Matematica - Numeri Complessi

Numeri complessi: intro e rappresentazione

Consideriamo l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali (a,b) e su queste definiamo le operazioni di somma e prodotto nel seguente modo:

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

(1,2) + (2,3) = (3,5)

(a,b) · (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

(1,2) · (2,3) = (-4, 7)

Si può dimostrare che valgono le stesse proprietà delle operazioni in ℝ.

Siamo quindi autorizzati a chiamare numeri questi nuovi "oggetti a due componenti" e per distinguerli dagli altri si è deciso di chiamarli numeri complessi.

Si nota che i numeri del tipo (a,0) se sommati o moltiplicati tra loro generano numeri dello stesso tipo, così come anche i loro opposti, e quindi formano un sottocampo (numeri del tipo "a,0", seconda coord. nulla).

Possiamo allora identificare i numeri (a,0) coi i numeri reali potendo scrivere semplicemente "a" al posto di (a,0).

Il numero complesso (0,1) gode di questa proprietà:

(0,1) · (0,1) = (0,1) · (4) = (-1, 0) = -1 → a questo numero (che è una delle soluzioni di x²+1) si dà il nome di "unità immaginaria" e lo si indica con i.

Alla luce delle precedenti osservazioni si ha che:

(a,b) = (a,0) + (0,i · b) = a + i b

Forma cartesiana (o forma algebrica)

• A - Parte reale
• B - Parte immaginaria
• Piano di Gauss
• Asse immaginario
• Asse reale

Numeri complessi: intro e rappresentazione

Consideriamo l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali (a,b) e su queste definiamo le operazioni di somma e prodotto nel seguente modo:

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

(a,b) · (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

(1,2) + (2,3) = (3,5)

(1,2) · (2,3) = (-4, 7)

Si può dimostrare che valgono le stesse proprietà delle operazioni in R.

Siamo quindi autorizzati a chiamare numeri questi nuovi "oggetti a due componenti" e per distinguerli dagli altri si è deciso di chiamarli numeri complessi.

Si nota che i numeri del tipo (a,0) se sommati o moltiplicati tra loro generano numeri dello stesso tipo, come anche i loro opposti, e opposti ai numeri dei tipo (a,0) seconda coord. negativa.

Possiamo allora identificare i numeri (a,0) coi i numeri reali potendo scrivere semplicemente "a" al posto di (a,0).

Il numero complesso (0,1) gode di questa proprietà:

(0,1) · (0,1) = (0.4) = (-1,0) = -1

A questo numero (che è una delle soluzioni di x² + 1) si dà il nome di unità immaginaria, e lo si indica con "i".

Alla luce delle precedenti osservazioni, si ha che:

(a,b) = (a,0) + (0,i)(b,0) = a + ib

Forma cartesiana (o forma algebrica)

• A = Parte reale
• Ib = Parte immaginaria
• Piano di Gauss

Numeri complessi: operazioni in forma cartesiana

z = a + bi     a = Re(z) - parte reale     b = Im(z) - parte immaginaria     i - unità immaginaria i² = -1

Somma

Siano z₁ = a + bi e z₂ = c + di due numeri complessi allora

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

Esempio 1: z₁ = 1 + 3i e z₂ = 2i ⟶ z₁ + z₂ = 1 + 3i + 2i = 2 + 5i

Esempio 2: z₁ = -3 + 2i e z₂ = 1 - 3i ⟶ z₁ + z₂ = -3 + 2i + (-3i) = 4i

Differenza

Siano z₁ = a + bi e z₂ = c + di due numeri complessi, allora

z₁ - z₂ = (a - c) + (b - d)i

Esempio 3: z₁ = 1 + 3i e z₂ = 1 + i ⟶ z₁ - z₂ = 1 + 3i - (1 + i) = 4i

Prodotto

Siano z₁ = a + bi e z₂ = c + di due numeri complessi, allora

z₁ · z₂ = (ac - bd) + (ad + bc)i

Esempio 4: z₁ = 1 + 3i e z₂ = 2i ⟶ z₁ · z₂ = (ac - bd) + (ad + bc)²

Rapporto

Siano z₁ = a + bi e z₂ = c + di due numeri complessi, allora z₁ / z₂ = [ (ac + bd)/(c² + d²) + ((bc - ad)/(c² + d²))i ]

Esempio 5: (1 + 3i) / (1 - 2i) = 4 + 8i ⟶ (-3)i

Numeri complessi: forma trigonometrica e forma esponenziale

Punti del piano di Gauss possono essere individuati:

• Dalle coord. cartesiane a, b
• Dalle coord. polari ρ, θ

Le coordinate a, b possono essere numeri razi, perciò coordinate diverse indicano punti diversi.

Le coordinate polari hanno regole ρ > 0 e θ determinato a meno di multipli di 2π.

