Appunti di Integrali per funzioni di variabile reali

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Lezione 23 14/12/201^a integrali indefinito - Primitive

Def (Primitiva) dico che F(x) è una primitiva di f(x) se esiste F'(x)=f(x) su un intervallo I.

Esempio: f(x)=cosx

Esempio: F(x)=sinx

Teorema

Se f(x) allora: come ultima primitiva definita a meno di una costante.

Dim: supponiamo f (x) allora esistono n>CRO.

Per la continuità esiste un determinato massimo univocamente in un CRO.

Def: (Integrare indefinito) chiamo OSS: non si può calcolare.

Teorema primitive funzioni elementari

Teorema (Primitives funzioni elementari) SOSS: demolizioni che dalle le funzioni continue hanno una primitiva.

Studiamo i metodi di calcolo di primitive:

• Per decomposizione
• Per parti
• Per sostituzione
• Integrali immediati (noti)

Per decomposizione

Dati f(x), g(x), integrabili in A sottoinsieme R(ΑF + B G) con Α,B reali.

Integrale (Somma) oppure se somme F(x)-G(x).

Si pone:

Esempio ∫(3x-1)^2 dx= ∫(5X^3-5X-0)dx = (E)(x^3-10x+n*c-c+c)[3.]₀= c∈R.

Per parti

Ricordo che sì (), ∫f(x) = dx.

Ponendo d = g'(x) da cui S<funz.antiderivata) = Proiz.

Quando: S<conosco Funz.v prop. scom. dx.

Esempio scegli: Prima logeAx= logr+1 dx = g'(x)d= B log dF dx= X *_2.X * dlogxB(x * 2XX * dx = 0.

ROSS: (Op G)(coo meno tarmato) log (3/4x) = B 3n logx-1X-1XRx= log.

Posso con preferenze un integrande puoi scre... integrando (in (3-) Lineari Sedia) + ∫(xx) [S=funz]= s²+∫<38.6x]∫(D/N) dx = Log In Remanenti (A) (*);_cosR.

Per sostituzione o composizione di funzioni

Per sostituzione (o composizione di funzioni) Ricordo che Per il dermatavile[x∈ derv costante]= L'(x) derivata di primo:T(gx) da cui ∫(g(x)) → D.

Si pone:

Quantizzazioni ∫(f(v)),ing(∫T)(x)](x[value])= ∫(funz. * F(ET}) dx(Eimg)&_=tk.

Esempi

• X=∫(3x(dx) = [3x[2=0]= ∫(tg(1+(∫(x) tanx)∫x= [(αtg)+(∫[x1Per CXG*(x(x)) OSS: Scelto con una temporali per cmvbesempio prima tan (integrale)

Sì Volsi primo taurato pulv− in funzioni (3rev.in.E(cos+x[x)pSi Eùm (sinx + cos(3y)con∫(Cemx)=x=tanx.

Esempi con esponenziali

Esempio: S ∫ e^2x = S(e^x(come dt anche)) f(x) = e^x g(x) = e^x f(g(x)) = e^g(x).

S e^x dx = S e^g(x) g'(x) dx.

S e^trueg(x) dx.

Esempio: S ∫ 2e^x + dx 2sin(x) dxe^-x.

S e^x (per impostare)- è -x/- integrale dx.

Esempio: S ∫ x 2 e^x x' dx.

S ∫ 43/27 (3 et + 1) e^x dx f(g vom \circ f'(x)) S(uext) = S (eine(s)) = cerRio - 6 - 2x, 9x4yrq, Important!

S = S * giro S = S(S = Sini nel set) Sx = x sin(x) cos(x) sinn2 = seno(x) + e/ dx sin (radice, x) RS sin(x)/ sin(x)'slegarsi: de lintegral(osen e - cosa con carrello inferiore a sin).

Lezione 24 15/12/202° integrale definito

Sia f(x)≥0 con x∈[a,b], l'ombra è una curvilinea.

Dividiamo [a,b] in parti di ampiezza complessiva trascur.

Scelgo arbitrariamente (non per forza un ordine) un punto x_i in ogni intervallo I_i.

È continua la seguente somma: Sottintendendo il limite per n…

Con m→∞,

Semplifico S_n=∑f(x_i)Δx_i.

Quando S_m non ha senso: (Per ogni x_i scelto un punto diverso) Dentro…con seno perché S_m non ha un senso!

Definizione integrale definito

Def (Integrale definito) Se f, con x∈[a,b] e continua sotto a curva limitata.

Il limite della somma n...

Si scrive ...

S_n=∑f(x_i)Δx_i.

(Limite esiste e non dipende dall'istante)

Tutto limite si nota...

(Definizione integrale definito di f su [a,b])

OSS: ➀ ∫(contrav) f ➁ Se faccio il loro cubo Allora ∫ cerca ∫ f S