Appunti esame Telecomunicazioni scritto

Richiami analisi complessa

Coordinate cartesiane

Coordinate cartesiane: C C+5b=(b,S 1a) seac0,k2arctg KT -+arg{c =· arctg(b(a) seacO,k-X(2x 1) πfase)C ++= ↓bIC +a· = é:rede fasevit) lase (Ac0)SevCt)0 0>·ck 5ba· <0(Ac0)= - vCt)iSe·C=1Clear94)

Coordinate polari

Coordinate polari:/cle-Jarg[c· =Proprietà:2Re[CY (Re{C cc*c ce +=+ = 2 c52Im(C) [m(2)c cc --- == 25V-crc.c* 1C2 (C)- ==Siano C2 K:(n. ->Cz)* 22*(a*((n =+ +C2=*(2a.(2) Ca*.Esempi: J2π J2π-2.e 2eC c = -= 0)2π(arg(c arg[C(21(c) 2; 2π2; π+ =- +== =e=

Formula di Eulero

Formula di Eulero: COSx+5 sen xle*1= = xarg[e1 X· . I= BL](COS(2-B) -cos(1sinBsind. +=utili:Formule (2 cosd.cosBB) senBCOS send=JX =JX-+ -e** =sinxcos eex e-= = B)(a2 SeUBseu senx.cOSB = COSC.2J = =cOS( +coS(-B (2-BL+B) B)COSB (xsenz.COSBcosa. sensen ++== 22COS (22)(x)cos(22) 1 (a).cOS(d)sen 2 sen-= =va=la e· =arg(**) arcan(*)(a arctanla)-5b) arg(c 5d)arg + +· = - =~ -E)sin(x) cos(x⑳ =I)sin(x coS(x)+ =sin(x-1) =-cOS(x)COS(x sin(x)+I) = - H)-COS(x) COS(x ++= un 0.periodol'integrale di coseno lungo eun· J.../2(1+é-*) -haiQuando raccogliendoriscrivito· e i2-5242)2T- Ce eft cos(ift)e ·2e+ = J.../252π- Ihai (1-eQuando raccogliendoriscrivilo· e i-52Hf[12/y2f52 52 f ft12) 5 t- sin(ift)·252 -- e= deve fare[12 inizialefunzionedeve fare laft52H(e- (ft)dt .sinc· =12- 52π 1e8 =Icos(x) l'integrale prescindereperiododel =incogeno0 0un aé· -= dalla fase+40)(2fotle I· = Dlognab a n· -= = 10"di 10-3misura: HEUnità 1 kHz 1mHE Hz· == 6 10-8HzHzIMHE 10 1 MHz= =109 12GHA HE1 1 Hz-pHz 10==23/E)-k 1,38.10· =3.108c· =

Funzioni dispari pari

Funzioni dispari pari Ef(x)IPARise dif f(x) f(x) èx)f( parte sxa. -= dXalla parte a->I X35g(x)dxpari:If(x)dx (Cosendèse = af(x) simmetria rispetto all'origineDiSPARI f(Sef(x) x)f· - S-= II X9 (senddispari: f(x)dx 0ése =a-

Simmetria hermitiana

Simmetria hermitiana Hermitianagode simmetriadella se:fS PAR(f(x)) (f( x)) ->-= f4) x)f(x) -=arg(arg[f(x)) Disparix)}f( ---=

Funzioni ausiliarie

Funzioni ausiliarie recta1) FUNGONERECTE IXA se - Arect(x) = ·. -1,x I↳se x I=- = 7S I IXaltrove0 DiFONTE DiFONTESAUTAper trovare il dellacentro DSCESAosuoilfunzione argomentodevo porrerect =Esempi Ha ampietta 1 Ie !SU.rect !Trect() (t/to) SU lunghetta1. recttov.y = == = myDI E IetSAUTA: IFONTE -x =--= - = VFONTE Di *DiSCESA: I E2 tx = = ++ =++ ! I-EI V stc ↑⑳Se - Iy = StI- V -Itse =I 22altrove0 myv.rect(E z)2. y -= x)=v.rect) + to12+ t EV- - 0 =- n=I TO dE I- CENTOII 19 DenAtto +O FUNZONE+ E-SaliTa:diFronte =01 +-=+O+- toIFronte discesa:di 1st=to+=+ONOTE: (E)!x(t) v(t) Avitiperiodico rectcome singolosequale ha segualeche e =A..sinc(1.5)(n 1.= (E):!Trasformate VCt) Adi Fourier rectdi =512+ ft (ft)A.(A sinc(ft)(E). A.V(f) Sin I.rect dte === If[12-

