L'equazione cubica

M-6

L’EQUAZIONE CUBICA

[ EDR – Marzo ‘01]

Quando che ‘l cubo con le cose appresso

se agguaglia a qualche numero discreto

trovan dui altri differenti in esso.

Dapoi terrai questo per consueto

che ‘l lor produtto sempre sia eguale

al terzo cubo delle cose neto;

el residuo poi suo generale

delli lor lati cubi ben sottratti

varrà la tua cosa principale…

Questi trovai et non con passi tardi

nel mille cinquecente, quatro e trenta

con fondamenti ben sald’ e gagliardi

nella città dal mar’ intorno centa.

………

[ ]

Nicolò Fontana, detto Tartaglia (1499-1557)

In copertina: Grafico di una funzione polinomiale di terzo grado. 2

L’equazione quadratica

Un’equazione quadratica si presenta (o può essere ridotta) nella forma:

2

a x + b x + c = 0

a > 0

con .

La procedura risolutiva dell’equazione quadratica si trova, per la prima volta nella

storia della matematica, nel trattato del matematico persiano Muhammad Ibn

Musa Al Qhwarizmi (IX sec.d.C.) dal titolo (tradotto) “Libro sul trasporto

cambiato di segno”. Il titolo si riferiva alla possibilità di trasportare un addendo in

una eguaglianza (identità o equazione) all’altro membro semplicemente

cambiandogli il segno, e la cosa dovette stupire sommamente se alla nuova

disciplina fu dato il nome di Algebra proprio dal termine arabo al jabar che

significa appunto trasporto; dal nome dell’autore deriva invece il termine

Algoritmo.

La procedura è oggi nota a tutti: 2

4 a x + 4 a b x + 4 a c = 0

4a :

- Si moltiplicano ambo i membri per 2

4 a x + 4 a b x = – 4 a c

4ac

- Si trasporta al secondo membro : 2 2 2

4 a x + 4 a b x + b = b – 4 a c

2

b

- Si somma ad ambo i membri : 2 2

(2 a x + b) = b – 4 a c

- Si scompone il primo membro: 2

2 a x + b = b – 4 a c

- Si estrae la radice di ambo i membri:

b 2

2 a x = –b b – 4 a c

- Si trasporta al secondo membro : 2

–b b – 4 a c

x =

2a :

- Si dividono ambo i membri per 2 a

La formula fornisce direttamente le due soluzioni, o radici, dell’equazione ed ha

validità generale. Al termine sotto il segno di radice si dà il nome di discriminante

∆ 2

= b – 4ac

e fornisce utili indicazioni sul valore delle radici stesse: .

∆ > ∆ =

0 0

le due radici sono reali e distinte; se le due radici sono reali e

Se ∆ > 0

coincidenti; se le due radici sono complesse coniugate.

Con la regola dei segni di Cartesio possiamo anche fare previsioni sul segno delle

a b c

radici; basta considerare nell’ordine i segni dei tre coefficienti , e : se

passando da un coefficiente al successivo il segno si conserva, si dice esservi una

permanenza, altrimenti una variazione. La regola dei segni quindi dice che in

corrispondenza di ogni permanenza c’è una radice negativa, viceversa per ogni

variazione una radice positiva. La regola dei segni ha validità generale, si applica

cioè ad equazioni di qualsiasi grado.

3 E’ noto anche il significato geometrico dell’equazione:

2

f(x) = a x + b x + c x-f

La funzione rappresenta nel piano una parabola con

a > 0

l’asse verticale e la concavità rivolta verso l’alto ( ); le soluzioni sono

x .

rappresentate dalle intersezioni della parabola con l’asse

La parabola ha il punto di minimo, cioè il vertice, dove si annulla la derivata

f(x)

prima della : f’(x) = 2 a x + b = 0 x = – b / 2a

cioè m

in quel punto la distanza

dall’asse x corrisponde

f(x) al valore della funzione

f(x) in quel punto:

2

f(x) = x – 5 x + 4 h = f(– b/2a) =

2 b

b

= a – b + c =

2 2a

4a 2

2 4ac

2b

b – + =

= 4a

4a

4a 2

– (b – 4ac)

= 4a

Quindi:

∆ ∆ ∆

h = – 4a

x m x Essendo a > 0 la para-

bola intercetta l’asse x

h solo se h < 0 solo cioè

∆

se > 0. Nella figura è

riportata una tipica

funzione quadratica che giustifica le considerazioni sopra fatte. 4

L’equazione cubica

Il brillante risultato raggiunto nella risoluzione dell’equazione quadratica ha

spinto i matematici alla ricerca di una formula per la risoluzione dell’equazione

cubica.

