Fisica Matematica

Programma di fisica matematica

Corso di laurea Ingegneria elettronica e dell’automazione.

Anno II (Periodo I e II) 2012-2013 (9 CFU).

Variabile complessa

Numeri complessi. Funzione complessa di variabile complessa. Derivazione complessa. Rappresentazione esponenziale del numero complesso. Il logaritmo di un numero complesso. La potenza ad esponente complesso. Le funzioni trigonometriche e iperboliche nel campo complesso.

Definizione di integrale complesso. Teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy. Sviluppo di Taylor. Sviluppo di Laurent. Principio di identità. Singolarità isolata. Singolarità eliminabile. Poli e zeri. Singolarità essenziale. Residuo. Singolarità all’infinito. Teorema dei residui. Lemma di Jordan.

Applicazioni all’integrazione reale. Cenni sulle funzioni polidrome. Trasformazione di Moebius.

Misura, integrali e spazi di Hilbert

Misura ed integrale di Lebesgue. Spazi ed L2 1. Spazi di Hilbert. Disuguaglianze triangolare, di Schwarz e di Bessel. Sistemi di vettori ortonormali. Sistemi completi ed uguaglianza di Parseval. Ortonormalizzazione di un sistema di vettori.

Segnali. Segnali particolari. Operazioni sui segnali. Convoluzione.

Operatori limitati. Topologie. Autovalori e spettro di un operatore. Esempi di operatori limitati.

Sviluppi e trasformate di Fourier

Sviluppi di Fourier: in serie esponenziale e in serie trigonometrica. Applicazione dell’uguaglianza di Parseval nel calcolo della somma delle serie.

Trasformata di Fourier. Proprietà della trasformata di Fourier. Trasformata inversa di Fourier e teorema di Plancherel. Applicazioni alle equazioni differenziali.

Trasformata di Laplace

Trasformata di Laplace e sue proprietà. Antitrasformata di Laplace. Applicazioni alla risoluzione di equazioni differenziali.

Distribuzioni

Distribuzioni. Funzioni test e funzioni a decrescenza rapida. Funzionali e distribuzioni. Convergenza debole. Delta di Dirac. Proprietà della delta. Derivata di una distribuzione. Estensione della trasformata di Fourier alle distribuzioni.

Libro di testo

Fabio Bagarello, Fisica matematica, Zanichelli (2007).

Libri consigliati

• T. Brugarino: Introduzione alla variabile complessa, CISU (Roma)
• T. Brugarino: Introduzione alle trasformate integrali, (Centro Stampa)
• M. Codegone: Metodi matematici per l’ingegneria, Zanichelli Editore
• G.C. Barozzi: Matematica per l’ingegneria dell’informazione, Zanichelli
• P. Contucci, S. Isola: Probabilità elementare, Zanichelli

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