Lezioni di Teoria dei segnali - Teoria ed esercizi svolti

Sommario

Introduzione

Capitolo 1

Richiami di Matematica

Premessa.1.1 - .......................................................................... 7
L'integrazione alla Lebesgue.1.2 - .......................................... 7
Misura associata a una classe di insiemi.1.3 - ..................... 10
di Borel1.4 - -Algebra .......................................................... 11
La misura di Lebesgue su ℝ.1.5 - .......................................... 11
La misura di Lebesgue su ℝ.1.6 - ....................................... 12
Funzioni integrabili alla Lebesgue e relative proprietà.1.7 - Funzioni a quadrato sommabile1.8 - .................................... 16
II Teorema di Lebesgue: ............................................................... 18
Spazi metrici.1.9 - .................................................................. 18
Spazi vettoriali.1.10 - ............................................................. 20
Spazi normati.1.11 - ............................................................... 20
Forme bilineari, quadratiche, hermitiane.1.12 - .................. 21
Riduzione di una forma hermitiana a forma canonica.1.13 - Forme hermitiane semidefinite positive.1.14 - .................... 26
Prodotto scalare.1.15 - ........................................................... 27
Vettori linearmente indipendenti.1.16 - ............................... 29

Capitolo 2

Rappresentazione Vettoriale dei Segnali

Premessa.2.1 - ........................................................................ 31
Lo spazio dei segnali a energia finita.2.2 - ........................... 32
Prodotto scalare ....................................................................... 33
Distanza .................................................................................... 33
Norma ....................................................................................... 34
Segnali linearmente indipendenti.2.3 - ................................. 35
Teorema 2.1 (di Gram) ................................................................. 35
Rappresentazione geometrica di un segnale.2.4 - ............... 38
Angolo tra due segnali.2.5 - ................................................... 42

Capitolo 3

Segnali Periodici

Generalità.3.1 - ....................................................................... 53
Serie di Fourier in forma esponenziale.3.2 - ....................... 54
Forma trigonometrica della serie di Fourier.3.3 - ............... 57
Segnali reali.3.4 - .................................................................... 58
Proprietà della serie di Fourier.3.5 - ..................................... 63
Linearità ....................................................................................... 63
Inversione nel dominio del tempo ................................................ 64
Segnale coniugato ......................................................................... 64
Coefficienti coniugati .................................................................... 64
Traslazione nel dominio del tempo ............................................... 65
Traslazione nel dominio della frequenza ....................................... 65
Convoluzione nel dominio del tempo ........................................... 65
Convoluzione nel dominio della frequenza ................................... 66
Segnali bidimensionali.3.6 - .................................................. 68

Capitolo 4

Segnali a Energia Finita

Deduzione elementare della trasformata di Fourier.4.1 - ... 71
La trasformata di Fourier di segnali ad energia finita.4.2 - 72
La trasformata in (ℝ). ........................................................... 73
La trasformata in (ℝ) ∩ (ℝ). ........................................... 73
La trasformata in (ℝ). ........................................................ 76
Conclusioni .............................................................................. 79
Principali proprietà della trasformata di Fourier di un segnale.4.3 - ...................................................................................... 80
Trasformata di Fourier di segnali reali. ................................. 81
Proprietà della trasformata di Fourier.4.4 - .......................... 84
Linearità ................................................................................... 84
Simmetria ................................................................................. 85
Segnale coniugato .................................................................... 85
Trasformata coniugata ............................................................ 86
Traslazione nel dominio del tempo ........................................ 86
Traslazione nel dominio della frequenza ............................... 86
Cambiamento di scala ............................................................. 87
Derivazione nel dominio del tempo ....................................... 88
Derivazione nel dominio della frequenza .............................. 88
Convoluzione nel dominio del tempo .................................... 89
Convoluzione nel dominio della frequenza ........................... 92
Limitazioni dello spettro di ampiezza di un segnale.4.5 - .. 96
Segnali bidimensionali.4.6 - .................................................. 98
Linearità ................................................................................... 99
Traslazione nel dominio dello spazio e della frequenza ....... 99
Cambiamento di scala ............................................................ 99
Convoluzione nel dominio dello spazio e della frequenza.. 100
Trasformazioni di variabili .................................................... 101

