Integrale di Riemann e integrali definiti - Analisi 1

Indice documento

• Integrale di Riemann
• Teorema: somme inferiori < somme superiori
• Significato geometrico dell' integrale di Riemann
• Proprietà dell' integrale di Riemann:
• Additività
• Positività / negatività
• Monotonia
• Valore assoluto
• Lemma di Riemann
• Teorema integrazione funzioni monotone
• Teorema integrazione funzioni continue
• Teorema media integrale
• Teorema funzioni integrabili in sottoinsiemi del dominio
• Integrale definito
• Funzione integrale
• Teorema fondamentale del calcolo integrale
• Teorema di Torricelli
• Integrazione per parti degli integrali definiti
• Integrazione per sostituzione degli integrali definiti
• Lunghezza di un grafico
• Volume di un solido di rotazione

Indice documento

• Integrale di Riemann
• Teorema: somme inferiori < somme superiori
• Significato geometrico dell' integrale di Riemann
• Proprietà dell' integrale di Riemann:
• Additività
• Positività / negatività
• Monotonia
• Valore assoluto
• Lemma di Riemann
• Teorema integrazione funzioni monotone
• Teorema integrazione funzioni continue
• Teorema media integrale
• Teorema funzioni integrabili in sottoinsiemi del dominio
• Integrale definito
• Funzione integrale
• Teorema fondamentale del calcolo integrale
• Teorema di Torricelli
• Integrazione per parti degli integrali definiti
• Integrazione per sostituzione degli integrali definiti
• Lunghezza di un grafico
• Volume di un solido di rotazione

Integrale di Riemann

Consideriamo l'intervallo [a,b] ⊆ ℝ

Il punto x₂ spezza l'intervallo in 2 sottointervalli, il punto x₂ spezza l'intervallo in 3 sottointervalli.

Generalizzando: se voglio dividere l'intervallo [a,b] in n parti, servono n+1 punti ordinati da x₀ a x_n.

Def: Decomposizione o suddivisione

Dicono che l'insieme Δ = {x₀, x₁, ..., x_n} dove a = x₀ 1 2 n = b è una decomposizione o suddivisione dell'intervallo [a,b].

Ogni sottointervallo [x_i, x_i+1] è disgiunto dall'altro [x_j, x_j+1] e la loro unione restituisce [a,b].

Def: Decomposizione più fine

Dicono che la suddivisione Δ₂ è più fine della suddivisione Δ₁, se la suddivisione Δ₁ è contenuta nella suddivisione Δ₁, (Δ₁ ⊇ Δ₂).

(Più fine = ampiezza dei sottointervalli più piccoli)

Oss: Date Δ* e Δ' la suddivisione Δ* = Δ* ∪ Δ' è più fine sia di Δ* sia di Δ'.

Teorema (integrale di Riemann)

Sia F: _[a,b] → ℝ una funzione limitata in _[a,b].

(Nel disegno è continua ma potrebbe pure non essere continua)

La funzione ha quindi un inf ed un sup se fosse continua.

sup=max inf=min

Costruiamo una suddivisione dell'intervallo _[a,b] in n punti e consideriamo l'inf di ogni sottointervallo e il sup di ogni sottint.

Poniamo:

m₁ = infF_[x0,x1]

m₂ = infF_[x1,x2]

...

m_n = infF_[xn-1,xn]

H₁ = supF_[x0,x1]

H₂ = supF_[x1,x2]

...

H_n = supF_[xn-1,xn]

È chiamata somma inferiore la somma delle aree dei rettangoli la cui base corrisponde agli estremi del sott. intervallo _[xi,xi+1] e la cui altezza corrisponde ad m_i (1 ≤ i ≤ n).

s(Δ;f) = m₁(x₁-a) + m₂(x₂-x₁) + ... + m_n(b-x_n)

È chiamata somma superiore la somma delle aree dei rettangoli la cui base corrisponde ad _[xi,xi+1] e la cui altezza corrisponde ad H_i (1 ≤ i ≤ n).

S(Δ;f) = H₁(x₁-a) + H₂(x₂-x₁) + ... + H_n(b-x_n)

Naturalmente, S > s e la si può vedere anche graficamente.

Man mano che aumentiamo le decomposizioni/suddivisioni, gli intervalli diventano sempre più piccoli e allora S ≈ s.

Somma con n div. più piccole sempre più piccole ⇒ ∫

Teorema somme inferiori < somme superiori

Sia f: [a,b] → ℝ una funzione limitata, allora ∀ ∆₁, ∆₂ subdivisioni di [a,b] si ha che le somme inferiori sono sempre minori o uguali delle somme superiori.

s(∆, f) ≤ S(∆, f)

Oss: La disuguaglianza si mantiene anche se ∆₁ ≠ ∆₂.

Dimostrazione

∆₁a x₁