Calcolo integrale

Teorema di caratterizzazione degli asintoti obliqui

È asintoto obliquo di f troviamo che a e/o b sono infinito o che uno dei due limiti allora: la f non ha asintoto obliquo.

N.B.: Se facendo i limiti in studio di funzione, data una funzione f dovremo (se possibile):

• Individuare il dominio naturale (dom f)
• Individuare eventuali simmetrie (parità o disparità)
• Individuare eventuali periodicità (solo apparenti: non lo cerco in funzioni che non hanno motivo di esserlo anche se potrebbero) ed un periodo (non necessariamente il minimo)
• Studiare il segno di f
• Trovare i punti di continuità di f, punti di discontinuità di f e caratterizzarli, se possibile prolungare per continuità
• Determinare eventuali asintoti
• Determinare il limite agli estremi del dominio
• Trovare i punti di derivabilità e di differenziabilità di f, classificare i punti di non derivabilità
• Calcolare f’
• Trovare i punti stazionari, massimi e minimi locali ed assoluti, intervalli di crescenza/decrescenza
• Individuare insieme dove f è derivabile due volte
• Calcolare f’’
• Trovare i punti di flesso, intervalli di concavità/convessità
• Tracciare un grafico qualitativo di f

Polinomi di Taylor

Definizione: Sia I un intervallo. Sia x Sia f una funzione derivabile n volte in x. Il polinomio è detto polinomio di Taylor di f centrato in x, di grado k ed è denotato con si chiama polinomio di Mc Laurin. Nel caso di

Proprietà di polinomi di Taylor: Più in generale

Teorema di Peano (o teorema del polinomio di Taylor con resto di Peano) = sia f: (a, b) R una funzione derivabile n volte in x. Allora: è l’unico polinomio di grado.

Osservazioni: Questo teorema dá esattamente l’approssimazione che cercavo.

N.B.: Il risultato del teorema vale solo per; il teorema non dá informazioni per x “lontano da x”.

Sviluppi elementari:

Osservazioni: Se f è pari ha polinomio di Mc Laurin con soli esponenti pari. Se f è dispari ha polinomio di Mc Laurin con soli esponenti dispari. Consideriamo f(x) = senx (dispari) allora:

Calcolo integrale

Vogliamo calcolare l’area di una porzione di piano definita come sottografico di una funzione: In realtà, calcoleremo l’area con segno.

Definizione: Sia I = [a, b] un intervallo di R. Definizione di partizione di I un insieme della forma:

Scriveremo e chiameremo somma della partizione il valore per indicare.

Graficamente:

Definizione: Sia I = [a, b]; sia P una partizione di I. Sia f una funzione definita su I. Chiameremo:

Somma inferiore di Riemann =

Graficamente: Per definizione di inf e sup abbiamo: e P due partizioni di I. Allora:

Proposizione: Sia f una funzione su I = [a, b]. Siano P

Corollario: Fissato I ed f:

Graficamente:

Definizione: Sia f: [a, b] limitata, allora diremo che f è Riemann integrabile quando e indicheremo il valore comune con il simbolo: detto integrale definito di f su [a, b].

Teorema di caratterizzazione della integrabilità di una funzione: Sia f una funzione limitata su [a, b]. Allora le seguenti proprietà sono equivalenti:

• f è integrabile su [a, b] nel senso della definizione precedente
• Una successione di partizione
• Una partizione P di [a, b] t.c.
• P partizione di [a, b] nel caso tutti i valori “c”