Lezioni, Analisi matematica 1

I numeri reali

Si parla di proposizioni (a cui si possa attribuire il termine vero o falso). Si uniscono tra loro con i connettivi e predicati:

Connettivi

• E
• O
• Non

A _e B

a ^ b

Vero A e vero B.

Vero se è Vero A e è vero B.

A V B

Vero se è vero almeno uno tra A e B

Non a è vero se e solo se a è falso

Proprietà

~(A ^ B) ⇔ (~A) V (~B) {leggi di De Morgan}

~(A V B) ⇔ (~A) ^ (~B)

A ⇒ B (solo A e vero B) ➡ Tab di verità implica (~A) V B

Tabelle di verità

A V, V, F, F

B V, F, V, F

A ^ B V, F, F, F

A V B V, V, V, F

A, V, F, F, F

A⇒B A, V, F, V, V

(~A) V B

A ⇔ B ➡ Doppia implicazione (Equivalenza)

O tutte e due V o tutte e due F

A⇔B, V, F, F, V

Sia A quindi B e

Sia B quindi A.

A ⇐ B

Se A allora B

A condizione necessaria affinché B

B⇐A B condiz. sufficiente ➡ sufficienti Δ

I numeri reali

Si parla di proposizioni (a cui si possa attribuire il termine vero o falso). Si uniscono tra loro coi connettivi & predicati:

Connettivi

• ∙ ∧ A∧B Vero A e Vero B
• ∙ ∨ Vero se è vera A o è vera B
• ∙ NONA∨B Vero se A è vera almeno una tra A e B

NON ∙ A è vera se e solo se A è falsa

Proprietà

~(A∧B) ⇔ (~A)∨(~B) {leggi di De Morgan}

~(A∨B) ⇔ (~A)∧(~B)

A⇒B (solo A è vero B) ⇒ implico

Tabella di verità

Tabelle di verità:

A V F F

B F V F

A∧B F F F

A∨B V V F

A V V F F

B V F F

A∧B F F F

A∨B V V V

A⇔B ⇔ Doppia implicazione (equivale)

O tutte e due vere o tutte e due false: V F F V

Se A allora B

A condizione necessaria affinché B

B⇒A B condiz. sufficiente ⇔ sufficiente Δ

A ⊆ B A ⊇ B condizione necessaria e sufficiente affinché A ⊆ B

Predicati e proposizioni

Predicate e proposizioni che contengano una variabile (che varia in un insieme universale)

es. ℝ ℕ Z Q P(x) = x è un numero

1. Trasformazione di un predicato in una proposizione
   • Sostituzione al posto di x un elemento di un dato insieme universale considerato
2. Applicazione di un quantificatore
   • Quantificatore universale ∀ (per ogni)
   • Esistenziale ∃ (esiste)

(a ^b) ≡ (~va vb) ≡ (wn va)

~(∀x px) ≡ ∃x ~px

~(∃x px) ≡ ∀x ~px

Insiemi

Collezione di oggetti - composti mediante vari lettere minuscole

A = {0, b, c}

Dati due insiemi A e B, A è sottoinsieme di B: A ⊆ B (tutti gli elementi di A sono elementi di B)

Appartenenza (simbolo di appartenenza)

∀x x ∈ B ⊃ x ∈ B (se ogni elemento x appartenente ad un nuovo A implica che x appartiene nell'insieme B)

Si fissa un insieme numerico: numeri interi - È gruppo di quei elementi che rispettano le regole risultate CABATOSSA (?)

A: X = X, P(x) X = {0,1,2,3,4,}

Valore positivo e numero pari: P: x ∈ ℕ, 2X: ∃ x ∈ ℕ, x = 24

(∃ x ∈ ℕ, x > 24) ∞

Operazioni tra insiemi

Gli elementi comuni

A ∩ B (intersezione) ∀ x ∈ X, x ∈ A e x ∈ B

A ∪ B (unione) ∃ x : x ∈ A ∨ x ∈ B (v)

A_i = {A_i: x ∈ ogni A_i :}

∅ ∈ IU A_i: x ∈ almeno un insieme A_i

x = ∃ i_j ∈ I x ∈ Ea_i

Le operazioni tra insiemi

A meno B: Opera l’insieme tale di sottrazione

A \ B = {x ∈ A :x ∉ A}

∅ = non appartiene; ∃ non esiste

Complemento Ea^c = A_i : A\A_i = {x ∈ A.x ∉ E_a}

x ∈ X (insieme universo)

x ∈ N={0,1,2,3}

A: Pari ∪ Dispari=N

∅ (unione)

• Insieme vuoto → ∅

Partizione di insiemi

Partizione di x, 2 insieme a 3 insieme di x

A ∉ x; B ∉ x

[A ∪ B=x]

A ∩ ∅ = B ∩ ∅

A.e.B due primi 2 insiemi disgiunti questo senso elevati in comune.

Esempi

• (A ∪ B) ∩ A = A ∩ A = A
• A ∩ B ∪ B ∩ A = A ∩ B = A
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

(Proprietà associativa)

x={7 x ∈ y ∉ xse e solo = 0

∅ = e anche

Proprietà distributive

• (A ∩ B) ∩ (A ∩ B) ∩ (A ∩ B ∩ C)
• Per sollevare +A ∩ (B