Da considerazioni trigonometrice si ha che:

• A = ρ cos θ
• B = ρ sin θ

Dunque z = a + ib = ρ cos θ + iρ sin θ = ρ (cos θ + i sin θ) forma trigonometrica (o polare)

Se ho il numero in forma trigonometrica (ovvero conosco ρ e θ) e voglio scriverlo in forma cartesiana basta ricordare che a = ρ cos θ, b = ρ sin θ

Esempio: z = 2 [cos (^π/₄) + i sin (^3π/₄)]

a = 2 cos (^π/₄)

b = 2 sin (^3π/₄)

Se ho il numero in forma cartesiana (ovvero conosco a e b) e voglio scriverlo in forma trigonometrica basta ricordare che ρ = √(a² + b²) e θ =...

Esempio:

z = √3 + i

ρ = √(3² + 1²) = 2

θ = arctg (¹/_√3) = ^π/₆

NB: Se a > 0 allora θ = θ, se b > 0 mentre per z = 0 non è definito

Prodotto in forma trigonometrica

z₁ = P₁(cos θ₁ + i sin θ₁)

z₂ = P₂(cos θ₂ + i sin θ₂)

z₁ z₂ = P₁ P₂(cos θ₁ + i sin θ₁)(cos θ₂ + i sin θ₂) = P₁ P₂(cos θ₁ cos θ₂ - sin θ₁ sin θ₂ + i [cos θ₁ sin θ₂ + sin θ₁ cos θ₂])

= P₁ P₂ [cos (θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂)]

Il modulo è il prodotto dei moduli

L'argomento è la somma degli argomenti

Esempio

z₁ = 3 (cos π/2 + i sin π/2)

z₂ = 2 (cos π/4 + i sin π/4)

z₁ z₂ = 3 ∙ 2 = 6

arg (z₁ z₂) = π/2 + π/4 = 3π/4

z₁ z₂ = 6 (cos (3π/4) + i sin (3π/4))

Divisione in forma trigonometrica

z₁ = P₁ (cos θ₁ + i sin θ₁)

z₂ = P₂ (cos θ₂ + i sin θ₂)

^z₁∕_z2 = ^P₁∕_P2 [cos (θ₁ - θ₂) + i sin (θ₁ - θ₂)]

Il modulo è il rapporto tra moduli

L'argomento è la differenza tra argomenti

Esempio

z₁ = 3√2 (cos 7π/4 + i sin 7π/4)

z₂ = √2 (cos π/2 - i sin π/2)

|z₁/z₂| = 3√2/√2 = 3

arg (z₁/z₂) = 7π/4 - π/2 = π/4

z₁/z₂ = 3 (cos (π/4) + i sin (π/4))

Forma esponenziale

Notazione equivalente alla trigonometrica che utilizzano sempre P e θ, al posto di cos e sin sfrutta gli esponenziali.

Si definisce e^iθ = cos θ + i sin θ e quindi

z = a + i b = P (cos θ + i sin θ) = P e^iθ

Forma cartesiana - Forma trigonometrica - Forma esponenziale

Esempio

z = √3 + i = 2 (cos π/6 + i sin π/6) = 2 e^iπ/6

Numeri complessi: radici e potenze

Potenze

z = (ρ e^iθ)^w = ρ^w e^iθw = ρ^w [cos (wθ) + i sin (wθ)]

Esempio calcolato (1+i)⁵

Converto in exp. -> |z| = √2 a(cos (1+i) = arctg (^π/₄))

Elevò -> (√2 e^iπ/₄)⁵ = 2√2 e^i5π/₄

Torno in cart. -> 4[^√2/₂ ∙ (^-√2/₂) + i (^-√2/₂) ∙ i (^-√2/₂)] = k₁√2 (^π/_-1) (^π/_-1) = -k₁-

Radici

Dato un n. c. W, si dice che ζ è radice n-esima complessa di W se ζⁿ = W.

Se W = 0 allora l'unica radice è ζ=0. Se invece z≠0 allora esistono sempre n numeri complessi che soddisfano l'equazione; ovvero n radici n-esime complesse. E^{ρ iθ} e k allora e^{ρ iθ} z^W diventa ρ e

Si ricava quindi che ρV^1/_n e (θ_k)/_n 2kπ/n] con, k = 0,1, ..., n-2

• Un modulo, un angolo della radice n-esima
• La radice n-esima (reale) del modulo del numero
• Una radice ha come argomento 1/n le altre sono sfalsate tra loro di 2kπ/n

Esempio: det. le radici cubiche complesse di -1

Converto in exp -> -1 = 1 e^π Arg (-1) = π

Trove mod e. arg. Radici p = √2+1 q_k 1 e^k con k = 0,2

Esplico le radici -> z₀ 1 e² 1 e^5/₃π

OSS: è possibile dimostrare che nel piano di Gauss le radici n-esime si trovano ai vertici di un poligono regolare n i lati, iscritto in una circonferenza centrata nel'origine di raggio √n

Esempio: radici cubiche complesse di -1

z₀ √³/₂

z₁ = -1

z₂ = e^_-√3/2

Equazioni con numeri complessi

x² = -1 non ha soluzioni in ℝ, dove √x non ammette.

x = 0 ha 2 soluzioni in ℂ ovvero ±i

x² = -9 non ha soluzioni in ℝ

x = √-9 o x = 9 o x = 9·(-1)

x = √9·√-1   x = ±3i

Per risolvere ax² + bx + c = 0 si può utilizzare z = -b ± √b² - 4ac a patto di intendere la radice quad. in senso complesso.

z_1,2 = -b ± √b² - 4ac / 2a = -2 ± √-4 / 2 = 2 ± 2i / 2 = 1 ± i.

