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Sia
f(x) = 5x + 8 - x5, x.
Siano xm e xM gli unici due punti di minimo e massimo locale, rispettivamente, per f; quanto vale f(xm) + f(xM) + xM - xm?
Soluzione
La funzione data è derivabile dove è definita, ovvero su tutto . Si ha
f'(x) = 5 - 5x4 = 5(1 - x4).
Dunque f'(x) = 0 se e solo se x = ±1. Si ha poi f'(x) > 0 per -1 < x < 1, e f'(x) <= 0 per x <= -1 oppure x >= 1. Dunque xM = 1 e xm = -1, da cui
f(xm) + f(xM) + xM - xm = -5 + 8 + 1 + 5 + 8 - 1 + 1 + 1 = 18.
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