Funzione cardinale seno

Funzione cardinale seno (SincSENO2) sen(ix)sinc(x) = ↑X

Segnali

Segnale: [V]V(t)SEGNALE: -> astatTactidtHiM seMERO: ilVALORE sVItc=VCt segnale:= periodicoè periodo segnalesingolodelUCHIdt(vs)ENERGIA:E= TO/2T12 E, 12NCHl' IVC+)seMEDA: Pil disegnale:P=POTENtA AtGM =cIUCt)l* periodicoè -TO/2= FinitApontNiitEc + FINITA: aSegnala ENERGIA FINITA:Segnali POTENZAdurate illimitatatemporale limitata con·con durata·limitata periodicipraticamentedurata segnalicon·Eserciti:Calcolare valore medio, energia, potentareCT(yto)v(+) V.= myVMitte I ViI = StI To- vaiat-enaeustlat=Hi,medio:valore sottesaarea· -Ctr=Him I.v. e·PotenzaP 0=Energia· vat*SIVCH1 finiteE vdt= adTosequale energia==

Segnali periodici a potenza finita

Segnali periodici SFNITASEGNALI POTENZAA· E- 0+ARUONICOTRONCAMENTO Rappresentare sequali reali finitearmonichecome-perFASORE asegnaliperiodici tIRv(t)finitapotenta IObiettivo edel armonicotroncamento* frequentedelledominiolega segnaleil al risalire haal coeff. minorsisi laOKperinformazionedi vitperduto sequalesulTraD. periodicoE le fase40 per tog(tv(t) periodomTo) To= -1. 40)-(2πfot + fo =A.[COS(25fot 40)] SJSen(2T40) Afot 0SeD >+ ++= arg(A)J.arg[UCtly-(arg[14 40) =2fot ++ A=1A).e Se OI=e (IVCt) /Al)1 =(2fot 40):+v(t)se A. e= diSpettro Spettroampietta di fase A2IfotE 040 >+arg[Vizly(AlI(t)) = = AcOfot 40 T2π + +FrasiAmpiettaaI NIAl. arg(A) 4+·Ifo FoAfes(2fotE 40)>(fot + 4d)dt·cVCtc ( cen(+40)atA.e= += ++ "cos(x) 8- percheiAldt =DE 0· += =-A.e2fot+ redt40/2dt =T·P = = =

Serie di Fourier

Serie di Fourier !CONTROLAFOURIER 28n!VEDIES. DAVVEROSIA31 CHEnAURIMENTI 2 essereil v(t) (25f0t 40)Se unNOTA: coseno:sequale COS puòé +=serie diFourierlascrito con TO12 -52infotdt,+ 52ingot I v(+)1 (ntC2V(t) e2Cre n (n== = I TO/2n o0- del singoloperiodo= sequaleV ((n)fasoridiinfinita di ampiezzaSomma. v(t)<= (n>· Jarg[(n7 .eI1(n) Vn.coS(2ft+)·(n X(t) -Cnes:e= ==7.sinc(*.5)e (nuna·se rect:g(t) = fasediSpettrodi pianoampiezzaSpettro spettrallDiSCRETO923ICn)Aficacel. 2)--arg - arg((n)...- arghoy.·... ...⑧ e scafaug·1 πProprietà: - ---Fourier unicadiseriela è6)6) <u(t)CO <=Se6) VCt tRR: c*Cne(n Hermitiana:simmetriaC-n vale1) la-n== -AMPIEZASPETTO i Di FASESpero,↓in simmetria disparti: originerifattosimmetria spettopari: asse y~Icn arg[CnyIäs-ars!I.· IC-11.Ico./C). arg((34..arghCob ...."zgo-fo . I2901fo arg((-3}o arg((2}arg[.12 arg((n(2n) n) arg[C-n}- =-=2) disviluppo serie coseni:soliin FourierPosso rappresentare v(+) income/cn/cos(2Infot+arg[(n4) Coeff.delcos((n) Anvit) co 2 => =+= =2la essere3) fase v(t)opuò >0se-↳↓ v(t)se OIarg[(n)

