Intorno alla trigonometria della parabola

Revisionato il 21/10/2026

di _antoniobernardo

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Trigonometria

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Intorno alla trigonometria della parabola II parte

Trigonometry of parabola II part

Guido Carolla

Sunto. Il presente lavoro segue la prima parte, “Le funzioni paraboliche”, già pubblicata

dall’Editrice Rotas-Barletta nel settembre 2001, con gli Atti del Congresso Nazionale di

Matematica “Il ruolo della Matematica nella società contemporanea”, tenutosi a Barletta dal 17 al

19 ottobre 2000 ed ora, nella sezione “Approfondimenti”, di www.matematicamente.it. In questa

seconda parte, riporteremo, per brevità, solo l’essenziale intorno alla trigonometria della parabola,

=1 (relazione

seppure in relazione all’angolo u di un settore della parabola trigonometrica 2x+y

fondamentale della trigonometria della parabola), per cui, rifacendoci a Giovanni Egidi, daremo

alcune relazioni con le funzioni trigonometriche. Infine, saranno date le formule differenziali ed

integrali sulle funzioni paraboliche dirette ed inverse. Tenendo presente la periodicità delle suddette

funzioni, si concluderà, ipotizzando una possibile loro utilizzazione, anche attraverso la

trigonometria della parabola, nelle considerazioni teoriche in cui intervengano valori periodici.

Nell’Appendice vi è una sintesi dell’argomento con le funzioni paraboliche dipendenti dalle

circolari ed indipendenti da queste. Seguono alcuni chiarimenti e passaggi in particolare su come si

perviene ai risultati finali delle derivate e degli integrali delle stesse funzioni paraboliche e due

listati di programma in Qbasic, che permettono di trovare le funzioni paraboliche di ogni

argomento, sia esso l’angolo u in gradi sessagesimali, in radianti, o in relazione all’area t, e infine

alcuni esempi in output.

Abstract. The following paper completes what already said in the first published work "The

parabolic functions" (edited by Rotas-Barletta September 2001), as part of the Acts of the National

Conference of Mathematics about "Maths role in the today society", held in Barletta 17th-19th

October 2000, work which is also available online in the section "Approfondimenti: idee

interessanti", on www.matematicamente.it. In this second part, it will be only developed, due to the

available space, the core concept of trigonometry of the parabola, although seen in relation to the u

angle of a section of the trigonometric parabola 2x+y =1 (the fundamental equation of the

trigonometry of parabola). Referring to Giovanni Egidi's works, some relationships to the

trigonometric functions will be also introduced together with some differentials and integrals

formulas applied onto the direct and indirect parabolic functions. Bearing in mind the periodicity of

the functions introduced, it will be offered to readers the opportunity to consider their potential

uses, also relating to the trigonometry of the parabola, in developing theoretical considerations

about scenarios where periodic values apply. In the Appendix, some cases when parabolic functions

and circular functions are dependent and independent will be offered. Topics include also step by

step calculation of derivatives and integrals of parabolic functions and a QBasic code (and related

examples of outputs) which solves any parabolic function having the u angle in radians or in

sexagesimal degrees as the argument, or as a dependent value of the t area.

--------------------------------------------------------------------------------

[1] Secondary School Maths Teacher and retired Headmaster living in Lecce (Italy). E-mail: guidocarolla@libero.it

1 Docente di Matematica e Preside a r.(non troppo) LECCE. E-mail: guidocarolla@libero.it

www.matematicamente.it 1

1.Premessa

Dell’argomento l’autore si occupò in primis in occasione del Convegno Nazionale Mathesis “Le

problematiche dell’insegnamento della Matematica nella nuova scuola secondaria superiore”

tenutosi a Paestum (CE) dal 18 al 22 aprile 1983 c/o l’ETAP Hotel Club via Spineta Nuova di

Battipaglia, presentando una relazione, che fu allegata agli Atti che non furono pubblicati per

mancanza di fondi . Ora, a distanza di alcuni anni, dopo aver ottenuto la pubblicazione della prima

parte nel 2001, viene alla luce, ampliata riveduta e corretta, la seconda parte, le cui copie delle

3 , al quale va un sentito ringraziamento.

figure a colori sono state eseguite dal Prof. Marcello Pedone

2.Osservazione

Nel corso del presente lavoro si riporteranno solo una sintesi essenziale della trigonometria della

parabola, con un breve riepilogo dei risultati già ottenuti nella prima parte.

Alcune formule sono state trovate per mezzo di relazioni tra le funzioni circolari e quelle

paraboliche. Le funzioni paraboliche relative all’angolo u si possono intendere riferite

indifferentemente anche all’area t che è il doppio di quella di un settore parabolico: infatti, proprio

l’argomento t ha permesso che dette funzioni possano essere indipendenti da quelle circolari.

