Limiti in una variabile
Esercizio 2
Calcolare
limx -> 0 (e7x2 - 1)/(x sin x).
Soluzione. Osserviamo che si ha
(e7x2 - 1)/(x sin x) = 7 (e7x2 - 1)/(7x2) x/(sin x).
Posto y = 7x2 abbiamo che y -> 0 se x -> 0; inoltre
(e7x2 - 1)/(7x2) = (ey - 1)/y
che ha limite 0 quando y -> 0, per un noto limite notevole. Dal momento che si ha anche
limx -> 0 (sin x)/x = 1
si ha anche
limx -> 0 x/(sin x) = 1.
Ne segue che
limx -> 0 (e7x2 - 1)/(x sin x) = 7.
1
È il limite per zero di era 7x4 fratto x sei x
Tutto questo limite si compone di vari limiti notevoli. Infatti scriviamo x quattro meno uno fratto x e x come sette volte x 4/7 x quattro che moltiplica x x. Potenzialmente abbiamo solo operato alcune operazioni algebriche e la forma della frazione è rimasta completamente invariata.
Poniamo y quale 7x4 allora y tende a zero quando x va a zero e la frazione a x quattro meno uno fra costretti x quattro può essere riscritto come y 21 fratto y y tende a zero. Qui si applica un limite notevole. Questo rapporto tende a uno, quindi per una ricomposizione anche a quattro meno uno fratto scelti come limite uno resta il limite a zero di x fatto se x.
Ricordiamo che il fatto x ha come limite uno quando x zero questo è un limite notevole. Di conseguenza x x avrà come limite l'inverso di uno ovvero uno. Ne segue che x quattro uno fratto x in x per quanto visto tenderà a sette che moltiplica uno moltiplicando ovvero sette.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
