Matematica per le applicazioni I - le funzioni

Copyright 2001-2002

info@math.it Math.it applicazioni didattiche ©2001

Studio di funzione: razionale frazionaria

−2x 9( ) == yy f x +2x 4

Campo di esistenza

{ }Campo di = ∀ ∈CDE x R

Eventuali intersezioni con gli assi coordinati

−intersezioni con l’asse x : ;3, 0 3, 0

9− intersezione con l’asse y : 0,  4

Segno della funzione

< − >segno della la funzione è positiva in : x 3 , x 3funzione

Comportamento agli estremi del dominio

− −2 29 9x x− −= + = +agli estremi del ;lim lim1 1+ +dominio 2 2→ −∞ → +∞x x4 4x x

Eventuali asintoti

Asintoti verticali: nessuno

=asintoti orizzontali: y 1

Asintoti obliqui: nessuno

Derivate

x26= ( )y ' 2+2x 4( )− +226 3 x 4= ( )y ' ' 3+2x 4

Monotonia

<monotonia la funzione è decrescente nell’intervallo in cui : x 0>

La funzione è crescente nell’intervallo in cui : x 0

Eventuali massimi e minimi relativi

 9− e minimi relativi minimo : 0,  4

Massimo : nessuno

Concavità e convessità

2 3 2 3− < <convessità la funzione presenta la concavità verso l’alto in : x3 32 3 2 3< − >la funzione presenta la concavità verso il basso in : x x,3 3

Eventuali punti di flesso

   23 232 3 2 3   flesso − − −punti di flesso : ;, ,   3 16 3 16   

Grafico

y42 x0-6 -4 -2 0 2 4 6-2

Math.it applicazioni didattiche ©2001

Studio di funzione: razionale frazionaria

−2x 9=y +2x 4

Campo di esistenza

−2x 9= è una funzione razionale fratta, perciò basterà imporre che il denominatore non sia nullo:y +2x 4+ ≠ ⇒ ≠ −2 2 .4 0 4x x

Questo si verifica sempre nel campo dei numeri Reali, quindi il CDE della funzione è costituito dall’intero asse Reale:{ }= ∀ ∈ .CDE x R

Intersezioni con gli assi coordinati

Intersezione con l’asse x: − −2 2  9 9x x = ±− = =   2 2= = x 3x x9 0 9y 0   , , , ,+ +2 2 =4 4x x  = =  y 0  y y0 0= = 0 0y y ( ) ( )−

I due punti in cui la curva interseca l’asse x sono: ;3, 0 3, 0

Intersezione con l’asse y: −− 2 0 99x  == yy  +,+2 0 44x  == x 00x  9− 

Il punto in cui la curva interseca l’asse y è : 0,  4

Segno della funzione

Studiamo in quali intervalli la funzione è positiva, ovvero in quali regioni del CDE la funzione si dispone sopra l’asse delle ascisse: -3 3< − >> − > >2 2 x x3, 3N 0−2 x x9 0 9x 9 > ,0+2 ∀> + >2x 4 xD 0 x 4 0 sempre vero + - +< − >

La funzione risulta positiva per valori .x 3 , x 3

Studio coi limiti del comportamento della funzione agli estremi del dominio

− ∞2x 9 =lim ∞+2→ −∞x x 4

La forma di indeterminazione si elimina confrontando gli ordini di infinito del numeratore e del denominatore.∞

La funzione, quando x tende ad , tende al valore 1.

Un altro metodo di calcolo consiste nel raccogliere al numeratore e al denominatore la stessa quantità: 9− 2 1x−2  29x x= =lim lim  +2→ −∞ → −∞ 44xx x + 2 1x  2x 9 4= =2 e il ,e notando che ilora semplificando per x lim 0 lim 02 2→ −∞ → −∞x xx x−2 9x −= .si ottiene: lim 1+2→ −∞x 4x −2 9x −= .In modo analogo si procede per l’altro limite, ottenendo lim 1+2→ +∞x 4x

Asintoti orizzontali

− −2 29 9x x= =Dal calcolo del limite e , si deduce che la funzione tende al valore 1.lim 1 lim 1+ +2 2→ −∞ → +∞x x4 4x x

=La retta è un asintoto orizzontale.y 1 2

Math.it applicazioni didattiche ©2001

Calcolo delle derivate

( ) ( ) ( )+ − − + − +2 2 2 22 4 2 9 2 4 9x x x x x x x 26 x= = =( ) ( ) ( )'y 2 2 2+ + +2 2 24 4 4x x x

( ) ( )( ) ( )( )2+ − + + + − − +2 2 2 2 2 226 x 4 26 x 2 x 4 2 x 26 x 4 x 4 4 x 26 3 x 4= = =( ) ( ) ( )y ' ' 4 4 3+ + +2 2 2x 4 x 4 x 4