3. Indicazioni grafiche delle funzioni paraboliche e di quelle trigonometriche

Le figure in neretto 1 e 2 vengono riproposte per riallacciare la teoria a “Le funzioni paraboliche”

I parte. y

A T

D

M P

(x,y)

FUOCO x

u N V(1/2,0)

O t

P 1 D

I R ET T RI C

E

f i g .1

2 Alcune copie vennero consegnate agli I.T.I. di Lecce e di Como, all’I.T.C. di Maglie sez. staccata di Martano (LE),

agli ex Presidenti della Mathesis Nazionale Prof. Bruno Rizzi, Prof. Silvio Maracchia, al Centro Europeo di

Programmazione di Frascati ed al famoso matematico e Docente nella Scuola Normale di Pisa Prof. Ennio De Giorgi, in

occasione di un lungo incontro che l’autore ebbe nella casa del matematico, a Lecce il 5 settembre 1984, nel quale

incontro lo studioso fu prodigo di suggerimenti, redigendo undici pagine per lo più di osservazioni e grafici sulle

relazioni tra le funzioni circolari, le iperboliche, le paraboliche e per verificare o integrare le argomentazioni trattate nel

lavoro (l’autore conserva come reliquie gli appunti dello scienziato).

3 Ordinario di Matematica negli istituti superiori e coautore di www.matematicamente.it

www.matematicamente.it 2

Nella fig.1 è riportata la parabola trigonometrica 2x+y =1.

A T

D

M P (x,y)

F

U

O

CO x

u V

O N t

P

1 D

I R

E T

T

R

I C

E

p = 1

Nella fig.2 sono riportati la parabola e il cerchio trigonometrici.

4. Estensione ad un angolo che può superare 90° e definizioni delle funzioni paraboliche

La figura n. 3 viene riproposta anche per evidenziarne alcune particolarità

fig. 3

www.matematicamente.it 3

Tenendo presente la fig. 3 e per un p qualunque, si ripropongono le definizioni:

OP ρ

= (u ) (raggio vettore)

p ON VT y

PN = =

= tanp u

u=y u=x

sinp cosp

p p 2 x

p ⋅ − −

AD x OT OD

1 x 1 x

= secp u

=cotp u =cscp u=

= =

+ +

p x y p x p

2 x y

Ora, si daranno alcuni chiarimenti sul significato delle definizioni delle funzioni paraboliche e del

raggio vettore di cui sopra, partendo dalle funzioni paraboliche generalizzate.

( )

y p

= − + , avente per asse di simmetria l’asse x, il fuoco

Facendo riferimento alla parabola x p

2 2

coincidente con l’origine degli assi, la direttrice di equazione x=p e il vertice V(p/2,0), si indicano

( )

ρ u , sinp u, cosp u, tanp u, cotp u, secp u, cscp u il raggio vettore e le sei funzioni paraboliche

con

riferiti al parametro p=1, mentre gli stessi simboli soprassegnati, al pari dei relativi valori espressi

x , y indicano rispettivamente il raggio vettore e le funzioni chiamate generalizzate

in funzione di >

p 1 .

in relazione ad un parametro

Quindi, impostando il sistema tra l’equazione di cui sopra e quella della retta passante per l’origine

( )

degli assi y tan u x , sulla quale giace il segmento che è il raggio vettore, si ha:

OP

() )

(

⎧ 2 () ( )

y p ⎧ ( ) ()

2 − ± +

⎪ ⎪ = −

= − + 2

( ) p 1 1 tan u

y p p 2 x

x 2

− = =

⎨ ⎨

; cioè ; p p 2 x tan u x ; ,

2 2 ( ) 1

, 2

⎪⎩ 2

= tan u

⎪ y tan u x

( )

⎩ y tan u x )

(

− ± + 2

p u

1 1 tan

= . Per quanto detto sopra si ha

che sostituito nella seconda equazione dà y

, 2 u

tan

)

(

− ± + 2

p u

1 1 tan

= = ,

y u

sinp

, 2 u

tan −

⎡ ⎤

con se u è nel I e IV quadrante

⎢ ⎥ .

⎣ ⎦

con se u è nel II e III quadrante

)

(

− ± + 2

p 1 1 tan u

= =

x cosp u ,

e 1

, 2 2

tan u

Ora, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OPN si ha

( ) ( ) ( )

2 2 2

= +

OP x y y

, nella quale sostituendo il valore di possiamo scrivere

( ) ( ) ( )

2 2 ρ

= + − = − = − =

2 .

