (x→0⁺) f(x) = b

b = 2a

-ab = b

(ab + b = 0)

b(a+1) = 0

Se b ≠ 0 ⇒ a=0

Se a=-1 ⇒ b=-2

√2x² = |x| se x ∈ ℝ

• lim (x → -∞) √2x²+1 - x + 2x = lim (x → -∞) (√2x²+1 + x)= lim (x → -∞) (√2x²+1 + x) = lim (x→-∞) (√2x²+1 - x) = lim (x→-∞) (x²+1 - x²).
• A. Obliquo per x→-∞ y = -2x.

Caso x→+∞

• lim (x → +∞) √2x²+1 - x = lim (x → +∞)= lim (x → +∞) (x²+1 - x²) = 0.
• A. Orizz. y = 0.