Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie

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Note didattiche Fioravante Patrone

Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie

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Consideriamo il seguente problema.

Un serbatoio contiene 50 litri di un liquido L e 50 litri di un liquido L .

1 2

alla portata di 5 litri/min: allo

Nel serbatoio viene immesso del liquido L 2 si troverà nel

stesso ritmo viene tolta la soluzione. Si chiede quanto liquido L 1

serbatoio dopo 1 ora.

Per giungere alla soluzione, la difficoltà maggiore sta nel fatto che la per- L

centuale di liquido L varia col tempo e per sapere quanto liquido L è uscito la percentuale di liquido varia

1

1 1 col tempo

dal serbatoio è necessario conoscere la percentuale di liquido presente ai vari

istanti nel serbatoio.

L’idea che permette di risolvere questo problema consiste nel cercare di de-

varia nel tempo. Punto

terminare il modo in cui la percentuale di liquido L 1 →

di partenza sarà la seguente ovvia equazione: conservazione massa conser-

vazione volumi

[volume di liquido L presente in un istante] = [volume di liquido L presente

1 1

uscito nell’intervallo tra i due

in un precedente istante] - [volume di liquido L 1

istanti]

Il problema è rappresentato dalla presenza dell’ultimo termine che non è

conosciuto. Però, se usiamo questa equazione relativamente ad un intervallo di

tempo “piuttosto piccolo”, possiamo ragionevolmente assumere che la percen- idea fondamentale!

tuale di liquido L in tale intervallo non cambi. Per arrivare a delle relazioni

1

numeriche dobbiamo ancora scegliere delle unità di misura: per il tempo use- scegliere delle unità di misura

remo i minuti e per i volumi i litri. Indicheremo quindi con φ (rispettivamente

1

) quanti litri di liquido L (rispettivamente L ) sono presenti nel serbatoio.

φ

2 1 2 (t), φ (t):

Anzi, poiché tali valori variano nel tempo, useremo le notazioni φ Anzi

1 2 φ φ

qui, t rappresenta quanti minuti sono trascorsi a partire da tempo “0”, conven- (t), (t)

1 2

zionalmente (e naturalmente) scelto come l’istante in cui ha inizio il processo convenzionalmente

descritto. (e naturalmente) scelto

Si avrà quindi, in un intervallo di tempo ∆t tra gli istanti t e t + ∆t, la

0 0

seguente relazione (valida approssimativamente): approssimativamente

litri

(t ) litri

φ

1 0 ·

− · 5

φ (t + ∆t) litri = φ (t ) litri ∆t min

1 0 1 0 φ (t ) litri + φ (t ) litri min

1 0 2 0

Ribadiamo che qui si è supposto che in tutto l’intervallo da t a t + ∆t la

0 0

fosse uguale alla percentuale di liquido L presente

percentuale di liquido L 1 1

iniziale.

all’istante t

0

1 Il vero titolo è: Tutto quello che avreste dovuto sapere sulle equazioni differenziali ma

nessuno ve l’ha insegnato. Ma è anche colpa vostra: potevate fare domande!

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Poiché φ (t ) litri + φ (t ) litri = 100 litri , si ha: due calcoletti

1 0 2 0 ∆t ·

− ) φ

φ (t + ∆t) litri = φ (t ) litri ( (t ) litri

1 0 1 0 1 0

20

Questo per quanto riguarda i volumi di liquido presenti nel serbatoio. Se ci

riferiamo solo alle misure di tali volumi, otteniamo: solo numeri, finalmente!

∆t ·

− ) φ

φ (t + ∆t) = φ (t ) ( (t )

1 0 1 0 1 0

20

Vale a dire: et voilà!

−

φ (t + ∆t) φ (t ) (t )

φ

1 0 1 0 1 0

−

= (1)

∆t 20

Si noti che la quantità a primo membro è un rapporto incrementale. WOW, il rapporto incrementale!

A questo punto si può fare le seguente fondamentale osservazione. La rela-

zione (1) è, come più volte detto, solo approssimata: l’approssimazione, però,

diventa sempre migliore quanto più piccolo diventa ∆t. Matematicamente, il lampo di genio: diventa sem-

pre migliore quanto più piccolo

questo equivale ad effettuare un passaggio al limite: diventa ∆t

− φ

φ (t + ∆t) φ (t ) (t )

1 0 1 0 1 0

−

=

lim ∆t 20

∆→0

Vale a dire: se tale limite esiste finito, otteniamo la relazione “corretta” (cioè:

non più approssimata): WOW, la derivata!

φ (t )

1 0

−

φ (t ) = (2)

1 0 20

Che senso ha quel “se” sottolineato prima? Significa che la relazione (2) è

adatta per descrivere l’evolversi del fenomeno purché siamo convinti a priori

non presenti di-

che l’andamento del fenomeno sia regolare: vale a dire che φ 1

scontinuità e neanche delle brusche variazioni (per es. “spigoli” o “cuspidi” nel

).

grafico di φ

1

Si noti che questa assunzione di regolarità a priori è stata fatta prima di la regolarità a priori non è uno

scherzo!

arrivare a scrivere la relazione (1). In effetti, se abbiamo a disposizione la (1),

da questa leggiamo immediatamente che il rapporto incrementale (il membro

di sinistra di questa uguaglianza) è costante, visto che il membro di destra non

dipende da ∆t, e quindi il suo limite ci sarà certamente! Insomma, l’assunzione

di regolarità a priori l’abbiamo fatta quando ci è venuta la brillante idea che su

un intervallo “piccolo” potessimo assumere che la la percentuale di liquido L 1

fosse approssimativamente costante. Se guardiamo ancora più attentamente le

assunzioni che abbiamo fatto, si capisce che abbiamo supposto di poter appros-

, su un piccolo intervallo, con una funzione lineare passante

simare “bene” φ

1

, φ (t )). Detto altrimenti, abbiamo assunto che φ sia differenziabile.

per (t

0 1 0 1

Scriviamo:

∆t

− ·

(t + ∆t) = φ (t ) (t ) + E(t , ∆t)

φ

φ

1 0 1 0 1 0 0

20

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Se vogliamo che esista il limite del rapporto incrementale, dobbiamo supporre

a priori che E(t , ∆t)

0

lim =0

∆t

∆t→0

Il che vuol dire per l’appunto assumere che φ sia differenziabile. Visto che φ è

1 1

una funzione di una variabile, la differenziabilità è equivalente alla derivabilità.

Ritorniamo al discorso principale t >

> 0, e pertanto:

La relazione (2), naturalmente, è valida per tutti i t valida per tutti i 0

0

0

φ (t)

1

− ∀t

φ (t) = > 0 (3)

1 20

A questo punto si trat