Ricerca di eventuali punti di massimo o minimo relativi

26 x= ⇒ = = = .( )y ' 0 0 26 x 0 x 02+2x 4=

Il punto di ascissa è un probabile punto di massimo o minimo.x 0

Studio della monotonia

0> >>N 0 0x26 0x26 x> ⇒ >( )' 0 0y ( )2 > 2+2 + >2D 0 sempre vero4x 4 0x +-

Quindi la curva risulta crescente per valori di x positivi, mentre risulta decrescente per valori negativi di x.=Inoltre possiamo affermare che il punto di ascissa è un punto di minimo per la funzione.x 0

Calcoliamo ora l’ordinata di tale punto sostituendo il valore dell’ascissa nella funzione:−2x 9 9= = − .y +2 4x 4  9− 

In conclusione il punto di coordinate è un punto di minimo relativo.0,  4

Ricerca di eventuali punti di flesso

( )− +226 3 4x 4 2= − + = − = − = = ±= ⇒ 2 2 2 ,( ) 0 , 3 4 0 , 3 4 , ,' ' 0 x x x xy 3 3+ 32 4x 2 3= ±da cui razionalizzando otteniamo le ascisse dei due probabili punti di flesso .x 3

Studio della concavità

( ) 4 2 3 2 3< − < < +2> − > − < x x2 2− + >2− + N 02 3 4 3 4x x3 4 0x26 3 4x 3 3 3>> ⇒ ( ) 0' ' 0y ( )3 > 3 + >+ 22 + >D 0 2 4 0 sempre verox4x 4 0x2 32 3− 33>N 0>D 0 -- + 2 3 2 3− < <

La curva quindi presenta la concavità verso l’alto in : ,x3 32 3 2 3< − >mentre presenta la concavità verso il basso in : .x x,3 3

Calcoliamo ora le ordinate dei punti di flesso sostituendo i valori ottenuti nella funzione:−4 4 27− 9−2 23x 9 3 3 = −= = = .y ++2 4 4 12 16x 4 + 43 3    2 3 23 2 3 23   − − −

Per cui i punti di flesso hanno coordinate ; ., ,   3 16 3 16    3

Math.it applicazioni didattiche ©2001

Studio di funzione: razionale frazionaria

x( ) == yy f x −2x 1

Campo di esistenza

{ ( ) ( ) ( )}= ∀ ∈ − ∞ − ∪ − + ∪ + +∞Campo di CDE x , 1 1, 1 1,Esistenza ( )

Eventuali intersezioni con gli assi coordinati

0, 0intersezione con l’asse x :

( )assi coordinati 0, 0intersezione con l’asse y :

Segno della funzione

< < >segno della la funzione è positiva in : - 1 x 0 , x 1funzione

Comportamento agli estremi del dominio

x x x x−= = −∞ = +∞ = −∞agli estremi del lim 0 ; ; ;; lim lim lim− − − −2 2 2 2→ −∞dominio − + −x 1 x 1 x 1 x 1x → − → − →x x x1 1 1x x += +∞ =lim 0;lim −− 22 → +∞+ x 1x 1 x→x 1

Eventuali asintoti

= − =eventuali asintoti x 1 x 1

Asintoti verticali: ,

=y 0asintoti orizzontali:

Asintoti obliqui: nessuno

Derivate

( )derivate ++ 22 2 x x 3x 1= − =y ' y ' '; ( )( )2 3− −2 2x 1 x 1

Monotonia

La funzione è decrescente : sempre (in tutto il suo CDE)

La funzione è crescente : mai

Eventuali massimi e minimi relativi

Minimo : nessuno

Massimo : nessuno

Concavità e convessità

− < < >concavità e 1 x 0 , x 1la funzione presenta la concavità verso l’alto in :convessità < − < <x 1 , 0 x 1la funzione presenta la concavità verso il basso in :

Eventuali punti di flesso

( )eventuali punti di 0, 0punto di flesso discendente :flesso

Grafico

y642 x0-3 -2 -1 0 1 2 3-2-4-6

Math.it applicazioni didattiche ©2001

Studio di funzione: razionale frazionaria

x=y −2 Campo di Esistenzax 1 x=y è una funzione razionale fratta, perciò basterà imporre che il denominatore non sia nullo:−2x 1− ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ±2 2x 1 0 x 1 x 1 .

Questo si verifica sempre nel campo dei numeri Reali, quindi il CDE della funzione è costituito dall’unione degli intervalli:{ ( ) ( ) ( )}= ∀ ∈ − ∞ − ∪ − + ∪ + +∞CDE x , 1 1, 1 1, .

Intersezioni con gli assi coordinati

Intersezione con l’asse x:  =x x = = x 0  y 0  − −2 2