Il primo matematico che risolse l’equazione cubica fu Scipione del Ferro (1456 –

1526), probabilmente con la collaborazione di Luca Pacioli, ma non pubblicò la

sua scoperta forse per avvalersene in pubbliche disfide in voga all’epoca. Solo in

punto di morte rivelò la scoperta ad un suo allievo, tale Antonio Maria Fior; questi

sentendosi forte di tale conoscenza lanciò una pubblica sfida ad uno studioso

bresciano, Niccolò Fontana (1499 – 1557), detto Tartaglia per una balbuzie

conseguenza di ferite riportate da bambino durante il sacco di Brescia; Fior

propose 30 equazioni che Tartaglia risolse brillantemente mettendo a punto un

metodo di risoluzione che però non rivelò.

Un altro studioso dell’epoca, Gerolamo Cardano (1501 – 1576), si fece rivelare

da Tartaglia il metodo con la promessa di mantenerne il segreto. In effetti sia Del

Ferro che Tartaglia avevano scoperto la risoluzione dell’equazione cubica nel caso

particolare in cui mancava il termine quadratico. Cardano la estese al caso

generale, ma basandosi sul caso particolare di Del Ferro / Tartaglia, non lo poteva

pubblicare. Finché nel 1543 esaminando i manoscritti lasciati da Del Ferro fu

trovata la stessa risoluzione; Cardano si sentì sollevato dalla promessa fatta a

Tartaglia e nel 1545 pubblicò il suo capolavoro matematico, l’ “Ars Magna”, nel

quale all’undicesimo capitolo riportava la soluzione generale dell’equazione

cubica.

Ma veniamo alla nostra equazione.

Un’equazione cubica a coefficienti reali si presenta (o può essere ridotta) nella

forma: 3 2

a x + b x + c x + d = 0

La prima cosa da fare è “deprimerla” del suo termine quadratico; per far ciò si

opera un cambio di variabile: b

x y – 3a

con il quale l’equazione diventa: 2

b – 3ac

2

c b

p = – = – 2

9a

2

3a 9a

3

y + 3 p y – 2 q = 0 con d

3

bc b

q = – – 2a

2 3

6a 27a

(Vedasi appendice a).

Per risolvere questa seguiremo il metodo classico di Cardano-Tartaglia, trovando

z t

due numeri, e , che soddisfino il sistema di equazioni:

5 z t = p

3 3

z – t = 2 q

In tal modo confrontando la nostra equazione depressa con l’identità:

3 3 3

(z – t) + 3 z t (z – t) – (z – t ) = 0

y = (z – t).

ne deriva che Il sistema quindi può essere risolto per sostituzione

t z

in funzione di e sostituendolo nella seconda:

ricavando dalla prima equazione 3

p p

3 6 3 3

t = z – = 2 q z – 2 q z – p = 0

quindi: da cui:

z z

Quest’ultima infine può essere ricondotta ad una equazione quadratica con il

2 3

u – 2 q u – p = 0

3

z u

cambio di variabile: che la riduce a:

Questa può essere risolta con la formula per le equazioni quadratiche che fornisce

le due soluzioni: 2 3 2 3

u = q + q + p u = q – q + p

e

1 2

dalla prima si ricava:

3

3 2 3

z = u = q + q + p 13 13 2 3

t = z – 2 q = – q + q + p

da cui:

1 1 3 2 3

t = – q + q + p

Quindi: 1 3 3

y = z – t = –

2 3 2 3

q + q + p – q + q + p

ed infine: 1 1 1

Analogamente per la seconda soluzione:

3 3

y = z – t = –

2 3 2 3

q – q + p – q – q + p

2 2 2

Le due insieme possono costituire la formula per la risoluzione dell’equazione

depressa: 3 3 2 3

– q q + p

y = –

2 3

q q + p – “.