Il numero a-i·b si dice complesso coniugato di 2a+i·b si indica con z̅

Nel piano di Gauss z̅ = il simmetrico di z rispetto all'asse reale.

In forma exp se z = ρ·e^i·θ allora z̅ = ρ·e^-i·θ

az² + bz + c = 0 con a, b, c ∈ ℂ. ℝ ha 2 sol. reali distinte se Δ > 0   2 sol. reali coincidenti se Δ = 0   2 sol. complesse coniugate se Δ < 0

Naturalmente la formula risolvente resta valida anche con coeff. complessi.

z² - 3iz - 2 = 0 →z = -b ± √Δ / 2a = 3i ± √-1 / 2= 3i ± i / 2 = z_1,2 = 3i+i, 2i

NB: Se sono radici troviamo num. col parte rel. e immag. → (1±i) si procede con il calcolo radici compl.

z² - 5iz - 6 = 0 → t = z² 5iz 6 = 0

t = -5 + i →t = i →z² - 3iz - 2 = 0 → y = z² → y - 3iy = -2 = 0

y = 3i ± 1 / 3 = yt² - i o ρ·e^iθ = λ

z² = -2 p^iπ = λ∙e^-i(λ - 1)   z = eⁱ =

z = (-1 ± = x eⁱ)·eⁱ·π

z = z²+0^iπ² e^kπ"=1i.

Equazioni con numeri complessi (Pt. II)

Esempio 1

Risolvere z² + 2z = i Im(z)

Pongo z = x + iy → z̅ (x-iy) = x² - y² + 2ixy - z̅ = x - iy , Im(z) =

Si ottiene x² - y² + 2ixy - i (x + y) i (x - y) = 0 → (x² - y² + 2x) - i (2xy + y - xy) = 0

Ricordando che uno z = 0 se e solo se sia la parte reale che quella imm. sono 0 si ha che:

x² - y² + 2x = 0   2xy - y = 0

La 1º eqt raccolta e diventa y(2x-1) = 0 ed ha per sol. y=0

y=0 x∈ -2   1 ₂

y=0

x² + 2x = 0

(x (x + 2) ) = 0

x=0

y=0

x = 1₂

(x + 1)(x + 2) = 0

x = -2

y = 0

x = -1

y = 0

x = 1₂

y = 0 x = 1₄

y = 2₁₅

Le soluzioni sono quindi z = 0; z = -2; z = 1₂ z = -1₂5 ....... z = 1₂5 ....... ....... .......

Esempio 2

z² = 1-z1

Pongo z = ρe^iθ = ρe^iθ = 1

ρ = 4 = ρ = e^iθ ρ̅ = 1 - z = 4 e^-21θ

Ricordando che i complessi in exp sono uguali se e solo lorose hanno stesso modulo copmanoment uguali o differiscono direz.

Data m equ ascrivibile come (ρ (ρ -^{) = 0 → ?ρ₂0 ρ₁}

Pa ρ = 0 si ha z = 0???(non definito per 200)

Pa ρ = 1 → θ = i 1 + i k π ⁱ соk k = 0, 1,..., i3 ⁵

z = 0   z = e^iπ z = e^i3π z = e^i4π z = e^iπ

Numeri complessi: esercizi

Esercizio 1

Semplificare 10²⁰¹⁷ (1-i) (2-i) (3-i)= 10 / (1-i)(2-i)(3-i)= 10 / (1-i)(2-i)(3-i)= 10 / 10²⁰¹⁷= i · i - i · 1 / 1 · 1

Potenze dell'unità immaginaria

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

i⁵ = i

i⁶ = -1

i⁷ = -i

i⁸ = 1

i⁹ = i

...

i²⁰¹⁷ = ......

i²⁰¹⁶ = ...

Concludiamo che 10 / (1-i)(2-i)(3-i) = i²⁰¹⁷ = i · i = 2i

Esercizio 2: det. e rapp. in Gauss. numeri z

|z| = 2 e Re(z) = 1

Modo 1 -> |z| = 2 e arg(z) = cos^-1(1/2) = π/3

z₁ = 2 ^5π/3 2 cos π/3 + i sin π/3 = 2 (1/2 + i √3/2) = 1 + i √3

z₂ = z₁, -1 - i √3

Modo 2 -> Pongo z = x + iy e risolvo

|z| = 2 -> { x² + y² = 4 Re(z) = 1 -> x = 1

z₁ = 1 + i √3 z₂ = 1 - i √3