Matematica generale - Appunti

Testo originale

IrusrÉHtbt oÌ*rto : .htNstAHfDÉFtlltetoruE ol,v'*,rt,,^tiA0rL§,,cc.o.Qtu o0Lrr,^-trr*;'t"Slrto ì* t^^;*JviL oJ- .,* 4i"ricr^,.r- crvrtrrrpu,o' rr^^.-tsàd-, q^^- orrtf-W|*ln to/'rer,*ertt.ltrFr*c,I.t "^orrartluirli.nl,r(*ù,t rfuVl;rnq'*)"- ,irar1.riv".--bk,u]"p"*L,;.L/irs",f* r,[ @ J A-l1'gfil. o-J. el.rr*rr^f," IeA ALt cJ,* ei J.* ò-i-^it^^^i 6 vh& d,^^/hs.T.l*ric,,u ofpwrr.1,7 BY€ +B YéAA*g++ù A tsÉts E,4?cA4ry (2) cAl.A+il J*ts c, tsos= ,t)c^^,i A/'ùl*ff"Nc, , B .^^r3)s ?r à;soFoJr^pism- (4AoL), ts s',".^.El aM J** AJJt b,iu.!it^^^i J',I.u.'?.fI*A s&l*rl31* B,('j...u..-^rùiip "rrsT-nr^Lr^,h- .lxfxeA eA-b "1"fÈ=A,r.^iNJ- calr If-Bi.,r- Ar,lrjorr-a, Wi*,A t-^ ICtts (e) lJl:' EtJ-fi !.',ìnti*,^'*qA ')'* PJ^.^ iwtic^"^/i '1^"'^*l_ff*['a *'gh At)(",,,t^ o*&.^ol3 §..u, cd.{e B AL{ì*od, coa-lè".'cilnvi }uL B"4^ia*,a' I,*nL, * A[* v,,,.olitse, sor^.chrra- :' BxA+AxB r)nlnffr(* *)t) (* r),(1, L) +ù+ (", er.=e [=*' = '.L J=lt,*l (*,t)+(t,,I*'tl t,ì.^,h.B*A: eiAxAr An cd..te,r,"-r-^) r, (c,t),(o., t), (L,t),{C",,t),(t, G,Ol,lsl*,le1=, Il*ts!-6L, i'a J.f {-*AUE , gA Btu^,icÀ^,.ia rol*te**t*.e,ral.o*4.A Blnr;,o cJ.' ,t',ì*u?..^r- WJfu\ t l.^r*rGa,.*J;frt*'*À,^','ft tv-o à4À AvB=l.l x'ulxCA o[t AJilnO*ri: ooÀo,*r, ;r.fur*vtlorr* ao..L G*l*tffi J"» 'T'il*8,*^,^.,18ts {,'F$;utJaA AnBalxl*.A ex€blAnBrg 'Pt r {jwU'e^^^OO,btttÉ €o pRPeo 0rc*,euoNttETA' lrre«sl/ltorvEUnroNE;L. { vArATt rc,oh ù 6hu A^BVA B BnA)=(o"r)rcATtvAAssocl |a2". . "(B "c))(^ rs) nn q (Ac n c,;a(a,(Ènc)3. (auB) .rc)=uTtvÀDtcTS,r B :À ^lr cA rr(rlac)c; ((e oB)AAN uhA cvAA ''A,,'Anla4. IDéT1?Of EN?A Ar(rna)= ^@'-+AA&BtHrNEAs:o5, -+W,Aa(a vB) =AAs(lue) e Bs(e.rB)(nna)sn q (anB)EBForEvtE Dl DÉt"roRclrgi6. n,t) r,tB l--A = A B 21Aag* Aa6Éffii'rE2,) J r 4uB- AnBA-^'f à i,B.rAW,*t"r"Ao B^ , g(l ( -- e) \,, n)A tsA -(rnB)AB (nua)',AA »€l q\'ATrRoo oREHATe t (a)t(l t^) ',,'Jne) 'rr'J.^*J"],,r'(;;r.' (g)+* I(l)a'r)' c,.or'J( '»',.J(l) Io "o-J- + s)(lgor.J.o.trJilr n-[ui. 30 .,I 2A-(lrB) 3o ?O10--uJ '(o nr 2oc.,"J =) {ro E To+30?o à'*'Aelri-rj u'Ju\'o*ub E'ru'"t- lftt''*' ^'Ju'r'i+' ryriK tr,rr{t :nH*a-,to TslÀIqrtl (l(t)* - noJrc^'J6"'J(l) .s.J*r (BJc,tJc).r.