Matematica per le applicazioni I - Trigonometria

Curiosità sulle funzioni arcotangente e logaritmo

(A cura del Prof. Dante Borelli, docente di matematica all'Istituto "G. Galilei" di Mirandola, Modena)

In questo breve articolo si vuole evidenziare un legame tra le funzioni f(x)=arctn(x) ed f(x)=ln(1+x) poco noto e poco utilizzato, ma, che dal mio punto di vista, merita un certo interesse ed un po' di attenzione.

Partiamo dagli sviluppi in serie di queste funzioni considerando x reale:

con |x|<1

con -1<x<=1

Da questo ultimo sviluppo possiamo calcolare anche (1) e (2).

La differenza tra la (1) e la (2) produce il seguente risultato: con |x|<1 (3).

Abbiamo così ottenuto una relazione tra le due funzioni utilizzando i numeri complessi. Tale relazione è da considerarsi valida sotto la condizione restrittiva |x|<1.

Notiamo anche l'analogia che questa relazione ha con le formule di Eulero. Infatti mentre le formule di Eulero esprimono un legame tra la funzione esponenziale e le funzioni sinusoidali, la (3) lega la funzione logaritmo con la funzione arcotangente, cioè le inverse delle precedenti.

Interessanti anche le uguaglianze tra le derivate e gli integrali della (3). Queste saranno approfondite in seguito.

La (3) può essere riscritta in molti modi come ad esempio. (4)

Ma forse è ancora più interessante il seguente risultato ottenibile con il cambio di variabile cioè dalla (4) si ottiene sostituiamo ora la variabile ausiliaria t con x ed otteniamo così.

Sempre dalla (3), ponendo ed si ha il notevole risultato con xy<1 (5).

Poiché la funzione arcotangente ha il codominio limitato, il termine di sinistra si estende da - a + mentre , l'espressione di destra da -/2 a con semplici considerazioni sul segno delle espressioni, si può 2, estendere la relazione (5). Se x,y>1 allora al secondo termine della (5) è necessario aggiungere il valore , mentre se x,y<-1 allora al secondo termine della (5) è necessario sottrarre . Naturalmente la relazione perde di interesse se x=y=1 e x=y=-1.

La (5) mostra quindi come sia possibile sommare (o sottrarre) tra di loro le funzioni arcotangente.

La formula precedente può essere utilizzata in varie occasioni, come ad esempio per il calcolo di sfasamenti, per esplicitare argomenti nelle risoluzioni di equazioni differenziali, ecc.

Dalla (5) si ha anche il simpatico risultato con |x|<1 (6).

Anche a questa espressione si può estendere facilmente il campo di validità, come per la (5), tralasciando il caso banale per x=1 e per x=-1.

Facciamo ora un altro approccio alla questione considerando (7) ma per cui (8) e, di conseguenza, dalla (7) e dalla (8) si ottiene (9) valida per ogni x reale.

Tale relazione è identica alla (3), tranne per la presenza della costante di integrazione c. Tale costante si può interpretare nel fatto che arctn(x) è una funzione plurivoca, così come il logaritmo in campo complesso. Questo risultato quindi amplia la relazione (3), con l'utilizzo di costanti opportune, come abbiamo visto ad esempio nella (5).

Considero ora la quantità se x=-1,  /2 si ha evidentemente |z|=1; arg(z)= /2 se x=1, arg(z)= -  se |x|<1 ed infine se |x|>1.

Da queste relazioni si ottiene con k intero (10).

Considerando |x|<1 e k=0, abbiamo ritrovato la relazione (6) per una altra via. Anche per tale relazione può essere facilmente esteso il campo di validità con l'uso di costanti opportune, ad esempio se x>1 ,  aggiungeremo mentre se x<-1 toglieremo al secondo termine della (6).  

Formula di sottrazione degli archi

M  N AO

Consideriamo una circonferenza di raggio unitario avente centro nell'origine di un O, i, j riferimento cartesiano ortogonale ( ).  , 

Consideriamo gli archi OM = ON = ed i vettori . OM, ON

Si ha       OM cos i sen j

      ON cos i sen j

Consideriamo il prodotto scalare   OM ON

Si ha             cos i sen j        (cos i sen j cos cos sen sen=( ) )= OM ON

Inoltre    cos( )=OM ON

Per cui avremo         cos( ) cos cos sen sen=

Teorema del coseno (o di Carnot)

 Ac b B b C 

Consideriamo il triangolo ABC ed indichiamo con le misure degli angoli di vertici rispettivamente A,B,C e con a,b,c le misure dei lati rispettivamente opposti ai suddetti angoli.

