La tassellatura del piano
Di Carlo Sintini
Questo articolo è stato liberamente tratto, ed illustrato, da un vecchio intervento di Martin Gardner
risalente a circa 35 anni fa, sulle pagine di Scientific American.
Viene presa in esame la possibilità di saturare il piano, cioè ricoprirlo senza lasciare spazi vuoti o
sovrapposizioni, usando dei poligoni. Ma si badi bene, poligoni tutti dello stesso tipo, altrimenti il
problema offre infinite soluzioni, e diviene banale.
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Iniziamo dai poligoni regolari, cioè poligoni convessi e con lati ed angoli interni uguali fra loro. Già
nell’antica Grecia si sapeva che solo tre di essi possono ricoprire il piano: il triangolo, il quadrato e
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l’esagono.
È impossibile ricoprire il piano usando poligoni regolari con un numero maggiore di lati. Basti pensare
che accostando i loro vertici non è possibile ottenere i 360° di un angolo giro. Cominciamo a prendere
in considerazione i poligoni regolari.
Poligoni regolari
I triangoli equilateri possono essere disposti su file, come in figura, che possono slittare una rispetto
all’altra in infiniti modi.
Anche con i quadrati avviene la stessa cosa.
La tassellatura con gli esagoni regolari, così familiare alle api, può invece essere realizzata in un solo
modo.
Se eliminiamo la restrizione che la tassellatura debba essere ottenuta con un poligono regolare il
problema diventa più interessante.
Basti pensare alla grande varietà di pavimentazioni che capita spesso di osservare dappertutto.
1 Ovviamente il triangolo equilatero, perché è l’unico ad essere regolare.
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I poligoni generici
Si può dimostrare, usando la famosa formula di Eulero relativa ai poligoni: v - s + f = 1 (dove le lettere
indicano rispettivamente il numero dei vertici, degli spigoli e delle facce) e alcuni concetti elementari
di analisi diofantea, che con nessun poligono generico (e quindi anche nessun poligono regolare)
convesso avente più di sei lati è possibile saturare il piano.
Possiamo limitare quindi il nostro studio solo ai poligoni con tre, quattro, cinque e sei lati.
Triangolo generico
Il caso del triangolo generico è facile. Ogni triangolo satura il piano, infatti basta ruotare il triangolo di
180° e congiungere poi il triangolo iniziale e quello ruotato in modo che combacino due lati
corrispondenti, per ottenere un parallelogramma. Disponendo i parallelogrammi uno di fianco all’altro
si otterrà una striscia infinita coi lati paralleli, e collocando queste strisce una di fianco all’altra si
satura il piano. La disposizione non è unica perché in genere si possono formare tre parallelogrammi
diversi e le “strisce” possono essere fatte scorrere le une rispetto alle altre.
Quadrilatero convesso
Per quello convesso come prima basta accostare fra loro due quadrilateri identici, uno dei quali sia
ruotato di 180° rispetto all’altro, ed accostarli lungo due qualsiasi lati corrispondenti. Il risultato è un
esagono (non regolare ma con i lati opposti sempre uguali e paralleli) che permette la formazione di
una striscia sulla quale può essere accostata una seconda striscia, e così via.
Quadrilatero concavo
Per il quadrilatero concavo è ancora valido lo stesso procedimento e restano uguali anche le
considerazioni finali. Quindi ogni quadrilatero satura il piano, cioè lo può ricoprire perfettamente
senza lasciare spazi vuoti e senza sovrapposizioni. 2
Pentagono convesso generico
Esistono otto tipi di pentagoni convessi capaci di saturare il piano.
Un pentagono convesso satura il piano se e solo se appartiene a uno o più dei tipi seguenti:
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Gli ultimi due tipi richiedono anche una riflessione. Si osservi che gli schemi sono stati disegnati
utilizzando poligoni il più possibile irregolari, entro i limiti del tipo rispettivo, per mettere in luce la
natura caratteristica della tassellatura.
Tassellazioni tra matematica, arte, natura e storia
Si dicono tassellazioni i modi di ricoprire il piano, con figure geometriche o disegni, in modo che si ripetano all'infinito senza sovrapposizioni.
La definizione è matematica, ma scavando in profondità c'è molto di più: se pensiamo all'arte, ad esempio, non possono non venirci in mente le tassellazioni di Escher. Conquistate dai colori e dalla prospettiva di spaziare anche oltre la matematica, abbiamo deciso di proporre alcuni laboratori al riguardo nell'ambito del Festival BergamoScienza. Nelle prime due settimane di ottobre, dal 2003 il Festival si svolge a Bergamo e provincia e ha come obiettivo la divulgazione scientifica: oltre a numerose conferenze con ospiti illustri, la manifestazione vede la partecipazione delle scuole della provincia, che propongono laboratori e mostre, ideate da docenti e ragazzi, ma animate soprattutto dai ragazzi, veri protagonisti dell'evento.