^-J [r =.r { (e(unc)-^tdr,-,,,J(nnt; 4Èt'o"'J- ^)At .r[errratJia,t,lt-),i^i @u/r^,J..,zTo mb *tfit*il.a,Ège h^*f.;e- i,*)ut;At]li"E[?;*r'r^^^il LtÀrÀrerM.r-vIi A*u.a sTlÀro .ROPF.IETA\P 'llrl *;liAo(A)l .:=')lr t4, ,(rlt)P - t(a) uP(a,e)(nne) zp(A) P(B)^ + +I' !rsJ =) Ilal (A)l*t &tP ==II,l"ll*lGuo', t, t{*' n'"I,tl ' Lr.tI t I1,' , \0\{t, t TR.Ao ÉntFrN;, ?toxrAPFtlcAoxr lr.rs, iW ur\i(l*i gJ.zf,d-^ a,+l,tl^err,Q,A vu.olTu.ouzj--AJi w**B(( c,oarr,{spo.^-[r^",f4-e)r*uv*h xdae-Jù u..oo1»iqrsrogra "A€g:tpulr- elru^-er.toso Bri lf.r *Jlr,.aio.r ìotr,frtva, ù.r*ra*[iU.^.e, ^tan.àr ù'orra.,tspo.^,Fl[.*J^-tA Jr'g7i^-fi B.-t, J^Jtelr ,},"*,rttil, bk /tÀ o1^; BJd J.'1At vÙ,,r"-c^^.To A )?'tt s.^lrf'ufli va^A oì, tvtlNtETTlrrlN ETTIUA No^, lilrETf tU4ilor{ :uNoil SuRlETTIYA ETT| vrlr, t UR ETTIS I T,Atl*o ,rl^loul. ì,^te,Ifira,te*{,.,.ri tiPt VUiv* r..,ùeo*..4,<4Iconrtisoo.Ja.raLtsuì[* Dlu,,rr,tvo G.q, og»r;"lPueu' t'^*lr* ,-L*-;.{its wuJ^'?)r.^-*'fo s,o.lro-r-J.' A. gl* X{Jt*.*rf, B.Ati o2,*', )'rLt,,r*r-rtor.,r(o.dor^Jol*"tIit1 à o' oE*^ir^*^.!a,-- ;ì ,ur,i e,asoe Tt-.*^iX l-e ,,1+ f,(,, ,*iy** iwJ*$at* B e nJno A,t^*-.:t. c.r/tìwdtta, C(4 ,rrt,Àrr. IB+A VLeB,('t, !(r) .; (-n À, l<(*).BA (cxr'+ f,=ay+{{>+Y=@ .[?) aXl{(-'L«cxr] z I 7l ONtztoNEo F,.,lNsPoC Lt ID Uil J'o^''i*io@J^+D '1",c$^'^ào"'^c,eM^JÈe^^À\?/t J^'il L.*i"JJ'n*io*r; 52, er^/Lr l, A-+B[.'1lr,o: g -)c ft*ù,0 r'!1'A-»ts.r, Bscf c -+Dt'o. Y;344)*{*"J,'{Y'ff:'[u.fr,"[.,t v,a,J ?,tar,,"*)ì f L tdaJi so1/-oJwr^.A.j Mt cJ^ )vweTre*n\^^A-»o'l,o "t '^r^*-.6 -1-'tD -, '\g)Fx /òtr Ì.tu {' '( xfi I\ -ù§p -6Sr*È\p èg -U'\,O§o t,Fr §\p Fe4C- n\- -rc§È r: §,a' \,Sell\,\$o ,lc =Pt. tltt Bt-ù*..Ér n-' §Ir- €+ ll qfa ,-, -fE.^ ^\--I-v\f,,Ca. Fà.\; ll§+\,^l-ls \-..-, !.{3 .§\Éc r.f,trFlè l, llt^l\eil ll,Ét a.,-t§ F t'§F+rrx &x,a llét\ x 3lÉ /^^ t\-?^, |rC§l. YÈ Fx0 n t--trs §aȧ§pl f. G!rl+ +x x* tf +xtlItresr *Fv+ a- tÀ'3à?É u.+\FF Xx 6r+§j= Irx +r.t,?i tt' ,at t(rrtl$*t\e% Itv\, §§-fs\Sf] 0.1