Banda e spettro

Banda di spettro ampiezza fmin fmAxf2UNICnla +=SE EG.SEGNALEA 2NENGIA fMx-fminBE =INA Bbanda relativa:b:I3t fCI ufofo f2fo ↓ Se fmin bfmAx B 2fmaxI fMAX fc2·fc ==-min - =SEGNALE PASSABASSOI I IBANDA SEONALEDEL ·HBxfc(B) bx1-SEGNALE PASSABAND ADI PARSEVALTEOREMA Cn2P crev(z) D;-> =Importanto:4) del segnale risalireDallo spettro posso and sua potente delledistribuiscecapiredipermette sull'assecome2) si frequentepotentalaP.Vedi 24↑

Relazione tra segnali periodici a potenza finita e segnali a energia finita

Relazione PERIODICERELAZIONE FINITA FINITAPOTENZA ENERGIASEGNALATRA A dile laFourieresviluppocoefficientiquindi seriedello diin trasformataintra idiFourier un segnale) di del singolo impulsov(t) Fouriertrasformataperiodoperiodico di tosequale- 3VCE)EV(t) x9(t-mTo) puòessere diespresso come somma o= )segudia finitaenergeam - juct).e***+ 52Infot= 1.652v(t) dove at(n e= =n To-= segnalesingoiod Estremi delF.6(f)(n = (E)x(t)x(t) AilSe unaimpulso rectrect:singolo è =diFourier :trasformatala Aft).512+ J2πFt-/A (E)X(f) A.I.sinc(ft)a =rect te= =[12- sinc(f)↳P =O

Trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier FINITASEGNALI ENERGIAA· FOURIERDITRASFORMATA + J2Nftf(u(t)] (VCt).e- V(f)V(f) Kf frequenza,dt ->== =arg[VCflyN(file (25 f t5 +vct) KB: ·V(t)N. Af -=Antitrasformata di Fourier: Fourier:serie diconconfronto+N 52πft*(V(f)3 Vite7 - af disommaviticome-E fosse unase o= ampietta VCf).difasori Of-PIANO continuo HermitianaSPETRALE:Spettro sevit) tIR-Simm.- 2↳ COSC2Tift+arg[Vfl}v(t) N(f)). df=arg[Vfa((f)) a 1To.6(nTo)CD- =-m ~S II I-I -proprietà:PuctdteVC0)a) don sequalesottesaarea= unicaRappresentazione6) continuo·I spettro tIR:Se UCt)6) I)v( f) (f)*v Hermitiana:(- simmetriaf)vv(f) vale lae -- = =E IVC -f(1VCf) PARISimmETriA=arg[V(f)) arg{ V>-fl? RSPARiSiMMETRA-- reali:In sequaliperiodici2) analogia con iIV f1) arg[V(f3)cos(aft+viz) 2 de=DI RAYLEIGHTEOREMAVC df Ricorda bilaterolodi spettroE controllare se è= ( motiplicafc1fx)) banda2per lae

Segnali a potenza finita aperiodici

Segnali a potenza finita APERIODIC· limitato temponelnonFUNZIONEDI AUTOCORRELAZIONE res.Rr(t) vect-dt;v4(t-z)c VittcV(t). Him= =↳m isura versionesomiglianza vite ritardateilla tra sequale una suaProprietà:6) Rr(t) eRR6) PRu(0) =6) Ru(I) RrCO)=DENSITA SPETTRALEDI POTENZAf{Rv(I)} bilatero,Wr(f) quando calcolo:Se spettro elo= IWu(f)Pdel come dfla potenta segnate =moltiplicarla 2devo per FaProprietà:Wu(f) Wr(f)>,eR 06) e Wr(f)Dato v(t) univoco viceversaseguale posso ottenere nonmaunun. WC) "Skulfafo Pat; Paf antolosu spettro:= =Se Wu(f) pariERRUCE) è6) -M[0] sy(t)x(t) a iNVAriANTiUNEARIESISTEMI TEMPOSI