Il Calcolo Infinitesimale Non Standard (ebook)

Paolo Bonavoglia

Il calcolo infinitesimale

Analisi per i licei alla maniera non standard

© Matematicamente.it – giugno 2011

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Universal Book – via Botticelli, 22 – 87036 Rende (CS)

ISBN 9788896354131

Sommario

Prefazione..............................................................1

Introduzione storica...................................................3

1 - Primi passi nel calcolo infinitesimale..........................10

1.1 - Il problema della tangente....................................10

1.2 - Il problema della velocità istantanea.......................11

2 - Primi passi tra le derivate.......................................15

2.1 - Infinitesimi e derivate.........................................15

2.2 - Parte standard..................................................16

2.3 - Un primo esempio: la derivata del quadrato..............18

2.4 - Derivata di potenze superiori................................21

2.5 - La derivata della potenza.....................................22

2.6 - La derivata è un'operazione lineare.........................24

2.7 - La derivata di un polinomio...................................25

2.8 - La derivata del prodotto di funzioni........................25

2.9 - La derivata della funzione composta.......................28

2.10 - Le derivate successive.......................................29

2.11 - Significato geometrico della derivata seconda..........30

2.12 - Significato fisico della derivata seconda..................32

3 - Trovare la tangente a una curva...............................33

3.1 - Tangenti a una parabola......................................33

3.2 - Tangenti a una parabola cubica..............................34

4 - Problemi di massimo e minimo.................................36

4.1 - Introduzione.....................................................36

4.2 - La regola di Fermat............................................37

4.3 - Ricerca dei massimi e minimi di una funzione............38

4.4 - I metodo per la ricerca dei massimi e minimi.............39

4.5 - II metodo per la ricerca dei massimi e minimi............42

4.6 - Ricerca dei punti di flesso di una funzione................45

4.7 - I metodo per la ricerca dei punti di flesso.................46

4.8 - II metodo per la ricerca dei punti di flesso................50

5 - Primi esempi di studio di funzione.............................53

5.1 - Introduzione.....................................................53

5.2 - Una funzione algebrica di 3º grado..........................54

5.3 - Ancora una funzione algebrica di 3º grado.................56

Indice generale VI

5.4 - Una funzione algebrica di 4º grado..........................58

6 - Primi passi tra gli integrali......................................61

6.1 - L'integrale indefinito...........................................61

6.2 - Integrale della potenza........................................62

6.3 - Proprietà lineari................................................63

6.4 - Integrale di un polinomio.....................................63

6.5 - L'integrale è un'area!..........................................64

7 - Calcolo di aree....................................................66

7.1 - Calcolo approssimato di aree.................................66

7.2 - La formula dei trapezi.........................................66

7.3 - Area sottesa da una funzione con i trapezi...............67

7.4 - Calcolo di aree con la formula di Simpson...............69

7.5 - Esempio con la formula di Simpson.........................70

8 - L'integrale definito...............................................71

8.1 - Ma l'area esatta qual è?........................................71

8.2 - L'area sotto una funzione.....................................72

8.3 - Il teorema fondamentale dell'analisi........................73

8.4 - L'integrale definito.............................................74

8.5 - Area tra due curve.............................................76

8.6 - Esempi............................................................77

9 - Calcolo approssimato di integrali..............................80

9.1 - Integrazione con la formula dei trapezi...................80

9.2 - Integrazione con la formula di Simpson...................81

9.3 - Esempi con la formula di Simpson...........................82

10 - NSA infinitesimi e numeri iperreali...........................84

10.1 - Le obiezioni di George Berkeley............................84

10.2 - La prima rifondazione dell'Analisi..........................84

10.3 - Abraham Robinson riabilita gli infinitesimi...............85

10.4 - Numeri infinitamente grandi................................86

10.5 - Numeri infinitamente piccoli...............................87

10.6 - Notazione.......................................................88

10.7 - I numeri iperreali.............................................88

10.8 - Aritmetica dei numeri iperreali............................89

10.9 - Numeri infinitamente vicini.................................90

10.10 - La funzione parte standard................................90

10.11 - Funzioni continue............................................91

10.12 - Continuità e limiti...........................................97

10.13 - Prima definizione di limite.................................98

VII Indice generale

11 - Le derivate.......................................................99

11.1 - La definizione generale di derivata........................99

11.2 - Derivate del cubo e della potenza ennesima...........100

11.3 - Regole di derivazione......................................100

11.4 - La derivata della potenza.................................101

11.5 - La derivata della funzione inversa........................102

11.6 - Derivata della radice quadrata............................103

11.7 - Derivata della radice cubica...............................104

11.8 - La derivata della funzione composta....................106

