Lezioni, Analisi Matematica 1

Matematica teoria esame

Funzione

Funzione = ∀a∈A∃!b∈B: f(a)=b

f(g) iniettiva se f(a) = f(b) → a = b

f(g) suriettiva se ∀b∈B ∃ a∈A: f(a)=b

Codominio insieme dei valor assumi da dominio

Codominio di f = { f(a)∈B: ∃ a∈A b = f(a) }

Funzione inversa. Solo se f(x) e iniettiva o suriettiva

x = f^-1(y)

f. periodica

Periodo T = [F(x+T)] = F(x)

Formula calcolo del periodo

sin [ωx]= sin[ω(x+T)]

ωT = 2kπ

f. pari (F(-x) = F(-x)) es y=x²; y=|x|

f. dispari f(x) = -(F(-x)) es y = x³

Funzioni elementari

• Y = xⁿ
• Y = a^x
• Y = log_a(x)
• Y = sin x
• Y = cos x
• Y = tan x

Funzioni composte

Z = G[f(x)]

Es. y = sin³x

Matematica teoria

Funzione

∀a∈A ∃!b∈B: f(a)=b

f(x) iniettiva se f(a) = f(a) ⟹ a = a

f(x) suriettiva se ∀ y∈B ∃ a∈A: f(a)=b

Codominio insieme dei valori assunti dal dominio

Codominio di f = {f(a)∈B: ∃ a∈A | b = f(a)}

Funzione inversa solo se f(x) è iniettiva o suriettiva

x = f^-1(y)

f. periodica

Periodo T = [F(x+T)] = [F(x)]

Formula calcolo del periodo

sin[ωx] = sin[ω(x+T)]

ωT = 2kπ

f. pari [F(-x)] = [F(x)] es y=x²; y=|x|

f. dispari [F(-x)] = -(F(x)) es y=x³

Funzioni elementari

• Y = xⁿ
• Y = A^x
• Y = log_a(x)
• Y = sin x
• Y = cos x
• Y = tan x

Funzioni composte

Z = G[F[X]]

Es. y = sin²x

Limiti

lim F(x) = B
x→A

Per ogni ε>0 esiste δ>0 tale che se 0<|x-A|≤ δ allora |f(x)-B|≤ ε

Importante

B-ε ≤ f(x) < B+ε

A-δ ≤ x < A ≤ x

Il limite se esiste è unico

Hp: il limite esiste th: è unico

Dimostrazione per assurdo

lim F(x) = B
x→A

lim F(x) = C
x→A

(B-ε ; B+ε) ∩ (C+ε ; C-ε)=∅

f(x) non è una funzione se vengono imposti entrambi i limiti al contempo, essendo f(x) una funzione la condizione non può persistere

Teorema del confronto

Teorema del confronto

Hp: 1) x₀ ε |- ; f(x) ≤ g(x) ≤ G(x)→ε...

f(x) = h(x) ≤ G(x) per x ≠ x₀

th: lim h(x) ε... x→x₀

se l(h(x) ≤ G(x) = G(x) →0, allora f(x) →0...

f(x) ≤ G(x) e come dire g(x)+e(x) ≤ G(x) applico il teorema, con f(x)=e(x) e e→0

Dimostrazione grafica

Hp: lim F(x) = B th: lim [F(x)+G(x)] = B+C
x→A x→A

lim G(x) = C
x→A

Limiti notevoli

Limiti notevoli

lim sin x/x
x→0

lim 1-cos x/x² 1/2
x→0

lim (1+x)^1/x = e
x→0

lim (ln(x+1)/x
x→0 1

lim e^x - 1/x
x→0 1

lim (1+x)^q/x_{1 = α}

Dimostrazioni:

lim (1+x)^1/x x→0 (e) ° e...questa è la definizione del numero e e ≈ 2,782

lim (ln(x+1)/x
x→0 0
x→0 1

Il limite si può vedere anche come = ln(x+1)/x ossia:...

ln(x+1)^1/x→pen proprietà dei logaritmi

lim ln(x+1)^1/x = e

lim_x→0 sinx/x = 1

sinx < x < tanx

sinx < x ✓ perché sinx è la proiezione dell' arco sull' asse x

x < tanx ✓ perché se calcola l'area dello spicchio x, mentre quella del triangolo b tanx è maggiore

x è l' arco

^1/sinx x x ^{sinx tanx}

^1/sinx sinx cosx sinx

1 < ^x < ^sinx 1sinx cosx sinx

Applico il limite x→0 sugli estremi della disuguaglianza, entrambi i membri tendono a 1, e per il teorema del confronto anche x → 1

lim_x→0 ^{1-cos x} = 1/2

Prendo l'argomento del limite

^1-cosx = ^1+cosx = ^{1-cos2x = sin2 x 1+cosx} x(1+cosx)^sin2x = quando x→0, allora 1x 1+cosx 1+cosx

lim_x→0 e^x-1/x = 0

Cambio di variabile, e^x-1=t e x=ln(1+t) lim_t→0 ^t/^ln(1+t) = 1 perché è lo stesso limite notevole ^{ln (1+t)}/_x

lim_x→0 (1+x)^α-1/x=α

Esempio α=1

lim_x→0 ^(1+x)1-1 = ^1+x -¹ = ¹ - ^x = ^x1

Tendendo tutto a α, α=1→ continuità delle funzioni

Continuità delle funzioni

F(x) è continua in A se lim_x→a f(x) = F(A)

Teorema di Weierstrass

Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, presenta un massimo e un minimo.

C'è massimo dell'intervallo se f(c)≥f(x) v x dell'i