La tassellatura del piano

La tassellatura del piano

Di Carlo Sintini

Questo articolo è stato liberamente tratto, ed illustrato, da un vecchio intervento di Martin Gardner

risalente a circa 35 anni fa, sulle pagine di Scientific American.

Viene presa in esame la possibilità di saturare il piano, cioè ricoprirlo senza lasciare spazi vuoti o

sovrapposizioni, usando dei poligoni. Ma si badi bene, poligoni tutti dello stesso tipo, altrimenti il

problema offre infinite soluzioni, e diviene banale.

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Iniziamo dai poligoni regolari, cioè poligoni convessi e con lati ed angoli interni uguali fra loro. Già

nell’antica Grecia si sapeva che solo tre di essi possono ricoprire il piano: il triangolo, il quadrato e

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l’esagono.

È impossibile ricoprire il piano usando poligoni regolari con un numero maggiore di lati. Basti pensare

che accostando i loro vertici non è possibile ottenere i 360° di un angolo giro. Cominciamo a prendere

in considerazione i poligoni regolari.

Poligoni regolari

I triangoli equilateri possono essere disposti su file, come in figura, che possono slittare una rispetto

all’altra in infiniti modi.

Anche con i quadrati avviene la stessa cosa.

La tassellatura con gli esagoni regolari, così familiare alle api, può invece essere realizzata in un solo

modo.

Se eliminiamo la restrizione che la tassellatura debba essere ottenuta con un poligono regolare il

problema diventa più interessante.

Basti pensare alla grande varietà di pavimentazioni che capita spesso di osservare dappertutto.

1 Ovviamente il triangolo equilatero, perché è l’unico ad essere regolare.

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I poligoni generici

Si può dimostrare, usando la famosa formula di Eulero relativa ai poligoni: v - s + f = 1 (dove le lettere

indicano rispettivamente il numero dei vertici, degli spigoli e delle facce) e alcuni concetti elementari

di analisi diofantea, che con nessun poligono generico (e quindi anche nessun poligono regolare)

convesso avente più di sei lati è possibile saturare il piano.

Possiamo limitare quindi il nostro studio solo ai poligoni con tre, quattro, cinque e sei lati.

Triangolo generico

Il caso del triangolo generico è facile. Ogni triangolo satura il piano, infatti basta ruotare il triangolo di

180° e congiungere poi il triangolo iniziale e quello ruotato in modo che combacino due lati

corrispondenti, per ottenere un parallelogramma. Disponendo i parallelogrammi uno di fianco all’altro

si otterrà una striscia infinita coi lati paralleli, e collocando queste strisce una di fianco all’altra si

satura il piano. La disposizione non è unica perché in genere si possono formare tre parallelogrammi

diversi e le “strisce” possono essere fatte scorrere le une rispetto alle altre.

Quadrilatero convesso

Per quello convesso come prima basta accostare fra loro due quadrilateri identici, uno dei quali sia

ruotato di 180° rispetto all’altro, ed accostarli lungo due qualsiasi lati corrispondenti. Il risultato è un

esagono (non regolare ma con i lati opposti sempre uguali e paralleli) che permette la formazione di

una striscia sulla quale può essere accostata una seconda striscia, e così via.

Quadrilatero concavo

Per il quadrilatero concavo è ancora valido lo stesso procedimento e restano uguali anche le

considerazioni finali. Quindi ogni quadrilatero satura il piano, cioè lo può ricoprire perfettamente

senza lasciare spazi vuoti e senza sovrapposizioni. 2

Pentagono convesso generico

Esistono otto tipi di pentagoni convessi capaci di saturare il piano.

Un pentagono convesso satura il piano se e solo se appartiene a uno o più dei tipi seguenti:

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Gli ultimi due tipi richiedono anche una riflessione. Si osservi che gli schemi sono stati disegnati

utilizzando poligoni il più possibile irregolari, entro i limiti del tipo rispettivo, per mettere in luce la

natura caratteristica della tassellatura.