Considerando i vettori    AB, CB, CA avremo     CB CA AB

Elevando al quadrato si ha   2 2 ( CB ) ( CA AB )

    2 2 2   ( CB ) ( CA ) ( AB ) 2 CA AB

Essendo      CB a CA b AB c otteniamo 2 2 2     a b c 2bc cos( )

essendo     cos( ) cos otteniamo 2 2 2   a b c 2 bc cos

Analogamente si ottengono le altre due relazioni:

• 2 2 2   b a c 2 ac cos
• 2 2 2   c a b 2 ab cos

Teorema dei seni

Consideriamo il triangolo ABC Ac b B b C

Avremo    (1)   CB CA AB  moltiplicando vettorialmente per ambo i membri, avremo AB

          CB AB CA AB AB AB

essendo   AB AB 0 otteniamo       CB AB CA AB

per cui si ha       CB AB CA AB e quindi  ac sen bc sen  

che si può anche scrivere a b (2)  sen sen 

Analogamente moltiplicando vettorialmente la (1) per si ottiene CA a c (3)  sen sen

Dal confronto fra la (2) e la (3) si ottiene a b c   sen sen sen

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Circonferenza goniometrica

Una circonferenza è detta trigonometrica (o goniometrica) quando ha raggio uguale ad 1 ed ha centro in un sistema di assi cartesiani.

y α Sctg III P T xQ ROIII IVG G GQPQP

α = = = QPsin OP 1G G GOQOQ= = = OQcosα OP 1G G GG

α [ ]RT RT QP sin ≠α = = = = =G G cosα 0tg RT α1 cosOR OQG G GG

αCS CS OQ cos [ ]α = = = = = ≠G Gctg CS sinα 0α

OC QP sin1OP 1 1 [ ]α = = = ≠G Gsec cosα 0α

OQ OQ cosOP 1 1 [ ]α = = = ≠G Gcosec sinα 0α

QP QP sin

Relazioni fondamentali della trigonometria

α + α =2 2sin 1cos

α − α =2 2sec tg 1

α − α =2 2cos ec ctg 1

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Dimostrazione

y PαO Q x

Sappiamo che: α + α =2 2sin cos 1

Dalla seguente relazione ricaviamo: α = − α α = ± − α⇒2 2 2cos cossin 1 sin 1

= ± −α = − α α α⇒2 2 2cos cos1 sin 1 sin

Ed inoltre: αsinα =tg αcos

cosα noto il : α− 21 cosα = ±tg αcossinα :noto il αsinα =tg α± − 21 sin

N.B.) È preferibile per la risoluzione degli esercizi utilizzare davanti la radice soltanto il segno positivo.

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Risoluzione del seno e del coseno nota la tangente

y PαO Q x

Per quanto già detto: α2sinα =2sin 1

Quindi: α α2 2sin sin= α + α2 21 sin cos = α + α2 21 sin cos )(

Poiché dalla relazione fondamentale sappiamo che: α2cos

Dividendo tutto per otterremo la seguente relazione: α α2 2tg tgα α= =⇒2sin sinα+ α2 ± +1 tg 21 tg

Allo stesso modo per il coseno: α2cosα =2cos 1 α2cosα =2cos α + α2 2sin cos α2cos otterremo: Dividendo tutto per1 1

α α= =⇒2cos cosα + α2 ± +tg 1 21 tg

Simmetrie rispetto ad una retta

La simmetria rispetto a una retta, detta asse di simmetria, è la corrispondenza che a ogni punto =&#prime; &#prime;P PC P CP associa il punto tale che, in un sistema di assi cartesiani si possono, rispetto ad una retta verificare vari tipi di simmetria (rispetto ad una retta parallela all’asse y, rispetto alle bisettrici del 1° e 3° quadrante e del 2° e 4°). parallela all’asse x

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1° caso (simmetria rispetto ad una retta parallela all’asse y)

′ C PP

( )P x , y

( )′P x ', y '

( )C x , y indicando per comodità l’ascissa di C con HC

Essendo una simmetria rispetto ad una retta // all’asse y le due ordinate risulteranno uguali e dunque =y y ' x (ascissa di C) punto medio tra P e essendo P 'C+x x '= e dunque: xC 2= −' 2x x xC

′ ′ −P saranno: P (2 x x; y ) da cui otteniamo che le coordinate del punto C

2° caso (simmetria rispetto ad una retta parallela all’asse x)

′PCP

( )P x; y

( )′P x '; y '

( )C x; k indicando per comodità l’ordinata di C con k.

