L'equazione di Korteweg - de Vries: cenni storici

L’EQUAZIONE DI KORTEWEG-DE VRIES

CENNI STORICI

di Ivana Luca

Molte pubblicazioni scientifiche di ricerca e di rassegna sull’equazione di

Korteweg-De Vries iniziano la loro trattazione citando la “Relazione sulle Onde”

del 1844 di J. Scott-Russell, dove viene descritto il suo famoso “inseguimento” a

cavallo, per osservare l’evoluzione di un’onda in un canale.

Riportiamo qui le accese parole di Scott-Russell:

Stavo osservando il moto di una barca trainata da una coppia di cavalli lungo

“

uno stretto canale, quando improvvisamente la barca si fermò, ma la massa

d’acqua che essa aveva messo in moto continuò a muoversi, accumulandosi

intorno alla prua del vascello, in modo turbolento.

Improvvisamente, dalla prua, si generò una massa d’acqua che cominciò a

muoversi in avanti con gran velocità, assumendo la forma di una larga onda

solitaria, lunga circa trenta piedi e alta circa un piede e mezzo.

Quest’onda d’acqua dalla superficie arrotondata, liscia e ben definita continuò

il suo percorso lungo il canale, apparentemente senza mutare forma o velocità.

Io seguivo l’onda a cavallo, la raggiunsi e sorpassai, nonostante la sua velocità

di circa otto o nove miglia orarie. La sua altezza gradualmente andava

diminuendo e, dopo un inseguimento di circa uno o due miglia, la persi nei

1

meandri del canale. Questa, nel mese d’Agosto del 1834, fu il mio primo

incontro con quel singolare e bellissimo fenomeno…”

In una pubblicazione di Korteweg-De Vries del 1895 fu proposto un modello

matematico dell’equazione, con l’intento di fornire, fra le altre cose, una

spiegazione del fenomeno osservato da Scott-Russell.

La forma originale dell’equazione era la seguente

η 

 η

∂ 2

∂ ∂

g

3 1 2 1 

 η αη σ

= 2 + +

(1.1) 



∂ ∂ 2

∂

t l x

2 x

2 3 3 



x è la variabile usata per individuare un punto lungo il canale, supposto

dove ( )

η

t x t

unidimensionale, è il tempo, è l’altezza della superficie dell’acqua

, α

g

l , la costante gravitazionale, una costante

rispetto allo stato di equilibrio σ

legata al moto uniforme del liquido e una costante definita dalla legge

Tl

1

σ 3

= −

l ρ

g

3 ρ

T la tensione di capillarità della superficie e la densità dell’acqua.

essendo

L’equazione (1.1) è ora conosciuta come l’equazione di Korteweg-De Vries, o

s