Appunti Matematica

Matematica primo semestre 2021

Istruttore e contenuto del corso

Contenuto del corso: Alcuni richiami sugli insiemi numerici e sulle funzioni. Limiti di funzioni reali di variabile reale. Funzioni continue e loro proprietà. Teoremi fondamentali per le funzioni continue. Calcolo differenziale: derivata di una funzione, derivate delle funzioni elementari, regole di calcolo delle derivate. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle, Lagrange, Fermat. Applicazioni al calcolo dei limiti: il teorema di De l’Hospital. Studio del grafico qualitativo di una funzione. Funzioni primitive e integrale secondo Riemann. Il teorema di Torricelli-Barrow. Cenni alle equazioni differenziali ordinarie (del primo ordine): equazioni a variabili separabili ed equazioni lineari. Elementi di algebra lineare: sistemi lineari e matrici. Durante il corso saranno illustrate applicazioni delle nozioni trattate a modelli delle scienze della vita, anche in collaborazione con i docenti di altri insegnamenti.

Modelli matematici

Un modello matematico è una riproduzione della realtà (fenomeno fisico, biologico, economico, sociologico...), che possa essere analizzata (rappresentazione semplificata) e studiata (attraverso il linguaggio e gli strumenti). Esso predice l’evoluzione del sistema reale che è descritto.

Come si realizza un modello matematico?

• Analisi del fenomeno: conoscenza del fenomeno reale da descrivere e studiare con il modello (ex una epidemia).
• Costruzione del modello: individuazione delle grandezze e relazioni che governano il fenomeno e descrizione di esse in termini matematici (ex. modello di crescita esponenziale).
• Studio matematico del modello: studio della struttura del modello e delle sue peculiarità (ex. la base dell’esponenziale a > 0 è il solo parametro libero).
• Verifica sperimentale: confronto tra le previsioni fornite dal modello e la realtà (ex. se a > 1, allora in un tempo che può essere calcolato, le risorse disponibili per far fronte all’epidemia saranno insufficienti).

Modelli matematici ricorrenti durante il corso

• Sviluppo di una popolazione: nota la numerosità P di una popolazione all’istante iniziale, P₀ rappresenta la numerosità all’istante futuro t > 0.
• Modello preda-predatore: descrive l’evoluzione temporale di due popolazioni (prede e predatori) che condividono in modo conflittuale la stessa nicchia ecologica.
• Concentrazione di un farmaco nel sangue: descrive come varia la concentrazione di un farmaco nel sangue con il passare del tempo.

Insiemi

Classe di oggetti ben definita ed oggettiva. Può essere rappresentato:

• Elencandone gli elementi (ex. A = {1, 2, 3}, S = {lun, mar... , dom}).
• Caratterizzandone gli elementi (ex. P = numeri primi).
• Graficamente attraverso i diagrammi di Eulero-Venn.

B è sottoinsieme dell’insieme A = ogni elemento di B è un elemento di A. Se ne esiste almeno uno di A che non appartiene a B: B è un sottoinsieme proprio di A (B ⊂ A o A ⊃ B). Se B è sottoinsieme di A si dice anche che A contiene B e si scrive B ⊆ A oppure A ⊇ B. Ex B = {2, 3} sottoinsieme proprio di A = {1, 2, 3}.

L’unione degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi appartenenti ad almeno uno degli insiemi A e B; è indicata con A ∪ B. Ex Se A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6, 8}, allora A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}.

L’intersezione, indicata con A ∩ B, tra gli insiemi A e B è l’insieme degli elementi appartenenti sia ad A che a B. Due insiemi sono disgiunti se la loro intersezione è l’insieme vuoto. Ex: P = interi pari e D = interi dispari sono disgiunti: P ∩ D = ∅.

Proprietà insiemi con unione e intersezione

• Proprietà commutativa: A ∪ B = B ∪ A | A ∩ B = B ∩ A.
• Proprietà associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) | (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
• Proprietà distributiva: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) | A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Operazioni tra insiemi

Dati gli insiemi A e B, la differenza “A meno B” (A \ B) è l’insieme degli elementi appartenenti ad A ma non a B. Se B ⊆ A, allora A \ B si dice “complementare di B in A”. Ex: Se A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6, 8}, allora A \ B = {1, 3} e B \ A = {4, 6, 8}. La differenza tra insiemi non è commutativa!