Abbiamo sviluppato il tema muovendoci attorno a tre ambiti principali: la realizzazione pratica di tassellazioni, la matematica che permette di realizzarle e la ricerca delle tassellazioni nell'arte, nella natura, nella storia. La realizzazione pratica delle tassellazioni è stato sicuramente il laboratorio più impegnativo, ma anche quello più interessante: a disposizione dei visitatori decine di tessere di varie forme e colori, dai triangoli equilateri agli ottagoni regolari, per riflettere su quali siano i poligoni regolari con i quali è possibile ricoprire il piano. Anche i bambini più piccoli hanno potuto verificare praticamente che con i pentagoni non è possibile tassellare il piano e che gli ottagoni da soli lasciano degli spazi vuoti. Ai più grandi, sono state fornite tessere irregolari per realizzare tassellazioni non periodiche: rombi grassi e rombi magri, frecce e aquiloni. La seconda parte era lasciata alla riflessione sull'argomento: perché alcuni poligoni tassellano e altri no? Ragionando con tessere sulle quali erano indicati i gradi degli angoli interni, tutti hanno potuto capire il "trucco". Il laboratorio non aveva come obiettivo solo la ricomposizione delle tassellazioni, ma anche la creazione di nuove tessere: docenti e studenti si sono cimentati nell'ideazione e hanno ottenuto risultati molto simili a quelli di Escher (che è stato una vera fonte di ispirazione!). Ai bambini partecipanti al laboratorio si sono offerte tessere di cartoncino di forma quadrata, triangolare o esagonale e, da questi poligoni regolari, sono state costruite tessere più elaborate: anatre, cavalli, passerotti, stelle, girandole… senza alcun limite alla fantasia. Questo laboratorio pratico è stato realizzato anche a computer, grazie al software Geogebra: a partire da quadrati, triangoli e esagoni, con alcuni semplici passaggi che richiamavano i taglia/incolla realizzati con forbici, colla e tessere di cartoncino, attraverso rotazioni e traslazioni, ogni partecipante ha potuto, con poche semplici mosse, realizzare colorate tassellazioni.
Il laboratorio dedicato alla matematica è stato una vera sfida: solo sentendo il titolo, Math-Land, i visitatori - soprattutto gli adulti - mostravano grande disagio e tentavano la fuga: in più occasioni, gli animatori hanno dovuto convincere i partecipanti che non c'era nulla di cui avere paura. Il risultato è stato al di sopra delle nostre aspettative: diviso in due parti, una dedicata ai bambini della scuola primaria e l'altra rivolta ai ragazzi della scuola secondaria e agli adulti, è stato fonte di divertimento impegnato per tutti i partecipanti. Ai bambini abbiamo offerto matite colorate e tassellazioni da colorare usando il minor numero di colori possibile, ma facendo comunque in modo che lo stesso colore non fosse su due tasselli adiacenti. La sfida del colore è stata raccolta da tutti con entusiasmo ed è stato interessante fare un gioco di gruppo per colorare la cartina dell'Italia, applicando il teorema dei quattro colori: provate a colorare le varie regioni con solo tre colori! Per i ragazzi più grandi, un percorso più impegnativo: abbiamo offerto diversi rettangoli e invitato i partecipanti a riconoscere tra di essi il rettangolo aureo. Il secondo passo era la realizzazione di un triangolo isoscele aureo e, da questo, la costruzione di un pentagono regolare. Nel pentagono regolare abbiamo chiesto di individuare frecce e aquiloni della tassellazione non periodica di Penrose e poi il rapporto aureo, tornando al punto di partenza.
Alla mostra abbiamo dato nome NaSA-Land, dove Na.S.A. è in realtà l'acronimo che sta per Natura, Storia e Arte: le tassellazioni sono presenti davvero ovunque. Non sorprende il riferimento a Escher, maestro delle tassellazioni, ma pochi sono a conoscenza della sua amicizia con il matematico Penrose e pochi sanno che la riflessione di Escher sull'argomento è nata dopo una visita all'Alhambra di Granada, il rinomato complesso palaziale. Opus reticulatum e opus spicatum degli Antichi Romani aprono la strada alle tassellazioni nell'architettura, mentre tra i manufatti troviamo le ceramiche Azulejos di Lisbona e in pittura le tassellazioni non sono solo uno sfondo originale, ma anche un modo per dare la profondità e per realizzare la prospettiva, come nella Trinità di Masaccio. La natura offre forse le tassellazioni più curiose: le squame di un comune pesce rosso realizzano un ricoprimento del corpo del pesce, mentre il carapace della tartaruga è costituito da placche ossee distinte che hanno la funzione di proteggere l'animale. L'esempio più interessante e curioso è però quello dato dal Giant's Causeway, il Selciato del Gigante, in Irlanda: è composto da circa 40.000 colonne rocciose di origine vulcanica e, visto dall'alto, sembra una tassellazione realizzata davvero da un gigante.
Le tassellazioni sono state un modo originale per coinvolgere i ragazzi: all'interno del nostro istituto, il Liceo "Decio Celeri", è presente anche un liceo artistico e per i ragazzi di questo indirizzo l'incontro con le tassellazioni, già realizzato nel percorso curricolare, è stato un'occasione per vedere la matematica nascosta nella realtà e per riscoprirsi un po' più appassionati.
Daniela Molinari
info@amolamatematica.it
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