Capitolo 5

Segnali a Potenza Finita

Cenni di teoria delle distribuzioni.5.1 - .............................. 105
Esempi di distribuzioni.5.2 - ............................................... 107
Distribuzioni regolari ............................................................ 107
Gradino unitario ..................................................................... 107
Delta di Dirac ......................................................................... 107
Pseudo funzione t -1 ................................................................ 108
Calcolo delle distribuzioni.5.3 - .......................................... 109
Uguaglianza ........................................................................... 109
Somma .................................................................................... 109
Traslazione ............................................................................. 109
Derivata di una distribuzione ............................................... 110
Prodotto di una funzione per una distribuzione .................. 113
Distribuzioni a supporto limitato ......................................... 113
Convoluzione tra distribuzioni.5.4 - ................................... 114
Formula di Poisson.......................................................5.5 - 118
Trasformata di Fourier di una distribuzione.5.6 - ............. 120
Teorema 5.1 ............................................................................... 121
Trasformata di Fourier di distribuzioni a supporto limitato.5.7 - .............................................................. 122
Trasformate di Fourier di distribuzioni notevoli.5.8 - ....... 122
Trasformata di una costante ................................................. 122
Trasformata della delta di Dirac ........................................... 123
Trasformata della delta di Dirac traslata .............................. 123
Antitrasformata della delta di Dirac traslata ........................ 123
Trasformate delle funzioni seno e coseno ............................ 123
Trasformata di un segnale periodico .................................... 123
Trasformata della funzione segno ........................................ 124
Trasformata del gradino unitario .......................................... 125
Proprietà delle trasformate delle distribuzioni.5.9 - .......... 125
Linearità ................................................................................. 125
Trasformata della convoluzione ........................................... 125
Derivazione nel dominio del tempo e della frequenza ........ 126
Traslazione nel dominio del tempo e della frequenza ........ 127

Capitolo 6

Trasformazioni Lineari dei Segnali

Definizioni. Proprietà generali.6.1 - ................................... 131
Studio nel dominio del tempo......................................6.2 - 133
Stabilità di un sistema lineare6.3 - ...................................... 135
Risposta impulsiva di trasformazioni lineari prive di memoria.6.4 - .................................................................................. 136
Studio nel dominio della frequenza.6.5 - ............................ 136
Determinazione della risposta in frequenza di una trasformazione LTI.6.6 - ............................................................... 137
Trasmissione senza distorsione. Filtri ideali.6.7 - ............. 141

Capitolo 7

Caratterizzazione Energetica dei Segnali

Segnali a energia finita................................................................. 143
Densità spettrale di energia.7.1 - ........................................ 143
Funzione di autocorrelazione.7.2 - ..................................... 147
Teorema di Wiener-Khinchine.7.3 - ................................... 150
Funzioni di mutua correlazione.7.4 - ................................. 151
Segnali a potenza finita ............................................................... 153
Densità spettrale di potenza.7.5 - ....................................... 153
Funzioni di correlazione.7.6 - ............................................. 156

Capitolo 8

Caratteristiche e Proprietà dei Segnali

Segnale analitico. Trasformata di Hilbert...................8.1 - 161
Componenti del segnale a frequenze positive e negative.8.2 - ................................................................................................. 165
Segnali a banda e durata rigorosamente limitata.8.3 - ...... 166
Proprietà dei segnali a banda rigorosamente limitata.8.4 - Segnali passabasso................................................................. 167
Segnali passabanda ................................................................ 168
Banda e durata convenzionali......................................8.5 - 171
Banda e durata quadratica o efficace ........................................... 171
Banda e durata sulla base dell'energia .......................................... 172

Capitolo 9

Il Campionamento dei Segnali

Il teorema del campionamento.9.1 - ................................... 175
Il sottospazio dei segnali passabasso.9.2 - ......................... 177
Campionamento naturale.............................................9.3 - 180
Campionamento istantaneo.9.4 - ........................................ 183
Errori di ricoprimento spettrale (aliasing).9.5 - ................. 185
Campionamento ideale dei segnali passabanda.9.6 - ....... 187
Ricostruzione del segnale passabanda.9.7 - ...................... 193
Campionamento del secondo ordine.9.8 - ......................... 194
Segnali passabasso. ..................................................................... 194
Segnali passabanda. ..................................................................... 196