Il prodotto cartesiano (A × B) tra gli insiemi A e B è l’insieme delle coppie ordinate (a, b) dove a ∈ A e b ∈ B. Il prodotto cartesiano tra insiemi non è commutativo! Ex: Se A = {1, 2}, B = {−1, 1}, allora: A × B = {(1, −1),(1, 1),(2, −1),(2,1)} | B × A = {(-1, 1),(-1, 2),(1, 1),(1, 2)}.

Se A = B = R (insieme numeri reali), allora A × B = R² è l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali e, perciò, coincide con il piano cartesiano.

Funzioni

Ex. Quantità di carburante consumato per un viaggio in auto dipende dalla lunghezza del viaggio. Ad ogni n° indicante la distanza percorsa corrisponde un n° della quantità di carburante consumata.

Dati due insiemi X e Y, una funzione (f o altre lettere minuscole) da X a Y è una corrispondenza che associa ad ogni x ∈ X un unico y ∈ Y. Gli insiemi X e Y sono detti rispettivamente dominio e codominio della funzione f. La notazione f : X → Y significa che f è una funzione di dominio X e codominio Y. Denoteremo con f(x) l’unico elemento di Y associato dalla funzione f a x ∈ X e lo chiameremo immagine di x tramite f. Da ogni elemento di X “parte” un’unica freccia.

Una funzione (f da X a Y) può essere:

• Iniettiva se a punti distinti di X corrispondono immagini distinte in Y. Ex: X = insieme immatricolati 2021 dell’Ateneo e N = insieme dei numeri naturali. f che associa ad ogni matricola x ∈ X il suo numero di matricola f(x) ∈ N è iniettiva, ma non suriettiva.
• Suriettiva se ogni punto di Y è immagine di almeno un punto di X. Ex: Siano X = insieme immatricolati 2021 dell’Ateneo e Y = insieme giorni dell’anno. f associante ad ogni matricola x ∈ X il giorno del compleanno f(x) ∈ Y è suriettiva ma non iniettiva.
• Biunivoca (o invertibile) se iniettiva e suriettiva. Per ogni y ∈ Y esiste 1 solo x ∈ X tale che f(x) = y.

Esistono funzioni né iniettive, né suriettive. Ex: Sia Z l’insieme dei numeri interi con f che associa ad ogni intero x ∈ Z il suo quadrato x² ∈ Z. Questo perché: * 2 e -2 (x e -x per ogni x ∈ Z) hanno lo stesso quadrato, ma *non esistono numeri interi con quadrato negativo.

Funzioni inverse e composte

Data una funzione biunivoca f : X → Y, la funzione inversa (f^-1 : Y → X) è la corrispondenza che associa ad ogni y ∈ Y l’unico x ∈ X tale che f(x) = y (dunque è una funzione da Y a X). Ex: la funzione f : Z → Z definita da f(x) = x + 1 è biunivoca e la sua inversa è data da f^-1(y) = y - 1.

Date funzioni f : X → Y e g : Y → Z, la funzione composta (g ∘ f, o talvolta con g[f]) la composizione di f e g, è la funzione da X a Z che associa ad ogni x ∈ X l’elemento g(f(x)) in Z. Condizioni:

• Codominio di f coincida con il dominio di g.
• Se f : X → Y è biunivoca si possono considerare f ∘ f^-1 e f^-1 ∘ f e si ha: f ∘ f^-1(x) = x | f^-1 ∘ f(y) = y.

Insiemi numerici

• N = {0, 1, 2, 3, . . . } è l’insieme dei numeri naturali.
• Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . . } è l’insieme dei numeri interi.
• Q = {±p/q dove p, q ∈ N, q ≠ 0} è l’insieme dei numeri razionali.
• R è l’insieme dei numeri reali, ossia tutti i numeri che hanno un allineamento decimale (anche infinito e non periodico). Ex: √2=1,41... ; π=3,14…

Il progressivo ampliamento degli insiemi numerici è giustificato da:

• Differenza di 2 numeri ∈ N (di solito) non è un numero naturale (ex 2 ∈ N e 3 ∈ N, ma 2 - 3 ∈ Z \ N).
• Quoziente di 2 numeri ∈ Z (di solito) non è un numero intero (ex -3 ∈ Z e 5 ∈ Z, ma -3 / 5 ∈ Q \ Z).
• Esistono numeri con un allineamento decimale non periodico, dunque non sono Q (ex √2 ∈ R \ Z, π ∈ R \ Z).

Ex: rappresentazione numeri reali = Disegno retta e quadrato, la diagonale è = √2; disegno retta e circonferenza, la faccio ruotare e la distanza percorsa è = π.