Numeri dei campi reali

Il procedimento di dicostruzione ampliamento Raaionalidel dei numericome moltoQ,ca,mpoIR èprocedimeno per didal visto Z, dila costruzionediverso e Q.quellapossibile introduzioneUna nel supporreconsiste diè "assiomatica", unche esista insiemecheindicati cui proprietàpossibilenumeri, iuoperare consennndo giàlecon su sia nellovalideIR, eQ,proprietà.tempo aggiungendo nuovestesso

Gli assiomi dei numeri reali

0.1.1 Gli dei numeri realiassiomiA@1'l di S)un insieme.Sia Introduciamo (indicatauna operazione consomma e diun'operazioneIR. .)prodotto (indicato proprietàpercon cui valgano le seguenti (Vo, ec lR):A,,: +h1. (o+è)Proprietà a.ssociativa: + +(a A) :a*2. commutativa:Proprietà + a;b b:3. distributiva: ] a.Proprietà a- a.+ c)(b c;b4. gli rispettoneutriEsistano elementi alle operaaioni, Vo distinti,€ esistanodue elementicioè dueIR.: :ttali a.indicati con e a0 che a 0 e1, L a. :*5. (-a)urgli opposti:Esistano (che indicheremoe conVo esista elemento taìelR che-o) o 0;€gli a +6. inversi: 0 unVo cor a-1)Esistano (cheesista elemento indicheremo tale cheIR,' :4.0, l.-1 I quellaOsservazione sistruttum ottenutoUna corne che abbiamo appena dice Campo.il ,il2 ileiCampi:Osservazione dli ileinumeriSono raz'ionaliesemp'i campo numeriQ, campoi p,C, didelle resti incomplessi siun nunlerocampi classi pri,momod,ulo come aedràfi,niti seguito.

Assiomi relativi all'ordinamento

2.] relativiAssiomi alltordinamento(in taleSi una relazionedefinisce IR che:(7. sia d'ordine,relazione( ( à(8. elRsiverifichichecioèsiarelazioned'ordinetotale, boppureVo,A o a;( ( I* *9. siala d'ordine larelazione somma', ocon"compatibile cioè, cò che ase segua cbVc e lR.( ( <10. allora0 a 0 0se e ò oA.3 a*b.e0<bse01a allora0lperOsservazione la Inl'analoga somma,Vale relaz'ione c'ioèproprietàsiquesto tratta pudlauna si dedurrecaso preced,enti,dagli, (uedid'i e assi,omi esercizio 1).4 ildi ordinati:Osservazione Sono Campi questonumeri razionaliesempi campo ilei, Q e che s,iCnumerista non undeid,efinendo. Inuece ordinato.'il campo complessi è campo

Proprietà di completezza

3.] P."prt.ta q.lrm"agg (nb.§[11. o, n tale aV € eunesistab IR cbe12. B pervuoti i quali proprietàsottoinsiemi di numeri reali ASiano due non la che,4 e valga eVo(oB die sia ò. completezzae Yb gara"ntisce rìumerocheL'a.ssioura unesiste almeno reale cI 4bche Atale per € B.€a ogni ac e b

