Massimi e minimi 6

Sia

f(x) = 5x + 8 - x⁵, x ∈ R.

Siano x_m e x_M gli unici due punti di minimo e massimo locale, rispettivamente, per f; quanto vale f(x_m) + f(x_M) + x_M - x_m?

Soluzione. La funzione data è derivabile dove è definita, ovvero su tutto R. Si ha

f'(x) = 5 - 5x⁴ = 5(1 - x⁴).

Dunque f'(x) = 0 se e solo se x = ±1. Si ha poi f'(x) > 0 per -1 < x < 1, e f'(x) ≤ 0 per x ≤ -1 oppure x ≥ 1. Dunque x_M = 1 e x_m = -1, da cui

f(x_m) + f(x_M) + x_M - x_m = -5 + 8 + 1 + 5 + 8 - 1 + 1 + 1 = 18.