Si deduce:

• N e Z sono discreti in R: dati x, y ∈ R tali che x < y può capitare che non esista z ∈ Z tale che x < z < y (ex x = 0 e y = 1).
• Q è denso in R: dati x, y ∈ R tali che x < y esiste (sempre!) z ∈ Q tale che x < z < y.

Intervalli (sottoinsiemi di R; supponiamo qui a, b ∈ R con a < b)

• [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} limitato chiuso.
• (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} limitato aperto.
• [a, b) | (a, b] = {x ∈ R : a ≤ x < b} intervallo limitato aperto a destra/sinistra e chiuso a sinistra/destra.
• [b, +∞) | (−∞, b] |(b, +∞) | = {x ∈ R : x ≥ b} intervallo chiuso/aperto illimitato a destra/sinistra.

Se funzione definita su numeri reali il risultato non può essere +∞ perché +∞ non è reale.

Successioni

Una funzione da (un sottoinsieme infinito di) N a R è detta successione (reale). Data una successione s, si indica con s_n l’immagine del numero naturale n attraverso s. Talvolta la successione s è indicata (in maniera poco precisa) con l’insieme {s₀, s₁, s₂, ... }. Metto puntini di sospensione ma i numeri della successione possono cambiare dopo molti termini; nelle successioni, a differenza degli insiemi, i termini non possono essere scambiati.

Ex: {1, 8, 15, 22, 29... } indica la successione soddisfacente s₀ = 1 e s_n = s_n-1 + 7 s = 1 + 7n.

Successioni in cui la differenza tra un termine e il precedente è k pari a q ∈ R sono dette progressioni aritmetiche di ragione q. Hanno forma s = s₀ + nq. Ex: {2, 6, 18, 54, 162, 486... } indica la successione che soddisfa s₀ = 2 e s_n = 3ⁿs₀.

Successioni in cui il rapporto tra un termine e il precedente è costante pari a d ∈ R \ {0} sono dette progressioni geometriche di ragione d. Esse hanno tutte la forma s_n = s₀dⁿ. Ex: esistono successioni né aritmetiche, né geometriche per es. quella di Fibonacci: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... } in cui s₀ = 1, s₁ = 1 e s_n = s_n-1 + s_n-2.

Grafici di funzioni reali di variabile reale

Il grafico (dà idea sull’andamento della funzione) di f : X → R è il sottoinsieme costituito dai punti (x, f(x)) ∈ R² (insieme coppia delle coordinate dei numeri reali) al variare di x ∈ X. Alcune proprietà di una f : X → R si riflettono in maniera sul grafico:

• f è iniettiva se ogni retta orizzontale incontra il grafico di f al più in un punto.
• f è suriettiva se ogni retta orizzontale incontra il grafico di f almeno in un punto.
• f può essere anche biunivoca o né iniettiva, né suriettiva.

Prendendo (x,y) ∈ R tali che, x + y = 1, NON è una funzione f:R → (x,F(a) tali che x∈R), perché delle rette verticali nel piano incontrano l’espressione in più di 1 punto.

Funzione inversa

Talvolta si può ricavare l’espressione analitica di f^-1 da quella di f, attraverso passaggi algebrici. Se f è invertibile, il grafico di f^-1 = al simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante.

Ex: Sia f : R → R la funzione definita da f(x) = 3x - 15. f è iniettiva e suriettiva; f^-1 : R → R è data da f^-1(y) = 1/3y + 5 (porre y = 3x - 15 è ricavare x per la verifica).

Funzioni crescenti e decrescenti

Sia X un sottoinsieme di R. Una funzione f : X → R è detta essere strettamente crescente quando, per ogni x₁, x₂ ∈ X con x₁ < x₂ si ha f(x₁) < f(x₂).

Sia X un sottoinsieme di R. Una funzione f : X → R è detta essere crescente quando, per ogni x₁, x₂ ∈ X con x₁ < x₂ si ha f(x₁) ≤ f(x₂).

Sia X un sottoinsieme di R. Una funzione f : X → R è detta essere decrescente quando, per ogni x₁, x₂ ∈ X con x₁ < x₂ si ha f(x₁) ≥ f(x₂).

Sia X un sottoinsieme di R. Una funzione f : X → R è detta essere strettamente decrescente quando, per ogni x₁, x₂ ∈ X con x₁ < x₂ si ha f(x₁) > f(x₂).

Funzioni convesse e concave

Una funzione è convessa se, scelti arbitrariamente due punti del suo grafico, il segmento che li congiunge si trova al di sopra (non al di sotto) del grafico stesso = f : R → R, per ogni x₁, x₂ ∈ X, si ha f.

