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Sintesi
Nel documento vengono presentate le condizioni di integrabilità secondo Riemann per una funzione reale di variabile reale. Dopo una breve introduzione al concetto di integrale di Riemann come limite delle somme di Riemann superiore ed inferiore, viene presentato un primo lemma su tali somme (condizione necessaria all’integrabilità) e di seguito viene data la dimostrazione del teorema di integrabilità delle funzioni continue.



Estratto del documento

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Integrazione secondo Riemann

Il calcolo integrale rappresenta l’altro grosso capitolo del calcolo infinitesimale; in particolare il

calcolo integrale apparirà come l’inverso del calcolo delle derivate, grazie al Teorema fondamentale

del calcolo integrale.

Integrazione secondo Riemann

→ ∈ {x }

Sia f : [a, b] una funzione limitata, con a, b si indica con S = , . . . , x una

R R; 0 n

· · ·

suddivisione di [a, b], ovvero una sequenza di reali con a = x < x < < x = b. Si

0 1 n

definiscono allora le due seguenti quantità:

n n

X X X X

− −

(f, S) = m(x , x )(x x ), (f, S) = M (x , x )(x x )

j−1 j j j−1 j−1 j j j−1

s

i j=1 j=1

dove m(x , x ) e M (x , x ) sono rispettivamente l’estremo inferiore e l’estremo superiore di

j−1 j j−1 j P P

f nell’intervallo (x , x ). I numeri reali (f, S) e (f, S) si dicono rispettivamente somma

j−1 j i s

inferiore e somma superiore. Facendo variare la suddivisione S tra tutte le possibili si possono

definire:

0

1) I (f ): l’integrale inferiore di f su [a, b] come l’estremo superiore di tutte le somme inferi-

ori, al variare della suddivisione di [a, b];

00

2) I (f ): l’integrale superiore di f su [a, b] come l’estremo inferiore di tutte le somme superiori,

al variare della suddivisione di [a, b]. 0 00

Finalmente f si dice integrabile secondo Riemann se I (f ) = I (f ), nel qual caso si pone

b

Z 0 00

f (x) dx = I (f ) = I (f )

a

che risulta essere un numero reale, e che rappresenta l’area della regione di piano, con segno,

sottesa dal grafico della funzione f sull’intervallo [a, b].

Lemma di integrabilità

Il risultato fondamentale che permette di stabilire, in astratto, classi abbastanza generali di fun-

zioni integrabili secondo Riemann, è costituito dal seguente Lemma di integrabilità:

→

Sia f : [a, b] una funzione limitata, con a, b reali; allora f è integrabile secondo

Lemma: R

Riemann su [a, b] se e solo se per ogni ε > 0 esiste una suddivisione S di [a, b] tale per cui si

abbia X X

−

(f, S) (f, S) < ε.

s i

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adminv15
3 pagine