11.9 - La derivata del prodotto di funzioni.....................108

11.10 - La derivata del reciproco di una funzione............109

11.11 - La derivata del quoziente di funzioni..................111

11.12 - Funzioni esponenziali e logaritmiche..................113

11.13 - Le funzioni iperboliche....................................121

11.14 - La funzione di Gauss o gaussiana........................123

11.15 - Derivata delle funzioni goniometriche.................127

11.16 - Funzioni continue e funzioni derivabili.................136

12 - Integrali.........................................................138

12.1 - Integrale indefinito..........................................138

12.2 - Integrali fondamentali......................................138

12.3 - Regole di integrazione......................................139

12.4 - Integrali “impossibili”......................................143

13 - Infinito, limiti, asintoti........................................145

13.1 - I paradossi di Zenone.......................................145

13.2 - Il primo paradosso di Zenone: il segmento..............146

13.3 - Somme e serie................................................147

13.4 - I limiti..........................................................148

13.5 - La serie armonica............................................148

13.6 - Infinito attuale e infinito potenziale.....................149

13.7 - Infiniti attuali e numeri ordinali..........................150

13.8 - Limiti, parte standard......................................153

13.9 - Limiti e parte standard.....................................161

13.10 - Limiti notevoli..............................................161

13.11 - La regola de l'Hopital......................................162

13.12 - Asintoti di una funzione...................................165

13.13 - Asintoti verticali............................................166

13.14 - Asintoti orizzontali.........................................170

13.15 - Asintoti obliqui.............................................172

Indice generale VIII

14 - Approssimazione polinomiale................................174

14.1 - Primo esempio: approssimiamo il coseno...............174

14.2 - Secondo esempio: approssimiamo il seno...............177

14.3 - Terzo esempio: approssimiamo l'esponenziale.........179

14.4 - Forma generale del polinomio di MacLaurin............181

14.5 - Il polinomio di Taylor.......................................182

14.6 - Polinomio di Maclaurin della gaussiana..................183

14.7 - Un polinomio di Maclaurin a convergenza limitata....184

14.8 - Derivazione usando il polinomio di Maclaurin..........186

14.9 - Integrazione usando il polinomio di Maclaurin.........187

15 - Studio di funzione..............................................190

15.1 - Introduzione.................................................190

15.2 - Studio di funzioni algebriche fratte.....................190

15.3 - Studio di una funzione irrazionale........................200

15.4 - Studio di funzioni goniometriche.........................202

16 - Appendice 1 Confronto tra Nsa e Analisi classica.........206

16.1 - Definizione di continuità...................................206

16.2 - Derivata della funzione composta........................207

17 - Appendice 2 SIA (Smooth Infinitesimal Analysis)..........210

17.1 - Fondamenti della SIA.......................................210

17.2 - La derivata nella SIA.......................................212

18 - Appendice 3: Applicazioni in Fisica.........................213

18.1 - La caduta dei gravi..........................................213

18.2 - Il moto circolare uniforme................................215

19 - Bibliografia.....................................................218

19.1 - Libri............................................................218

19.2 - Web............................................................218

Prefazione

L'analisi nei licei

Analisi nei licei sì o no? E se sì in che modo e in che misura? Una domanda che si ripropone ad ogni riforma o riordino delle scuole superiori. Nei licei italiani l’analisi fu inserita a inizio Novecento in occasione della riforma Credaro; a stilarne i programmi fu chiamato Guido Castelnuovo che così giustificò questa scelta:

«Ma se si vuole che l'allievo delle scuole medie senta di questa matematica moderna il soffio ispiratore ed intravveda la grandezza dell'edifizio, occorre parlargli del concetto di funzione ed indicargli sia pure sommariamente, le due operazioni che costituiscono il fondamento del Calcolo infinitesimale.»

Allora l’analisi fu inserita solo nel liceo moderno, che fu poi soppresso dalla riforma Gentile del 1923 e in qualche misura sostituito dal liceo scientifico che ereditò l’analisi come materia conclusiva del corso di matematica. Nei licei classici dove il peso della matematica fu ridimensionato l’analisi continuò a restare fuori, come del resto la geometria analitica.

Di fatto la geometria analitica fu inserita dopo la guerra nei libri di testo del liceo classico e collocata tra la prima e seconda liceo (terzo e quarto anno); l’analisi continuò a restarne fuori con l'eccezione della sperimentazione PNI diffusisi tra gli anni Ottanta e Novanta.

Negli istituti tecnici l’analisi c’è sempre stata e viene in genere trattata già nel quarto anno di corso, a volte anticipando anche al terzo.

Ma come viene affrontata l’analisi nei licei?

1 Il passo è tratto da -

L G L'insegnamento della

Livia Iacardi

matematica in Italia dall'Unità al Fascismo in Da Casati a Gentile ... Agorà Publishing 2006 pag.44

2 Paolo Bonavoglia

Caratteristiche di fondo sono:

• L'analisi è in genere posta al termine del corso di studi.
• Si segue la sequenza limiti, derivate, integrali come all'Università, con inevitabili alleggerimenti ma sempre secondo l'impostazione Cauchy-Weierstrass.
• Nessun cenno viene fatto alla storia del calcolo infinitesimale.
• Obiettivo principale se non unico sembra essere quello di addestrare gli studenti in vista delle facoltà scientifiche.