Con la limitazione di usare o solo i segni “+” o solo i segni “ 6

Si osservi anzitutto che trattasi di una sola soluzione, non due, essendo le due

–

espressioni, quella con i segni “+” e quella con i segni “ “, equivalenti.

Né tragga in inganno la relativa semplicità della formula; anzitutto trattasi di

eseguire alcune estrazioni di radice cubica, oggi relativamente semplice con

l’ausilio di sistemi automatici di calcolo, ma un tempo di una certa complessità

(vedasi appendice 1). 2 3

∆

Altri problemi sorgono quando il cosiddetto discriminante = q + p è minore

di 0; in questi casi infatti trattasi addirittura di estrarre radici cubiche di numeri

complessi.

Ed infine per il teorema fondamentale dell’algebra ci aspettiamo tre soluzioni

contro la sola così trovata. In effetti però ogni numero reale ha tre radici cubiche;

. j2kπ

a a e

infatti ogni reale può scriversi nella forma ; farne la radice cubica

1/3

3 a

gli esponenti, ottenendo quindi un valore reale e due

significa dividere per 1/3 j2π/3 1/3 j4π/3

a e a e

valori complessi (coniugati): e .

Per trovare una formula per tutte le radici dobbiamo tornare alla equazione

depressa e prendere la soluzione appena trovata (ad es. quella con i segni “+”) che

s

indichiamo semplicemente con :

3 3

s = – 2 3

– q + q + p

2 3

q + q + p

3 3 2 3

= q – q + p

2 3

q + q + p +

si può verificare che valgono (vedasi appendice b):

3

3 2 2

2 2 3

s = q – q + p

2 3

q + q + p – 2 p

+

3

s = – 3 p s + 2 q

Il passo successivo quindi è quello di dividere il polinomio a primo membro

(y – s)

dell’equazione depressa per per abbassarlo di grado ed ottenere una

equazione di secondo grado. Per semplificare si preferisce piuttosto partire dalla

identità: 3 3 2 2

y – s = (y – s) ( y + sy + s )

3 p (y – s)

alla quale sommiamo ad ambo i membri la quantità :

3 3 2 2

y – s + 3 p (y – s) = (y – s) ( y + sy + s + 3 p)

3 3 2 2

y + 3 p y – (s + 3 p s) = (y – s) [ y + sy + (s + 3 p)]

3 2 2

y + 3 p y – 2 q = (y – s) [ y + sy + (s + 3 p)]

7 Al primo membro riconosciamo il nostro polinomio; quindi al secondo membro

(y – s)

nella parentesi quadra c’è il quoziente della sua divisione per . Ne

deduciamo che l’equazione depressa è diventata:

2 2

y + sy + (s + 3 p) = 0

che può essere risolta come una comune quadratica per fornire le radici:

2 2 2

y = ½ – s s – 4 (s + 3 p) = – ½ s ½ – 3 s – 12 p

2

= – ½ s ½ –3 s + 4 p

Non è elegante questa espressione delle due radici che le mette in relazione con la

s

prima ( ). Per ricavare le espressioni delle tre radici indipendenti l’una dalle altre

ed in modo molto sintetico, poniamo:

3 3

e 2 3

q – q + p

A= B=

2 3

q + q + p

y = s = A + B

La prima radice diventa quindi:

2

s

Sviluppando si può mostrare (vedasi appendice c) che vale:

2

A – B = s + 4 p

Le tre radici dell’equazione depressa sono quindi:

y = A + B

1

y = – ½ (A + B) + ½ –3 (A – B)

2

y = – ½ (A + B) – ½ –3 (A – B)

3

Mentre quelle dell’equazione completa sono: 2 2

c b 3ac – b

p = – =

b 2 2

3a 9a

9a

x = – + (A + B)

1 3a d

3

bc b

q = – – 2a

2

6a 27a

b

x = – – ½ (A + B) + ½ –3 (A – B) con

2 3a 3