Essendo una simmetria rispetto ad una retta parallela all’asse x le due ascisse risulteranno uguali e dunque: =x x ' ′P

Essendo k (ordinata di C) punto medio tra P e +y y '=k 2= −y ' 2 k y

( )′ ′ −P che saranno: P x; 2 k y oppure indicando da cui otteniamo le coordinate del punto ( )′ −y P x; 2 y y . l’ordinata di C con 00

Casi particolari sono quelli in cui le due rette (assi di simmetria) sono proprio l’asse x o l’asse y.

Se la retta è l’asse x le coordinate di P saranno:

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( )′ −P x; y P ′P

Se la retta è l’asse y le coordinate di P saranno: ( )′ −P x; y′ PP

3° caso (simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante)

′P PO

( )P x; y= x y

( )′ P y ; x saranno si ha dunque l’inversione dell’ascissa con le coordinate di = y x l’ordinata e viceversa.

4° caso (simmetria rispetto alla bisettrice del 2° e 4° quadrante)

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′PP O

( )P x; y= − x y

'( )′ − − le coordinate di P y ; x saranno si ha dunque l’inversione= − y x dell’ascissa con l’ordinata e viceversa cambiate di segno.

Rispetto ad un punto

Si dice simmetria rispetto ad un punto C, che si chiama centro di simmetria, la trasformazione =&#prime; &#prime;P PO OP che a ogni punto P fa corrispondere sulla retta OP il punto tale che

1° caso (simmetria rispetto ad un punto di coordinate generiche)

y ′P C P x

( ) ( ) ( )O ′P x; y P x '; y ' C x ; y0 0

= − x ' 2 x x′ 0P si ottengono le coordinate di dunque il punto avrà coordinate= − ' 2y y y0

( )′ − −P 2 x x; 2 y y0 0

2° caso (simmetria rispetto ad un punto che coincide con l’origine degli assi)

y ′PO ( )xP ( ) ( )′O 0;0 P x '; y ' P x; y

= − 'x x′ P le coordinate di si ottengono dunque il punto avrà coordinate= − 'y y

( )− −P x; y

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Angoli associati (simmetrie goniometriche)

Angoli supplementari

( )πDue angoli si dicono supplementari quando la loro somma dà un angolo piatto.

y P′P π − α αO Q x′P

P e sono due punti (simmetrici rispetto all’asse y) le cui coordinate sono: ( ) ( )π − α π − αα α ′P cos ;senP cos ;sen

e per quanto detto in precedenza (ascissa ordinata uguale) avremo ( )π − α = − αcos cos

( )π − α = αsen sen ′P pertanto le coordinate di saranno: ( )′ −P cos x;sen x

sostituendo alla tangente avremo: ( )π − α αsen sen

( )π − α = = = − αtg tg

( )π − α − αcos cos dunque: ( )π − α = − αtg tg

Esempi

Esercizio riguardante archi supplementari:

( ) ( ) ( )α − π − α + α − π − α + π − αsin cos cos tg ctg

= α + α + α + α − αsin cos cos tg ctg

= α + α + α − αsin 2 cos tg ctg

Esercizio riguardante archi supplementari:

( ) ( )− − −π α π αctg tg

−α αtg ctg

− +α αctg tg= −α αtg ctg

−α αtg ctg= = 1−α αtg ctg

Esercizio riguardante archi supplementari:

( ) ( )π α π α− − −sin tg

( )π α+ −1 sin αsinα +sinα α+ αsin tg cos= = =α α+ +1 sin 1 sin

α α α+sin cos sin 1= ⋅ =α α+cos 1 sin

( ) ( )α α α+ +sin 1 cos 1 cosα= = ⋅tg

( ) ( )α α α+ +cos 1 sin 1 sin

Angoli che differiscono per un angolo piatto

Due angoli si dicono non supplementari quando la loro differenza non è in angolo piatto. PαOπ + α′P

′P P e sono due punti (simmetrici rispetto all’origine O) le cui coordinate sono:

[ ]( ) ( )( ) π − α π + αα α ′P cos ;senP cos ;sen

e per quanto detto in precedenza sulle simmetrie:

( )π + α = − αcos cos

( )π + α = − αsen sen ′P pertanto le coordinate di saranno:

( )− α − α′P cos ; sen

sostituendo alla tangente avremo

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