Un simile approccio presenta più di un difetto:

• La collocazione al termine del corso comporta molto spesso il taglio degli ultimi argomenti, e si tratta quasi sempre degli integrali, cassando così proprio una della due operazioni fondamentali di cui parlava Castelnuovo, in una certa misura la più importante di tutte. È quasi la norma che lo studente debba studiare in gran dettaglio i limiti e i teoremi sui limiti e solo in modo frettoloso gli integrali.
• Questa collocazione rende di fatto impossibili ogni collegamento con il programma di Fisica.
• Si comincia dai limiti, scontrandosi con le ben note difficoltà della definizione epsilon-delta di Weierstrass e con la notevole complicazione di quasi tutte le dimostrazioni.
• Non viene fatto alcun cenno alla storia dell'analisi che viene presentata come una dottrina caduta dal cielo così com'è; non sembra questa la scelta didatticamente migliore in un liceo.

L'approccio NSA presentato in questo libro cerca di superare questi difetti, anche se verosimilmente si tratta solo di un primo tentativo che può essere migliorato.

Il libro si basa sull'esperienza personale dell'autore, esperienza che può certamente essere migliorata, ma che mi pare sufficiente a convincere dei vantaggi che questo approccio darebbe all'insegnamento dell'analisi.

Calcolo infinitesimale 3

Introduzione storica

Il ritorno dell'infinitesimo

È un ramo della matematica dai molti nomi, all'inizio si chiamò calcolo infinitesimale, o anche calcolo differenziale, poi fu detto calcolo sublime, sin dall'inizio ebbe anche il nome di analisi a volte come analisi matematica, altre come analisi infinitesimale.

Chi oggi studia analisi nelle scuole secondarie o all'Università faticherà a capire il motivo di quell'aggettivo infinitesimale che ogni tanto riappare.

Perché oltre ad aver cambiato più volte di nome, l'analisi ha anche cambiato le sue stesse fondamenta.

All'inizio con Leibniz, insieme a Newton padre fondatore di questa disciplina, a fondamento di tutto era l'infinitesimo, numero infinitamente piccolo eppure diverso da zero, derivate e integrali si definivano semplicemente come rapporti o somme di infinitesimi.

La prima contestazione arrivò nel Settecento ad opera di George Berkeley filosofo empirista e vescovo anglicano che mise in luce gli aspetti contraddittori degli infinitesimi definendoli spettri di quantità estinte (ghosts of departed quantities).

Nonostante queste critiche il calcolo divenne rapidamente uno strumento irrinunciabile per i matematici ma soprattutto per fisici e ingegneri e le critiche di Berkeley restarono sullo sfondo di fatto irrisolte.

Solo nell'Ottocento il problema delle basi dell'analisi fu preso di petto e risolto in modo radicale principalmente ad opera di Augustin Cauchy che ridefinì derivate e integrali in termini di limiti invece che di infinitesimi e poi di Karl Weierstrass che diede una definizione rigorosa di limite, quella nota come epsilon-delta.

Gli infinitesimi divenuti superflui furono cacciati dall'universo matematico; di fatto continuarono a essere usati con il nuovo nome di differenziali.

4 Paolo Bonavoglia

Il rigore di Cauchy e Weierstrass comportava però un prezzo elevato: una considerevole complicazione di buona parte delle definizioni e delle dimostrazioni dell'analisi. La definizione epsilon-delta è astrusa e di non immediata comprensione per gli studenti, le dimostrazioni vengono ad essere più complicate e oscure, per esempio le regole di derivazione della funzione composta o della funzione inversa, di dimostrazione quasi immediata usando gli infinitesimi, richiedono dimostrazioni lunghe e contorte usando l'approccio di Cauchy e Weierstrass.

Certamente di questa idea era Abraham Robinson, nostalgico degli infinitesimi di Leibniz, che tra il 1960 e il 1966 riuscì a dare un fondamento logico rigoroso a questi numeri che Berkeley aveva considerato spettrali.

Nel suo libro Non-standard Analysis Robinson scriveva:

However in spite of this shattering rebuttal, the idea of infinitely small or infinitesimal quantities seems to appeal naturally to our intuition,

Robinson in realtà non era un analista ma un logico-matematico e fu proprio un teorema della logica, quello di compattezza che gli fornì lo strumento per reintrodurre con tutti gli onori gli infinitesimi (numeri non standard) nella matematica, dopo un secolo di esilio.

L'analisi rifondata da Robinson si basa nuovamente sugli infinitesimi, e prende il nome di Analisi Non Standard, in inglese Non Standard Analisis (NSA).

Kurt Gıdel uno dei più grandi matematici del Novecento, che di Robinson era amico, nel marzo 1973 disse in un discorso a favore della NSA:

[...]This state of affairs should prevent a rather common misinterpretation of Non-standard Analysis, namely the idea

A. R. Non-standard Analysis

2, Princeton University Press,

Robinson

Princeton, 1966-1996, pag.2

3 D'altra parte nonostante questo rifiuto, l'idea di quantità infinitamente piccole o infinitesime sembra naturalmente attraente per la nostra intuizione.

A, R. ibidem