Limiti in una variabile
Esercizio 4
Calcolare 2
arctan(2x ) − 3 3
lim + cos(2x + π) + 6x log(1 + 6x ).
2
x
x → 0
Anzitutto si ha
Soluzione. 2 )
arctan(2x − 3 3
+ cos(2x + π) + 6x log(1 + 6x ) =
2
x 2 3
arctan(2x ) log(1 + 6x )
= 2 + cos(2x + π) + 36 .
2 3
2x 6x
2 → →
Posto y = 2x si ha che y → 0 se x → 0 e inoltre
2
arctan(2x ) arctan y
=
2
2x y
→
che tende a 1 per y → 0, per un noto limite notevole. Ne segue che
2
arctan(2x )
lim = 1.
2
2x
x → 0
Per continuità della funzione y = cos x si ha −1.
lim cos(2x + π) = cos π =
x → 0
3 → →
Infine, posto y = 6x si ha y → 0 per x → 0 e
3
log(1 + 6x ) log(1 + y)
=
3
6x y
→
che tende a 1 se y → 0, per un noto limite notevole. Si ha dunque
3
log(1 + 6x )
lim = 1.
3
6x
x → 0
Riassumendo abbiamo che 2
)
arctan(2x − 3 3
+ cos(2x + π) + 6x log(1 + 6x ) = 37.
lim 2
x
x → 0 1
Calcolare il limite pari a zero dell'arco tangente di due x la seconda fratto x la seconda più coseno di due x più pigreco più sei x almeno tre che moltiplica il logaritmo di uno più sei x alla terza
Nel solito calcoliamo separatamente i limiti dei vari modelli e verifichiamo che così tanti enti ammettono un limite, così che il limite globale sia la somma dei tre limiti. R funzione tangente di due x quadro fratto x quadro può essere vista per composizione come tangente di y fratto y. Basta moltiplicare dividere per due e sostituire due x al quadrato al posto di y. Quando x zero anche y tende a zero per un noto limite notevole sappiamo che arco tangente di y fratto y va a uno quando y tende a zero. Di conseguenza anche avremo tangente di due x fratto due x. La seconda tenderà a uno quando x tende a zero.
Per quanto riguarda il secondo intendo coseno di due x più pigreco. Basta applicare la continuità della funzione coseno per concludere che il limite tende a zero del coseno. Pigreco è il di pigreco, ovvero meno.
Infine l'ultimo attento può essere riscritto come logaritmo di uno o più x al cubo fratto sei x al cubo che moltiplica 36. Osserviamo che sostituendo al posto di sei x al cubo y ci riconduciamo al limite notevole del logaritmo di uno più y fratto y, il quale vale uno quando y tende a zero. Che siano 136 davanti, il risultato sarà 36. Per l'ultimo addendo, sommando i tre valori ottenuti otteniamo come risultato 37.
![Esercizi sui limiti: [math]\lim_{{{x}\to-\infty}}{\left(\frac{6}{\pi} \arctan{{\left(-{x}^{2}\right)}}+\frac{{{1}+{2}{x}^{3}+{8}{x}^{4}}}{{{2}{x}^{4}-{3}{x}^{2}}}+{3}{e}^{{{2}{x}}}\right)}[/math] con commento audio](https://cdn.skuola.net/build/images/appunti/icona-appunto_v2.f867e43e.jpg)
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