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Valori delle funzioni goniometriche di archi particolari

α senα cosα tgα ctgα

− +

6 2 6 2

π/12 − +

15° = 2 3 2 3

4 4

− −

+

5 1 5 2 5

10 2 5

π +

18° = /10 5 2 5

4 5

4

π 1/2

30° = /6 3 /3 3

3 /2

π 1

45° = /4 /2 /2

2 2 1 3

π 1/2

60° = /3 3 /2 3 /3

π 1 0 0

90° = /2 non esiste

π 0 -1 non esiste

180° = 0

π -1 0 0

270° = 3/2 non esiste

π 0 1 non esiste

0° = 360° = 2 0

Espressione di tutte le funzioni goniometriche di un dato angolo orientato mediante una sola di esse

Il segno va scelto a seconda del quadrante in cui si trova l’angolo.

α α α α

→ sen cos tg ctg

Noto α

sen 2

± − α

α 1 sen

2

senα

sen ± − α

1 sen 2

± − α α

1 sen sen α

cos

2

± − α

α 1 cos

2 cosα

cos ± − α

1 cos 2

± − α

α 1 cos

cos

α

tg 1 1

α tgα

tg α

2 2

± + α ± + α tg

1 tg 1 tg

α

1 ctg 1

α ctgα

cctg α

ctg

2 2

± + α ± + α

1 ctg 1 ctg

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Trigonometria: formulario e teoremi vari Pag. 1
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Sintesi

Formule di trigonometria

Nel seguente appunto sono elencate formule di trigonometria utili per la risoluzione dei triangoli e per il calcolo di elementi caratteristici di questi ultimi, per ogni tipo di triangolo, anche non necessariamente rettangolo. Per applicare queste formule bisogna conoscere le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Per comodità di notazione, chiameremo

[math]AB=c, BC=a, CA=b[/math]
, in altre parole, con ogni lettera minuscola indichiamo il lato opposto ad un certo vertice (scritto però in lettera maiuscola).

Introduzione alla trigonometria: triangolo rettangolo

In un triangolo rettangolo

[math]ABC[/math]
, retto in
[math]A[/math]
, ponendo
[math]AB=c, BC=a, CA=b[/math]
e, per quanto riguarda gli angoli
[math]\widehat{BAC}=\alpha, \widehat{ABC}=\beta, \widehat{ACB}=\gamma[/math]
valgono le seguenti relazioni:

Per quanto riguarda il cateto

[math]b[/math]
si hanno le uguaglianze
[math]b=a\sin(\beta)=a\cos(\gamma)=c\tan(\beta)=c\cot(\gamma)[/math]
.

Per quanto riguarda il cateto

[math]c[/math]
si hanno invece le uguaglianze
[math]c=a\cos(\beta)=a\sin(\gamma)=b\cot(\beta)=b\tan(\gamma)[/math]
.

Come abbiamo potuto vedere, ci sono addirittura 4 modi diversi per risalire dall'ipotenusa ad uno dei cateti, praticamente un modo per ogni funzione goniometrica precedentemente elencata: seno, coseno, tangente e cotangente.

Per approfondimenti su seno e coseno vedi anche qua

Teorema della corda

teorema_della_corda.png

Sia

[math]R[/math]
il raggio di una qualsiasi circonferenza, e sia
[math]alpha[/math]
l'ampiezza dell'angolo alla circonferenza sotteso dalla corda
[math]AB[/math]
, allora la lunghezza di
[math]AB[/math]
è pari, per il Teorema della Corda, a:

[math]AB=2Rsin(\alpha)[/math]

Questo teorema permette di dimostrare che in un triangolo rettangolo il circocentro sta sull'ipotenusa. Se consideriamo infatti un triangolo rettangolo di ipotenusa

[math]AB[/math]
, avremo
[math]\alpha=90^{\circ}[/math]
, e applicando il teorema della corda, avremo che
[math]AB=2Rsin(\alpha)=2Rsin(90^{\circ})=2R[/math]
, quindi
[math]AB[/math]
è un diametro, di conseguenza contiene il circocentro del triangolo rettangolo in questione, come volevasi dimostrare.

Triangolo generico: introduzione e notazione

triangolo_qualsiasi.png

Poniamo nuovamente

[math]AB=c, BC=a, CA=b[/math]
per i lati, e
[math]\widehat{BAC}=\alpha, \widehat{ABC}=\beta, \widehat{ACB}=\gamma[/math]
per gli angoli.

Per qualsiasi triangolo, sia esso rettangolo, ottusangolo o acutangolo, valgono le seguenti formule:

Area di un generico triangolo

Detta

[math]S[/math]
l'area abbiamo:

[math]S=\frac{1}{2}ab\sin(\gamma)=\frac{1}{2}bc\sin(\alpha)=\frac{1}{2}ca\sin(\beta)[/math]
.

In sintesi, è sempre possibile determinare l'area di un triangolo se conosciamo due lati qualsiasi e l'angolo compreso tra questi.

