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Elementi di Fisica e applicazioni Carlo Elce

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I gas

L'equazione di Van der Waals

I gas ad alte temperature possono deviare sostanzialmente dal comportamento ideale. In queste condizioni l'equazione dei gas ideali non è appropriata. Per questi casi è stata sviluppata un'altra equazione dallo scienziato tedesco D. van der Waals (1837–1923).

L'equazione di Van der Waals predice il comportamento dei gas reali corretto da due effetti: il volume limitato delle molecole di gas e le forze di attrazione tra le molecole di gas. Le costanti di Van der Waals a e b sono diverse per ogni gas.

T

Temperatura del gas:

V

Volume del gas: n

Numero di molecole del gas:

a b

Costanti di Van der Waals: joule

.

R 8.314

Costante universale dei gas:.

mole K

Pressione del gas:

2

. . .

n R T n a

P = n R T / (V − n b) − n2 a / V2

V n b V

Il tetracloruro di carbonio (CCl4) è un gas che ha molte costanti di Van der Waals in confronto ai gas più comuni.

2

.

liter atm liter

. .

a 20.4 b 0.1383

2 mole

mole . .

n 2 mole T 800 K

Se n moli del gas sono mantenute a temperatura T

La pressione Pvdw calcolata con l'equazione di Van der Waals devierà significativamente dalla pressione Pideal calcolata con la legge dei gas ideali visto che il volume V del gas è diminuito.

. . .

V 1 liter

, 1.2 liter

.. 5 liter www.matematicamente.it

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Sintesi

Legge dei gas perfetti

Viene fornita la legge dei gas perfetti, con una breve introduzione del concetto di gas e le relazioni che intercorrono tra le variabili di stato di pressione, volume e temperatura. Vengono poi forniti tre esempi di applicazione della stessa che trattano trasformazioni termodinamiche, utili a mostrare come variano le grandezze presenti e per verificare come la legge possa avere applicazioni non solo da un punto di vista fisico, ma anche chimico (calcolo delle masse e delle moli dei reagenti e composti in una reazione).

Confronto tra equazione dei gas perfetti ed equazione di Van der Waals

Secondo l'equazione dei gas perfetti vale:

[math] pV = nRT [/math]

Dove

[math]p, V, n, T [/math]
sono rispettivamente la pressione, il volume, il numero di moli e la temperatura del gas.

Tuttavia è bene ricordare che questa è solo un'approssimazione di una relazione ben più complicata, descritta invece dall'equazione di Van der Waals.

Secondo l'equazione di Van der Waals vale infatti:

[math]p = \frac{nRT}{V-nb}-\frac{n^2a}{V^2}[/math]

Dove

[math]a, b[/math]
sono delle costanti che dipendono dal gas e che quindi non sono note a priori.

Ad esempio, per il tetracloruro di carbonio (CCl4) vale

[math] a = 20.4, b = 0.1383 [/math]
.

In ogni caso, per

[math] T [/math]
molto grande, l'approssimazione
[math] pV = nRT \to p = \frac{nRT}{V} [/math]
resta comunque un'ottima approssimazione.

Applicazione della legge e confronto dell'errore

Studiamo la pressione esercitata da

[math] 1 mol [/math]
di tetracloruro di carbonio in un recipiente dal volume di
[math] 1m^3 [/math]
tenuto alla temperatura di
[math] 1000 K [/math]
valutando tale pressione sia con l'equazione di Van der Waals che con l'equazione di stato dei gas perfetti.

Primo approccio: equazione di stato dei gas perfetti

Dall'equazione:

[math] pV = nRT [/math]

Si può ricavare:

[math] p = \frac{nRT}{V} = \frac{1 mol \cdot 8.31 \frac{J}{mol K} \cdot 1000 K }{1 m^3} = 8310 Pa [/math]

Secondo approccio: equazione di Van der Waals

Applichiamo l'equazione di Van der Waals con

[math] a = 20.4, b = 0.1383 [/math]
.

Sostituendo i valori si ottiene:

[math] p = \frac{1 mol \cdot 8.31 \frac{J}{mol K} \cdot 1000 K}{1 m^3 - 1 mol \cdot 0.1383} - \frac{(1 mol)^2 \cdot 20.4}{(1 m^3)^2} \approx 9623 Pa [/math]

La differenza è notevole! In effetti l'equazione di stato dei gas perfetti è solo un'approssimazione!

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