Intervalli

P* *:^t**,If iK *,^.t*.t h.,tli[ Jì.r[oiqr"ia.il,i rm^.r.,rod t-ìl l.rfioÀrl"- ln'*t,ìl ì..{'ra'io"r' ?^tLr^^€ su.fr-r.*"o,,1 i-ltlt''ro{iJ,.^,r. 'r) Ji ,r.^*t*gIR.(-LAREtNloPpP X, Rn€ w" 6>or-Itk4 dlI(" l;:r. l.= {*.Yo>(o-6 t(,o+d IlNfoRNO stNtqrR.olNToR,No)rSTR.0(r, r-f * (r") =]*,",JI=L*o, LtpHPrtrfOlWTo*.xO I- (x./u(xr) r+(xJ1 == oÌ,,ti*,^rtJlì,^fur.vo.lla cÀ*Xo ap*..{.o X,xo+hXo-K q,.t- i,^f,uJ,,-l\,rr.h,tNt0L) )(o w ,5>oc lR(TLARE»oÌ4 e R.n s"h5t (x.) = e R" /t*-xolr6l{xì) ì*fvr*o oJR' rì ira.tir*rJfUr. €aX d,1,, Su.,r, RtfE ,ff*X )sXr{sx. I.f§4. 1,t (x.eR-e I ,ye{lI(x.) I(y,)lVrrXe ,-^* Fronrrfne J^ iwiler,^,r-*tF,,^--t-J.^^rt*i" {-YoJ4I ,r.F^l't^/.rlVv}'- X*[ft"ttt",.rtl oJ Jrrr^r;he,JNEù,**oeRn uult JdLA?tof*# t^ cc"h A u^^,Y", Te X, vtl.,tr..^o Jtoc-iìwru scuPuitr,r","c I,t.lRni*f*ih /e,h*r,,t, J**Jì JÀr,,&.'' Yo .XS""e")VeeR*,Jre[f- '1Xofz tr'+ *flE Y:')C ,ll,a.à.-iC'T it",*i ve»o)(ns:&l*fat) ,*[ Xx> VxeJCl_r)Ve I*ei<€ÀiJr.Xl r"f€ {-*f r*f f, f, ),Sry A}lPrÉarAy{,tr'o,.^,,r.eìa,tuf*,b t T*F N- el'.À orrr*-*,t' ù)arc',,L*ìS.,.Y ru,prruy ", T T)il, ù' 4""*s''*f (HAss,nio nl T Y,' ì*p»,io*n*È *Unr*T È eS. k*,;t--foù. (t*l*f Y).'x ìl 'J.'HrurHoc,'*fr *Se Auts e iVle tsR,: L,utA il)n,,o-IVr.ell bIJùr, E}lENros ET€lR sEPA ?,eI rcNÉ,rs . reAr€ lr*lt G.or.T",tl 9areeÀ ?,, It>s rcBcrltA uBR = ENvr.rRtctItrtslEHl ESTREH,Loa.o tt:X Jr,rsiU* @ty".rrrr""^'f'ìwrl nre.ma;2dqauàle x<k riffr+.X k:KeR, llrr*=]*€R VxeI T l;,afrhùu ,tì.,a eì iiutritar^t ttuiuu*Vtìca fuAorr.rr"tr-taU,n, l----.r---I[.eRlV*"t'+IU*- t,"frh .l^*a ,rlr/.j,^,,ri?,/we, à*frilrdrrrr. ?tSlultiorùr,^^l4*ftfi, ,rJ*e R/Y.eN.lxl6) ù*un j.ri*^J'IR' fATo TEXo llo1,r,,^È si€ aw,r_ IR"[. eI ?I9{. lo-orrr.ì rora,o euou.r.rvue-Jn'r/*, Jf s Jr,. É.tR'r,,ì rrlr,rAro'lr^-rd"ar wittcì^,.& .rr.-tnJn.*r,rto y.JAr,hrr^r.,tooruLi caeÀvt*r= _r, _,1i,@ 1lo, ,4. et Lraf"f, , [^. e-uaf 4e ì- T"Jfirr.eir^eaua T hr.è{ sou.oIJI f@y=@ {*,s tliullsr& T?, x f,330 ,|inuifo*.,eQ. l-r, l*rÉ*I hr,- )oi"@_-4,ìsou.c,p4j @?lti,rt|Z*t^)l^ f , r 1 , II -p,r-,ltf.f.r" lÉNrr: brU, u|.rARf ?eFvNZ Varzr A euero Brn XIiwtioarr ,J""E E Lru".Ulr,*;onRue,r, ',ha,,^a,rà, I*f&Ji"*,U^rÀvardo,li&ìr,r^.a, tue-r. .1.'orrJ[*i.. (X R), c,ora,tsr(.-ùr^*.R, wvù1,, '*e qrr,X./tr a/r\o.i^l VeR,"J,.r*'tol,*f IEY?AX ìl'ì*sìu,w,r tNtof }om &"0r.?ro l.^,^,rìo,,*-y$tf l.t ì,..sì?,,n^r TLr gfloHrNro)Q=R. x e I= f r"'lT.*Fsi di.,dr't, oÙnz- ,t^ta/a.l^r*rio"* IilWn uono, ,h.,-;taf,"r sèì^ÈoJ",*o*f" h e',0..*ii( s.^., .oJ.r"^iuìoI Y k*if.à ì*[,rio,tt "^Pr,frror-,*hIr,",i tof," s.e prdn>ok €R h>r,l< hcRVxeDk[,, 3' [, vxe D[«t>6lR/,rt" /xel1,"lr,* DfJi z,s oa,supwiorrri*pr.'or,^ortne,rri cr,is?-o' i*o*doG&' ìllìl YrìI Jl p,r.-Jo,r.r.inìrwra Lrrornar,àrastirr*o €sT.$no.-r^^.I1,, c,Jsrrgm2 INFÉR.,RErr,..s;d[ivo,n "h E asSUPfftgREz HISsthOASSoLìr7" ASfoL1rTO.HINIHA {o, vra.tlort^l}o Dtun^,ox e rrr,r {r*.)ffc,,> lc-,tfc".r