Capitolo 10

Segnali a Tempo Discreto

Segnali a tempo discreto. Energia e potenza specifica.10.1 - ................................................................................................. 199
Segnali periodici.10.2 - ........................................................ 200
La trasformata discreta di Fourier10.3 - ............................. 202
Segnali a potenza finita.10.4 - ............................................. 207
Proprietà della trasformata di Fourier di un segnale a tempo discreto.10.5 - ...................................................................... 209
Funzioni di correlazione e densità spettrali.10.6 - ............ 211
- Segnali periodici. ................................................................. 211
- Segnali ad energia finita. ..................................................... 213
- Segnali a potenza finita. ...................................................... 215

Capitolo 11

Trasformazioni Lineari Discrete

Studio nel dominio del tempo11.1 - ................................... 217
Studio nel dominio della frequenza11.2 - .......................... 221

Capitolo 12

Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier

Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier di un Segnale a tempo continuo.12.1 - ................................................ 225
Troncamento del segnale. Finestre temporali.12.2 - ......... 230
La trasformata discreta di Fourier.12.3 - ............................ 233

Capitolo 13

Richiami di Teoria della Probabilità

Lo spazio dei risultati. Gli eventi.13.1 - .............................. 239
Lo spazio di probabilità.13.2 - ............................................ 242
Probabilità condizionate - Formula di Bayes - Teorema delle probabilità composte.13.3 - ................................................... 245

Capitolo 14

Variabili Aleatorie

Variabili aleatorie.14.1 - ...................................................... 251
Funzione di distribuzione di probabilità.14.2 - ................. 252
- Intervallo semiaperto a sinistra ........................................... 252
- Semiretta d'origine destra aperta ........................................ 253
- Intervallo chiuso ................................................................... 253
- Punto isolato ........................................................................ 253
- Intervallo aperto ................................................................... 254
- Intervallo semiaperto a destra ............................................. 254
Proprietà della distribuzione di probabilità.14.3 - ............. 254
- Valori limite .......................................................................... 254
- Monotonia e limitatezza ...................................................... 255
- Continuità a destra ............................................................... 255
- Limiti da sinistra ................................................................... 256
- Numero di discontinuità ...................................................... 256
Densità di probabilità di una variabile aleatoria continua.14.4 - ................................................................................. 258
Densità di probabilità di una variabile aleatoria discreta.14.5 - ................................................................................................. 259
Variabili aleatorie bidimensionali. Funzioni di probabilità congiunte.14.6 - ........................................................... 260
Funzioni di probabilità condizionate.14.7 - ....................... 264
Funzioni di probabilità d'ordine superiore.14.8 - .............. 265

Capitolo 15

Funzioni di Variabili Aleatorie

Funzioni di una variabile aleatoria.15.1 - ........................... 267

Capitolo 16

Medie Statistiche

Valore medio di funzioni di variabili aleatorie.16.1 - ........ 273
Momenti.16.2 - ..................................................................... 274
Teorema della media.16.3 - ................................................. 280
Funzione caratteristica.16.4 - .............................................. 281

Capitolo 17

Variabili Aleatorie Notevoli

Premessa.17.1 - .................................................................... 286
Distribuzione uniforme.17.2 - ............................................. 286
Distribuzione esponenziale.17.3 - ...................................... 287
Distribuzione di Laplace.17.4 - .......................................... 288
Distribuzione normale o gaussiana.17.5 - .......................... 288
Distribuzione di Rayleigh.17.6 - ......................................... 293
Distribuzione di Bernoulli.17.7 - ........................................ 294
Distribuzione binomiale.17.8 - ........................................... 294
Distribuzione di Poisson.17.9 - ........................................... 296
Esempio 17.3 .......................................................................... 297

Capitolo 18

Caratterizzazione Statistica dei Segnali

Segnale aleatorio. Funzioni di probabilità del primo ordine.18.1 - ..................................................................................... 300