Teorema dei seni e relazione con il Teorema della corda

Il rapporto fra la lunghezza di un lato e il seno dell'angolo ad esso opposto è costante e pari al doppio del raggio (o diametro) della circonferenza circoscritta al triangolo

[math]ABC[/math]
(potremmo pensare al Teorema dei Seni come una formula inversa del Teorema della Corda precedentemente citato), cioè:

[math]\frac{a}{\sin (alpha)} = \frac{b}{\sin(beta)} = \frac{c}{\sin(gamma)}=2R[/math]

Teorema del coseno (detto anche Teorema di Carnot o Teorema di Pitagora generalizzato)

In ogni triangolo valgono le seguenti relazioni:

[math]a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos(\alpha)[/math]
e similmente:

[math]b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cos(\beta)[/math]

[math]c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos(\gamma)[/math]

Tale Teorema è noto anche come Teorema di Pitagora generalizzato poiché, il Teorema di Pitagora non è altro che un caso particolare del Teorema di Carnot. Se per esempio

[math]\alpha=90^{\circ}[/math]
, allora
[math]a^2=b^2+c^2-2bc \cos(90^{\circ})=b^2+c^2[/math]
, che è proprio il Teorema di Pitagora in quanto il coseno dell'angolo retto è nullo.

Teorema delle proiezioni

In ogni triangolo valgono le seguenti relazioni:

[math]a=b\cos(\gamma)+c\cos(\beta)[/math]

[math]b=a\cos(\gamma)+c\cos(\alpha)[/math]

[math]c=b\cos(\alpha)+a\cos(\beta)[/math]

Tali formule si dimostrano facilmente tracciando l'altezza uscente dal vertice opposto al lato preso in esame e considerando i due triangoli rettangoli che si formano, utilizzando le formule citate nel primo paragrafo.

Formule di Briggs: relazioni tra seno, coseno e lati del triangolo

Chiamando con

[math]p = \frac{a+b+c}{2}[/math]
il semiperimetro, in ogni triangolo valgono le seguenti formule di Briggs:

[math]\sin (\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}[/math]
[math]\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}[/math]
[math]\sin (\frac{\beta}{2}) = \sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{ac}}[/math]
[math]\cos(\frac{\beta}{2}) = \sqrt{\frac{p(p-b)}{ac}}[/math]
[math]\sin (\frac{\gamma}{2}) = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}[/math]
[math]\cos(\frac{\gamma}{2}) = \sqrt{\frac{p(p-c)}{ab}}[/math]

Raggio del cerchio inscritto

In ogni triangolo, detta

[math]S[/math]
l'area e
[math]p[/math]
il semiperimetro, il raggio del cerchio inscritto, detto anche
[math]r[/math]
vale:

[math]r = \frac{A}{p} = (p - a) \tan (\frac{\alpha}{2}) = (p-b) \tan (\frac{\beta}{2}) = (p-c) \tan(\frac{\gamma}{2})[/math]

Raggio del cerchio circoscritto

In ogni triangolo di area

[math]S[/math]
il raggio del cerchio circoscritto, detto anche
[math]R[/math]
vale:

[math]R = \frac{a}{2 \sin (\alpha)} = \frac{b}{2 \sin(\beta)} = \frac{c}{2 \sin(\gamma)} = \frac{abc}{4S}[/math]

Si noti come queste formule (eccetto l'ultima) sono in realtà delle formule inverse del Teorema della Corda e del Teorema dei Seni.

Raggio della circonferenza exinscritta tangente, rispettivamente, ai lati di misura a, b, c

L'ex-cerchio è una circonferenza esterna al triangolo, tangente ad uno dei lati e ai prolungamenti degli altri 2. Esiste un'omotetia di centro un vertice che manda il cerchio inscritto nell'ex-cerchio del rispettivo vertice. Detti

[math]r_a, r_b, r_c[/math]
i raggi degli ex-cerchi tangenti rispettivamente ai lati
[math]a,b,c[/math]
si ha, detta
[math]S[/math]
l'area del triangolo e
[math]p[/math]
il semiperimetro:

[math]r_a = \frac{S}{p - a}[/math]

[math]r_b = \frac{S}{p - b}[/math]

[math]r_c = \frac{S}{p - c}[/math]

Lunghezza della mediana relativa, rispettivamente, ai lati di misura a, b, c

Si hanno le relazioni:

[math]m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}[/math]

[math]m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}[/math]

[math]m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}[/math]

Si ricorda che la mediana di un triangolo è quel segmento che congiunge uno dei vertici del triangolo col punto medio del lato opposto a tale vertice.

Lunghezza della bisettrice uscente, rispettivamente, dai vertici A, B, C

Si hanno le relazioni:

[math]b_{A} = \frac{2 bc \cos(\frac{\alpha}{2})}{b + c}[/math]

[math]b_{B} = \frac{2 ac \cos(\frac{\beta}{2})}{a + c}[/math]

[math]b_{C} = \frac{2 ab \cos(\frac{\gamma}{2})}{a + b}[/math]

Si ricorda che la bisettrice di un angolo è quella retta che divide l'angolo in due angoli congruenti.

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