Una funzione è concava se, scelti arbitrariamente due punti del suo grafico, il segmento che li congiunge si trova al di sotto (non al di sopra) del grafico stesso = f : R → R, per ogni x₁, x₂ ∈ X, si ha f.

Funzioni pari e dispari

Una funzione è pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate (asse y). = Sia X un sottoinsieme di R simmetrico rispetto a 0. f : X → R è pari quando, per ogni x ∈ X, si ha f(-x) = f(x).

Una funzione è dispari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine. = Sia X un sottoinsieme di R simmetrico rispetto a 0. f : X → R è dispari quando, per ogni x ∈ X, si ha f(-x) = -f(x). (Se f : X → R è dispari e 0 ∈ X, allora si ha f(0) = 0, esso non è sempre soddisfatto ex. per f(x) = 1/x per il D x ≠ 0).

Funzioni elementari

Funzioni lineari

Chiamiamo f lineare: f : R → R definita da un’espressione della forma f(x) = mx + q per opportuni m, q ∈ R. Per le f da R in R per cui vale la seguente proprietà: esiste m ∈ R tale che per ogni x₁, x₂ ∈ R distinti si ha.

Infatti, per una tale f, posto q = f(0) si ha f(x) = mx + q. Ex: Impresa con costi fissi = q e di produzione = c per ogni unità del bene prodotto. Il costo totale di produzione è C(x) = cx + q; il prezzo di vendita è p, quindi il ricavo totale è R(x) = px. Il punto di break-even è quello in cui i grafici delle funzioni di costo e ricavo si intersecano (guadagno!). Si determina risolvendo il sistema: y = cx + q | y = px.

Funzioni quadratiche

Funzione quadratica: ogni funzione f : R → R definita da un’espressione della forma f(x) = ax² + bx + c per opportuni a, b, c ∈ R con a ≠ 0 (se = è lineare). Il suo grafico è una parabola con asse verticale (e direttrice orizzontale). Il punto di intersezione con l’asse delle ordinate è il punto (0, c). Il vertice è.

Se b² - 4ac ≥ 0, le intersezioni con l’asse x sono i punti di ascissa.

Una funzione quadratica definita da f(x) = ax² + bx + c è:

• Convessa se a > 0 ex f(x) = x² - 3x + 1 | V = 3/2, -5/4; c = 1.
• Concava se a < 0 ex f(x) = -x² + x + 2 | V = 1/2, 9/4; c = 2.

Funzioni potenza

La funzione potenza è f : (0, +∞) → R definita da un’espressione della forma f(x) = x^α con α ∈ R. L’andamento dipende dal valore di α: α ∈ (-∞, 0) | α ∈ (0, 1) | α ∈ (1, +∞).

f(x) = x^α con α ∈ (1, +∞), più f(x) = x^α con α ∈ (0, 1), più α f(x) = x^α con α ∈ [-1, 0); al f(x) = x^α con α ∈ (-∞, -1].

α cresce più il grafico si avvicina a 1, più il grafico è crescere dell’alfa, la curva si “schiaccia” verso l’angolo in basso a destra del quadrante maggiore di 0 si avvicina a essere semiretta orizzontale.

Funzioni esponenziali

Ogni funzione f : R → R definita da un’espressione della forma f(x) = a^x con a sempre positivo: a ∈ (0, +∞). L’andamento, strettamente crescente, dipende dal valore di a: a = 1 caso speciale, a > 1. a ∈ (0, 1) numero di Eulero (o Nepero) e = 2,718.

Ogni funzione esponenziale, definita da f(x) = a^x con a ∈ (0, 1) oppure a ∈ (1, +∞) è biunivoca dall’insieme R (dominio) all’insieme (0, +∞) (codominio) = Si limita il codominio. Pertanto, f è invertibile.

Esiste dunque la funzione inversa f^-1 : (0, +∞) → R che si denota con log_a. Poiché f(f^-1(x)) = x, ritroviamo la Definizione.

Il numero log_a(x) è l’esponente cui elevare a per ottenere x.

Funzioni logaritmiche

Chiamiamo funzione logaritmica ogni funzione f : (0, +∞) → R, definita da un’espressione della forma f(x) = log_a(x) con a > 0, con a≠1. L’andamento dipende dal valore di a; Notazione: Log = log₁₀, log = log_e:

f(y) = a | f(x) = log_a x | a = x^y

a > 1 o (1, +∞) a ∈ (0, 1) numero di Eulero (o Nepero) e = 2,718.