Le funzioni paraboliche

Le funzioni paraboliche

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Guido Carolla

Sunto. – In questa comunicazione trattiamo le funzioni relative alla parabola, partendo da una osservazione su quelle circolari e su quelle iperboliche.

Ci limiteremo a studiare le funzioni paraboliche relative all’argomento t, che è il doppio dell’area di un settore parabolico. In questo caso risulterà evidente che dette funzioni sono indipendenti da quelle circolari.

Infine, riporteremo le definizioni delle funzioni paraboliche, seppure in relazione all’angolo u di un settore parabolico, per cui, rifacendoci a Giovanni Egidi, daremo alcune relazioni con le funzioni trigonometriche.

Introduzione alle funzioni paraboliche con riferimento a quelle circolari e iperboliche

Ricordando le funzioni circolari seno e coseno di un arco, se

x = cos t y = sin t

sappiamo, che 2 2

x + y = 1 (1.1)

è 1’equazione di un cerchio di raggio 1 e centro in 0 (0,0). Se consideriamo 1’iperbole avente per asintoti le bisettrici degli assi e di equazione:

2 2

x - y = 1, (1.2)

si può esprimerla in equazioni parametriche ricorrendo alle funzioni iperboliche. Sarà:

x = cosh t

y = sinh t. (1.3)

Infatti, quadrando e sottraendo le (1.3) abbiamo la (1.2) ed anche:

2 2

cosh t – sinh t = 1. (1.4)

Se ora consideriamo la parabola avente l’asse di simmetria coincidente con l’asse delle ascisse, il vertice in V (1/2, 0), la direttrice x = 1, di conseguenza il fuoco è nell’origine degli assi. Per cui, dall’equazione di detta parabola

2

y = - 2p (x – 1/2),

essendo p = 1 si ha: 2

y = 1 – 2x. (1.5)

Ora esamineremo la (1.5), che si può esprimere in equazioni parametriche ricorrendo alle funzioni paraboliche seno parabolico e coseno parabolico, che indicheremo rispettivamente sinp e cosp:

x = cosp t

y = sinp t. (1.6)

Queste funzioni se sostituite nella (1.5) danno l’asserto:

2

sinp t + 2 cosp t = 1. (1.7)

Nel cerchio, t aveva il significato di angolo al centro che non si può estendere all’iperbole e alla parabola. Ma nel cerchio di raggio l si può considerare t come il valore del doppio dell’area del settore circolare sotteso dall’arco t. Infatti:

1 1

2

= =

S r t t

2 2

quindi 2S = t.

1 Piazza G. Mazzini, n. 24, 73100 LECCE, tel. 0832317045, e-mail: gcarolla@hotmail.com

In questa forma il risultato si estende alle funzioni iperboliche ed anche a quelle paraboliche, delle quali ultime, a partire da ora, tratteremo unicamente.

Determinazione del seno parabolico, del coseno parabolico e delle relative funzioni inverse

y

A T

D

M P

(x,y)

FUOCO x

u N V(1/2,0)

O t

P 1 D

I R E T T R I C E

=

1

p

f i g .

1 le aree

Siano x e y le coordinate del punto P. Indicando rispettivamente con S e S 1 tratteggiate dei triangoli mistilinei OPV e NPV (figura 1), abbiamo:

1

= +,

S xy S

1

2

per il teorema di Archimede è: 2 1

= −,

S (x) y

1 3 2

dunque: 1 2 1

= + − (2.1)

(

S xy x) y

2 3 2

e ricavando x dalla (1.5): 2 2

−

1 1 y 2 1 1 y

= − + −,

S ( ) y ( ) y

2 2

2 2 2 3

cioè 1 1

3

= +,

S y y

12 4

raddoppiando ambo i membri e ponendo t = 2 S, abbiamo

1 1

3

= +

t y y, (2.2)

6 2

ossia 3 + − =

y 3 y 6 t 0, (2.3)

dove t è il parametro che denota il doppio dell’area del settore parabolico OPV, ovvero l’area del settore OPP.

1

Analogamente procediamo alla ricerca dell’equazione in x, ricavando y dalla (1.5) e sostituiamo detto valore nella (2.1):

1 2 1 1 1

= − + − − = − −

S x 1 2 x (x) 1 2 x (

1 x) 1 2 x

2 3 2 3 2

che per t = 2S diventa 1

= − −

t (2 x) 1 2 x,

3

quadrando abbiamo 1

2 2

= − + −, (2.4)

t (4 4 x x)(

1 2 x)

9

cioè 9 9

3 2 2

− + + − =. (2.5)

x x 6 x t 2 0

2 2

Procediamo ora nella risoluzione delle equazioni cubiche (2.3) e (2.5), per trovare, come indicato nelle (1.6), rispettivamente i valori di sinp t e cosp t.

Dalla (2.3) abbiamo che il discriminante è:

2 3

−

(6

t) 3 2

Δ = + = +.

9

t 1

4 27

Δ >

Basta osservare che, per, si ha

0 1

2 2

+ > > −

cioè.

9

t 1 0

, t 9

L’equazione risolvente è: 3

3

2 − − =,

w 6

tw 0