OP x p 2 p x p x p x u

Quindi a seguire, facendo alcune considerazioni, si possono definire il raggio vettore e le sei

funzioni paraboliche:

( )

− − ( )

OP p x u p u

cosp ρ

= = = = − = − =

1 x 1 cosp u u ;

p p p p

www.matematicamente.it 4

PN y sinp u ON x cosp u

= = = = = = = =

; ;

y sinp u x cosp u

p p p p p p =

VT OV PN ON

: :

per la similitudine dei triangoli rettangoli ONP e VOT si ha , cioè

p u

sinp

= =

u u u u , quindi

tanp : sinp : cosp ; tanp

2 u

cosp

VT y u u y

sinp tanp

= = = = = u

tanp ;

p p x

p x p u

2 2 cosp

Impostando e risolvendo il sistema delle equazioni delle rette sulle quali giacciono i segmenti

⎧ ⎛ ⎞

= − +

y x p p x p y

⎜ ⎟

⎨ , che con le

, si hanno le coordinate del punto D

, cioè

AD e OD ,

⎜ ⎟

= ⋅ + +

⎝ ⎠

⎩ x y x y

y 2 tanp u x 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

p y

p x

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ −

= p

coordinate di A(0, p) permettono di avere AD , che con semplici

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x y

p 2 x p 2 cosp u

= = =

AD cotp u

passaggi dà , quindi

+ +

x y sinp u cosp u

AD cotp u 2 x

= = = cotp u ;

p p x y

per la similitudine dei triangoli rettangoli ONP e VOT si ha ( )

( ) −

p p p cosp u

− = =

= secp u : p cosp u : cosp u ; secp u

, cioè , quindi

: :

OT OP OV ON 2 2

cosp u

− −

secp 1

OT u p x x

= = = = secp u ;

p p x

2 x

infine, utilizzando le coordinate di D di cui sopra e quelle dell’origine O(0, 0) si può ottenere la

2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

p x p y

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= + da cui con semplici passaggi si ha

distanza ,

OD ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x y x y

− −

p ( p x ) p ( p cosp u )

= = =

OD cscp u , quindi

+ +

x y sinp cosp u

−

OD cscp u 1 x

= = = .

cscp u

p p x y >

p 1

Il raggio vettore, le funzioni paraboliche generalizzate ( ), l’area t(u,p) ed i rapporti delle

suddette funzioni con p che costituiscono le definizioni, possono essere calcolati, digitando in input

u in radianti e p, con un listato di programma in QBasic che sarà riportato in fondo all’Appendice di

questo lavoro.

Quanto sopra esposto permette di definire le funzioni paraboliche canoniche come segue:

il raggio vettore e le funzioni paraboliche relative ad un qualunque argomento in radianti, in gradi

sessagesimali o secondo il doppio dell’area del corrispondente settore parabolico costituiscono i

www.matematicamente.it 5

rapporti dei relativi segmenti con il parametro p che è l’ascissa dei punti costituenti la retta direttrice

( )

y p

= − +

della parabola trigonometrica di equazione .

x 2 2

5. Relazioni tra l’angolo u di un settore parabolico e t che è il doppio dell’area dello stesso

settore ⎞

⎛

⎞

⎛ sinp t sinp t ⎟

⎜

⎟

⎜ =

= - 1 -

u tanp ⎟

⎜

⎟

⎜ tan ⎠

⎝

⎠

⎝ 2 cosp t cosp t ( )

⎡ ⎤

⎛ ⎞ − − 2

sinp u sinp u 1 cos u 1 cos u

⎜ ⎟

= ⋅ + = +

⎢ ⎥

t 1 1 .

⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠

2 3 2 sin u ⎣ ⎦

3 sin u

6. Definizione delle funzioni paraboliche relative all’area t

3 3

= + + + − +

2 2

sinp t 3t 9 1 3

t 9 1 ;

t t

[ ]

(

1 )

3 3

= + + + − +

2 2 2

cosp t 1 - ;

3t 9 1 3

t 9 1

t t

sinp t 2 cosp t

= =

tanp t cotp t

; ;

2cosp t sinp t cosp t

1 - cosp t 1 - cosp t

= =

secp t ; cscp t .

2cosp t sinp t cosp t

7. Alcune relazioni tra il raggio vettore, le funzioni paraboliche con le funzioni circolari

ρ =

( ) ;

u +

1 cos u −

sin u 1 cos u cos u tan u

= = = =

; ; ;

u u u

sinp cosp tanp

1 cos u sin u 1 cos u 2

⋅ ⋅ sec u

2 cot u 2 cos u =

= = ; secp ;

cotp u

u + + 2

1 cot u sin u cos u +

⎡ ⎤

se è nel quadrante I o III

csc u 1 csc u

= = ⎢ ⎥

cscp u con .

