Limite di una funzione: teoria ed esercizi

2) f(1) = 8 f(0) = -3 f:D ⟶ X: EA: f(x₀) = 1 SI, perché per il T. dei valori intermedi 1 ∈ f([0,1]) deve assumere tutti i valori compresi fra -3 e 8

Definizione di limite per una funzione

Consideriamo l'intervallo oppure l'int. forato (I è un int. forato se I ⊆ ℝ[R] ma che I ∪ {x} y è un intervallo)

Definizione di intorno di +∞ e -∞

Sia a ∈ ℝ diciamo che [a, +∞[ è un intorno di +∞] -∞, a[ è un intorno di -∞

Definizione di limite per una funzione

f: I ⊆ ℝ ⟶ ℝ l'intervallo oppure int. forato

Sia x₀ ∈ [inf I, sup I]

Diciamo che f limite per x ⟶ x₀ di f è uguale ad l ∈ ℝ e scriveremo ∀{∃ lim_x⟶x₀ f(x) = l ∀(an)n an ∈ I | x₂y an ⟶ x₀ M⟶+∞} allora ∃ lim_M⟶+∞ f(an) = l

2) f(1)=8 f(0)=-3 f D 7 xo c:a : f(xo) = 1 SI, perché per il teorema dei valori intermedi 1 ∈ f[0,1] deve assumere tutti i valori compresi tra -3 e 8

Definizione di limite per una funzione

Consideriamo l'intervallo oppure l'intervallo forato (I è un intervallo forato se I ⊆ ℝ\ ℚ ma che I ∪ {x} è un intervallo)

Definizione di intorno di +∞ e -∞

Sia a∈ℝ diciamo che [a,+∞[ è un intorno di +∞] -∞,a[ è un intorno di -∞

Definizione di limite per una funzione

f: I⊆ℝ→ℝ l'intervallo oppure int. forato

Sia xo ∈ I\{inf I, sup I}

Diciamo che f limite per x→xo di f e l è uguale ad l ∈ ℝ e scriveremo ∀(an)n∈I\{inf I, sup I} an → xo allora lim _M→+∞ f(an) = l

Osservazioni

OSS: x₀ ∈ [inf I, sup I]

I = ] -2, 3 [ \ {0} [inf I, sup I ] = [-2, 3]

I = [ 2, +∞ [ \ {5} [inf I, sup I ] = [2, +∞]

Esempi

es: f : ↠ ↠ f(x) = { 1 x ≠ 0 0 x = 0 ⇼ lim f(x) x→0

Sia a_n ∈ &R \ {0} a_n → 0 f(a_n) = 1 ∀∀ → ∞ lim f(x) = 1 x→0

es: f(x) = { 1 x ≠ 0 7 x = 0 lim f(x) = 1 x→0

a_n ∧ b_n → 0 a_n - b_n → 0

Relazione tra continuità in un punto ed il lim per x → x₀

Teorema

f: I → ℝ

I: Intervallo x₀ ∈ I

Allora f è continua in x₀ ⇔ ∃ lim f(x) = f(x₀) x → x₀

f è continua in x₀ ⇔ ∀{a_n}_n ∈ I con a_n → x₀ n → ±∞ allora f(a_n) → f(x₀) M → ±∞

lim f(x) = f(x₀) x → x₀ ⇔ ∀ {a_n}_n ∈ I ∖ {x₀} a_n → x₀ n → ±∞ allora f(a_n) → f(x₀) M → ±∞

f cont lim f(x) = f(x₀) x → x₀ |f(a_n) - f(x₀)| ≤ ε ∀ ε > 0 definitivamente

Es: f: [1,2[ → ℝ continua →? lim f(x) x → 2

x₀ ∈ [inf I, sup I] = [1,2]

f è continua in [1,2[ ma 2 ∉ [1,2[ → Falso!

lim f(x) x → 2

3. f:[1,2[ -> IR continua 3/2 ∈ [1,2[ f è continua in 3/2

Teorema unicità del limite

Sia f: I ⊆ IR -> IR

I int. o int. forato x_o ∈ [inf.I, sup.I]

Se ∃ lim f(x) = l ∈ IR ->

Dimostrazione

- Supponiamo per assurdo ∃ l, m l ≠ m e lim f(x) = l e lim f(x) = m

∀(a_n)n ∈ I |x_o > an -> x_o suc. = f(an) -> l

∀(b_m )m ∈ I |x_o bm -> x_o suc. = f(b_m ) -> m unicità del lim ->

Esempi

- f(x) = 1/x ∃ lim f(x) ∀(a_n) n ∈ IR | 0 > an -> 0? f(an)->? a_n = 1/m f(an) = 1/m - m -> ∞

b_m = -1/m f(b_m ) = 1/-m -> ∞ ≠ ∃ lim f(x)

(Es) f(x) = ¹/_x² ∃ ? lim f(x)_{x → 0} ∀ (a_n)_n a_n → 0 f(a_n) → +∞

(Es) f(x) = sin x f : ℝ → ℝ

I = ℝ [inf I, sup I] = [-∞, +∞]

∀ x₀ ∈ ℝ lim sin x = sin x_{x → x0}

x₀ = +∞

x₀ = -∞

lim_{x → +∞} sin x ?

lim_{x → -∞} sin x ?

lim_{n → +∞} f(x) = l ∈ ℝ ⇔ ∀ (a_n)_n ∈ ℝ a_n →