+ + ⎣ ⎦

- se è nel quadrante II o IV

± −

1 cot u sin u cos u 2

1 u 1

csc

8. Alcune relazioni tra le funzioni circolari e le paraboliche

sin u sinp u/(1-cosp u) ; cos u=cosp u/(1-cosp u) ; -cotp u)=cosp u/sinp u ;

tan u=2tanp u=sinp u/cosp u=sinp (2u) ; cot u=cotp u/( 2

www.matematicamente.it 6

sec u=2 secp u=(1-cosp u)/cosp u ; csc u =2 secp u cscp u/(2 secp u-cscp u)=(1-cosp u)/sinp u .

9. Alcune relazioni tra le funzioni paraboliche ( ) ( )

2 2

+ + 2

sinp cosp u = 1 ; sinp cosp u = ; 1 - cosp u = ;

u u

u 2 ( ) ( )

( ) ρ ρ

2 + 2 2

tanp u=secp u ; sinp u= tanp u/secp u ; cosp u= /(2secp u)=1/(1+2secp u)

u u

1 2 2 2

tanp u=sinp u/(2cosp u) ; cotp u= /(1+2tanp u)= cosp u/(sinp u+cosp u);

( )

ρ 2

/(1-sinp u)= 1 4 tan p u /2 ;

secp u= u ( )

cscp u=2cosp u secp u/(sinp u+cosp u)= /(sinp u+cosp u).

10. Funzioni paraboliche di argomenti negativi

( ) ( ) ( )

− = − − = − = −

sinp sinp u ; cosp cosp u ; tanp tanp u ;

u u u

( ) ( )

−

− = − − =

2 2 2

cotp u/( cotp u) ; secp secp u ;

cotp u u

( )

− = −

cscp secp u cscp u/(secp u-cscp u).

11. Segni e variazioni delle funzioni paraboliche

Quadrante I II III IV

Funzioni − −

+ +

sinp ∞

+ ∞ da - a - 1 da - 1 a 0

da 0 a 1 da 1 a

− −

+ +

cosp u ∞ ∞

da 0 a - da - a 0 da 0 a 1/2

da 1/2 a 0 − −

tanp u − ∞ ∞

+ ∞

+ ∞ da a 0 da - a 0

da 0 a

+ +

∓ ∓

cotp u ∞ ∞

∓ ∓

da 0 a da 0 a

da 2 a 0 da 2 a 0

a 2 a 2

− −

+ +

secp u ∞ ∞

+ ∞ + ∞

da - 1/2 a -

da - a - 1/2

da 1/2 a da a 1/2

−

+ ± ∓

cscp ± ∞ ∞

∓

da 1 a da - 1 a - 2 / 2 da - 1 a

da 1 a 2 / 2 a - 1 a - 1 a 1

a 1

www.matematicamente.it 7

12.VALORI ESATTI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE PER ARGOMENTI SPECIALI

1^ Tabella

Angolo Angolo

u u

in gradi sinp cosp tanp

in radianti Area t

sessagesimali

0 0 0 0 0

30 − − 1

1 1

π 2 3 2 3 3

− 3

(

16 9 3 ) 6

45 − −

1 1

π 2 1 2 1

−

( 4 2 5

)

3 2

60 5 1 1

1 π 3 3 3

3 2

3 ±∞

1 0

90 1 2

π 3

2 -1

120 2 1

π 3 3 − 3

135 + − +

3 1

1 2 1 ( 2 1

)

π −

( 4 2 5

)

4 2

150 + − +

1 1

5 π 2 3 ( 2 3 3

)

+ −

(

16 9 3 ) 3

3 6

π ±∞ ±∞ −∞ 0

180

210 1

− + − +

7 1

π ( 2 3 ) ( 2 3 3

)

− +

(

16 9 3 ) 3

6 6

225 − + − +

5 1

π ( 2 1

) ( 2 1

)

− +

( 4 2 5

)

4 2

-1

240 − −

4 1

π 3 3 3

3 ±∞

270 -1 0

3 2

π −

2 3

300 5 5 1 1

π − − −

3 3 3

3 27 3

315 −

− −

7 1 1

2 1

π ( 2 1

)

− − −

( 4 2 5

)

3 2

330 − − − 1

11 π ( 2 3 ) 2 3 3

− − −

(

16 9 3 ) 3

6 6

360 0 0 0

2 1

www.matematicamente.it 8

2^ Tabella

Angolo Angolo

u u cotp secp cscp

in gradi in radianti Area t

sessagesimali

0 0 0 1

2 2

30 −

1 1

π 3 1

− −

(

16 9 3 ) 3

(

3 2 6 )

6 3

45 1

1 1 1 1

π −

( 4 2 5

) 2 2 2

2 2 2

4 3

60 1 −

5 1

1 &pi

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